Isbot. .(S) sirtning bo ‘linishini olaylik , uning bo ‘laklarini bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi. bo ‘laklashiga nisbatan ushbu yig ‘indini tuzamiz:
Agar (S) sirtning ustki tomoni qaraliyotgan bo ‘lsa , u holda barcha lar musbat bo ‘ladi .
Modomiki,f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan , u x va y o‘zgaruvchilarning quydagi funksiyaga aytlanadi.
f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))
bundan esa
(k=1,2,3…..)
Bo ‘lishi kelib chiqadi.Natijada (5) yig ‘indi ushbu
Ko ‘rinishga keladi.bu yig ‘indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig ‘indisi ekani payqash qiyin emas Agar f(x,y,z(x,y))funksiyaning (D)da uzluksiz ekanligini e’tiborga olsak,unda da
Yig ‘indi chekli limitga ega bo ‘ladi va
Bundan esa
Bo ‘lishi kelib chiqadi teorema isbot bo ‘ldi.
II Bob Stoks formulasi.
2.1 Stoks formulasi
Mazkur punktda Grin formulasining umumlashmasi bo’lgan sirt integrali bilan egri chiziqli integralni bog’lovchi formulani keltirib chiqaramiz.
Faraz qilamiz, - sirt silliq va karrali nuqtalarga ega bo’lmasin: U bo’lakli silliq kontur bilan chegaralangan bo’lsin.
sirtni o’z ichiga oluvchi biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo’lib, u bu sohada o’zining xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. U holda quyidagi
formula o’rinli.
Avval chiziq bo’yicha egri chiziqli integralni chiziq bo’yicha interalga almashtiramiz:
Bu tenglikni chiziqni ushbu
parametric ifodasini, u orqali esa - chiziqnikini
kiritib, oson tekshirish mumkin. U holda ikkala integral bitta o’sha parameter bo’yicha oddiy integralga keladi:
Endi (2) ni o’ng tomonidagi integralga Grin formulasini qo’llaymiz:
Oxirgi integral ostidagi ifodadan qyuidagini olamiz:
Endi buni (3) tenglikka qo’ysak, ushbu ikki karrali integralga kelamiz:
Ushbu
bu yerda (S) sirt tomoniga mos yo’naltiruvchi kosinuslar, formula ikkinchi va birinchi tur sirt integrallarini bog’lovchi umumiy formula bo’lib, bizga ma’lumki, sirtning tanlangan tomonini xarakterlovchi, yonaltiruvchi kosinuslar, quyidagi formulalar orqali aniqlanadi
Boshqa tomondan parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tishda,
elementni ifoda bilan almashtiriladi. Nihoyat, ushbu
O’ng tomonda, funksiyalarda o’rniga ularning orqali ifodalari qo’yilgan deb faraz qilinadi.
(4’) formulaga asosan,
ikki karrali integralni sirtni tanlangan tomoni bo’yicha olingan
sirt integraliga oson almashtirish mumkin. Shu bilan (1) tenglik isbotlandi.
Xuddi shunga o’xshash, quyidagi tengliklarni olamiz:
bu yerda – ga bog’liq yangi funksiyalar bo’lib, ular funksiyaga qo’yilgan shartlarni qanoatlantiradi.
(1), va uchala tengliklarni qo’shib, quyidagi nisbatan umumiy ko’rinishdagi formulani olamiz:
Bu tenglik Stoks formulasi deyiladi.
Agar sirtning bo’lagi sifatida tekislikdagi soha olinsa,
bo’lib, u holda quyidagi formula hosil qilinadi
bu esa ma’lumki, Grin formulasidir. Shunday qilib, oxirgi formula Stoks formulasining xususiy holidan iborat.
Nihoyat, Stoks formulasida ikkinchi tur sirt integrali birinchi tur sirt integrali bilan almashtirlishi mumkin. U holda bu formula quyidagi
ko’rinishga ega bo’lib, sirtni tanlangan tomoniga mos normalning yo’naltiruvchi kosinuslari.
Shunday qilib, Stoks formulasi (S) sirt bo’yicha olingan II-tur sirt integrali bilan shu sirtning chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integralni bog’lovchi formuladir.
Stoks formulasini qo’llashga misol keltiramiz.
Dostları ilə paylaş: |