Matematika kafedrasi Yakupov Qahramon Maxsetbayevichning

 

 

 

 

 

 

 

 

---

3 

 

I .  Kirish 

 

   Ko’pgina fizik jarayonlarning matematik modeli oddiy yoki xususiy hosilali 

differensiyal tenglamalarning qo’shimcha shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini 

izlash, ya’ni matematik fizikaning chegaraviy masalalari orqali ifodalanadi. 

   Chegaraviy shartlar – boshlang’ich holat, chegarada (sirtda) yuz berayotgan 

hodisalar biror qonuniyatlar asosida sodir bo’lib, ularning miqdoriy qiymatlari 

malum xatoliklar bilan hisoblanishi tabiiy. Shuningdek, aksariyat hollarda 

chegaraviy shartlarni ifodalovchi funksiyalar silliq bo’lmaydi. 

   Odatda chegaraviy masalaning yechimi deb biror sohada differensial tenglamani 

ayniyatga aylantiruvchi, ya’ni shu sohada tenglamada qatnashgan barcha tartibdagi 

hosilalariga ega bo’lishi, hamda chegarada talab darajasida silliq uzluksiz bo’lishi 

zarur. 

   Misol uchun tor tebranish tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasini qaraylik. 

 

Ω = 

   sohada 

 

 

 

Tenglamani va  

 

 

 

Shartlarni qanoatlantiruvchi 

 funksiya bo’lsin. (0.1), (0.2) masala yechimi 

(klassik) ni  

 

 

 

 

 

Dirixle formulasi bilan toppish mumkin. 

Ko’rinib turibdiki (0.3) formula bilan ifodalangan U(x, t) funksiya Ω sohada (0, 1) 

tenglamani qanoatlantirishi uchun, 

 funksiya 2 marta, 

 funksiya 1 marta 

uzliksiz differensiallanuvchi bo’lishi lozim. Ammo bu funksiyalar eslatganimizdek 

tajriba, sinov natijalari bo’lgani uchun aniq qiymatga ega emas ya’ni biror xatolik 

bilan olingan va nihoyat yetarlicha silliq emas bo’lishi mumkin. Ana shu ikki 

holat- berilganlardagi taqribiylik va yetarlicha silliq bo’lmaslik (0.3) ni (0.1), (0.2) 

masala uchun yechim (klassik yechim) deb atashga haqqimiz yo’qligini anglatadi. 

Malumki chegaraviy masala to’g’ri-korrekt qo’yilgan deyiladi agar.  

---

4 

 

1 

Masala yechimi(klassik) mavjud; 

2 

Masala yechimi yagona; 

3 

Masala yechimi turg’un; 

bo’lsa. 

   Agar shu 3 ta shartdan kamida bittasi bajarilmasa ham masala noto’g’ri qo’yilgan 

(korrekt qo’yilmagan) deyiladi. Shuni e’tiborga olsak chegaraviy masalalar 

chegaraviy shartlarni ifodalovchi funksiyalar yetarlicha silliq hamda topilgan 

yechim berilganlardagi kichik xatoliklar yechimda ham kichik xatolik paydo 

qilishi zarur, aks holda 3-shart masala yechimi turg’un bo’lmaydi. 

   Yuqorida keltirilgan (0.1), (0.2) masalaning yechimiga nisbatan talablarning 

ayrimlari bajarilmasligi yechimga qo’yilgan talablarni yumshatishini taqoza qiladi. 

Bu holat yechim tushunchasini ham, funksiya tushunchasini ham isloh qilish, ya’ni 

kengaytirishga ishora qiladi, undaydi. 

   Mazkur bitiruv-malakaviy ishida klassik funksiyalarni umumlashgan funksiya 

tushunchasiga kengaytirish va umumlashgan hosila, umumlashgan funksiyalarni 

differensiyallash muammosi o’rganiladi. 

   Bitiruv ishi to’rtta qisimdan - kirish, asosiy qisim, xulosa va takliflar hamda 

foydalanilgan adabiyotlar va manbalar deb nomlanuvchi qisimlardan iborat. 

   Kirish qismida ish mavzuning dolzarbligi asoslanadi va ishga umumiy 

xarakteristika beriladi. 

   Asosiy qismi ikkita bobdan , har bir bob uchta banddan (paragrafdan) iborat. 

Birinchi bob ,,Funksiyonal fazolar’’ deb nomlangan bo’lib, unda umumlashgan 

funksiya tushunchasi bilan bog’liq bo’lgan ,,Normallangan va Gilbert fazosi’’, bu 

fazolardagi chiziqli uzluksiz funksiyonallar, ularning xossalari kabi funksiyonal 

analizning muhim tushuncha va tasdiqlari keng yoritilgan. Bu bobning uchunchi 

paragrafida o’rtalovchi yadro va nixoyat o’rta funksiyalarning chekli o’lchovli 

fazolardagi tariflari va ayrim xossalari keltirilganki bu faktlar ishning ikkinchi 

bobida qayta-qayta asos qilib olingan. 

   Ikkinchi bob ,,Umumlashgan funksiyalar va ularni differensiyallash’’ deb 

nomlangan. Undagi birinchi va ikkinchi paragaflar umumlashgan funksiyalar, 

umumlashgan funksiyalarni differensiyallash kabi boshlang’ich ma’lumotlar 

berishga, uchunchi paragraf esa umumlashgan hosila olishga – differensiyallashga 

bag’ishlangan. Shuningdek uchunchi paragrafda Xevisayd funksiyasi (teta – 

funksiya) ning umumlashgan funksiya sifatida umumlashgan hosilasi Dirakning 

delta funksiyasiga tengligi va chekli sondagi birinchi tur uzulishga ega 

funksiyalarning umumlashgan ma’nodagi hosilasi bilan klassik ma’nodagi hosilasi 

orasidagi bog’lanishlar mavjudligini ko’rsatadi.  

   Xulosa va takliflar qismida ishda erishilgan asosiy yangiliklar va ishni qaysi 

yo’nalishda davom ettirish (Sobolev fazolarida differensiyal operatorlarni 

o’rganish) borasida tavsiyalar berilgan. 

   To’rtinchi adabiyotlar va manbalar qismida o’ttizdan ortiq zomonaviy jurnallar 

va ommaviy matbuotda shuningdek darislik va qo’llanmalarda umumlashgan 

funksiyalarni fanga kiritish uchun kerakli asoslarni o’zida jamlagan kitob va 

---

5 

 

manbalar ro’yxati keltirilgan. Internetdan malumotlar qismida shunga taalluqli turli 

manbalar va eng so’ngi yutuqlarni o’zida jamlagan sayitlar ro’yhati keltirilgan. 

    

    Mavzuning dolzarbligi.   Juda ko’p fizik, texnik, iqtisodiy va h.k. jaraynlarni 

ifodalaydigan chegaraviy masalalar klassik funksiyalar to’plamida o’z yechimini 

topolmaydilar. Shu va shunga o’xshash boshqa muammolarni hal qilishda yangi 

tabiyatga ega, aniqrog’I klassik funksiyalarni o’z ichiga oluvchi va yuqorida 

eslatilgan muammolarni hal qilishga yordam beradigan yangi umumlashgan 

funksiyalarni o’rganish mavzusi hozirgi kunning dolzarb mavzularidandir.  

   

    Tadqiqot mavzusi.   Dastlab birnecha, xususan moddiy nuqtaning zichligi, 

nuqtaviy zaryad impuls, nuqtaviy manbaning intensivligi kabi fizik tushunchalarni 

ifodalovchi matematik ob’yekt funksiya emas, balki chiziqli uzliksiz funksiyonal 

bo’lishi va ular bilan bog’liq faktlarni chuqur tadqiq qilish lozimligini etirof 

qilmoq zarur.  

  

    Tadqiqot muammosi.   Umumlashgan funksiyalarni o’rganish va uni 

differensiyallash tushunchasini kiritishdan oldin matematik analiz, funksiyonal 

analiz, differensiyal tenglamalar nazaryasini chuqur bilish va tadbiq etish 

muammosi turadi.