Mavzu: aniq integral hisoblashning taqribiy formulalari

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA TA’LIM VAZIRLIGI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA TA’LIM YO’NALISHI 211-MATEMATIKA GURUH TALABASI HAJIBAYEVA XOVVAJONNING MATEMATIK ANALIZ FANIDAN TAYYORLAGAN

KURS ISHI

MAVZU: ANIQ INTEGRAL HISOBLASHNING TAQRIBIY FORMULALARI.
BAJARUVCHI: HAJIBAYEVA X
RAHBAR: KAMOLOV X

URGANCH 2022

MAVZU: ANIQ INTEGRAL HISOBLASHNING TAQRIBIY FORMULALARI.
Reja:

1. 
   Kirish. Integral tushunchasining kelib chiqish tarixi, matematika va hayotda qo‘llanishidagi ahamiyati.
   
2. 
   Asosiy qism:
   

1. 
   Aniq integral tushunchasi.
   
2. 
   Aniq intrgral hisoblashning to‘g‘ri to‘rtburchak formulasi.
   
3. 
   Aniq integral hisoblashning trapetsiya formulasi
   
4. 
   Aniq integral hisoblashning parabolalar ( simpson) formulasi.
   
5. 
   Aniq integral hisoblashning taqribiy formulalarining qo‘llanishi.
   

3. 
   Xulosa.
   
4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar.
   

Matematikada integral cheksiz kichik ma’lumotlarni birlashtirish natijasida yuzaga keladigan siljish, maydon, hajm va boshqa tushunchalarni tavsiflaydigan tarzda funksiyalarning qiymatlarini aniqlab beradi. Integral topish jarayoni integrallash deb ataladi. Differensiallash bilan bir qatorda, integrallash ham matematikaning asosiy, muhim tushunchalaridan bo‘lib, matematika va fizikada ixtiyoriy shaklning maydoni, egri chiziq uzunligi va qattiq jismning hajmini o‘z ichiga olgan muommolarni hal qilish uchun vosita bo‘lib xizmat qiladi. Integrallar asosiy ikkita tipga ajratilib, ular aniq integrallar va aniqmas integrallar deb yuritiladi. Aniq integrallar biror funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqning tekislikda ikki nuqtasi maydon sifatida talqin qilinadi. Bunda, tekislikning gorizontal o‘qining yuqori qismi yuzasi musbat, pastki qismidagi yuzalar manfiy hisoblanadi. Aniqmas integrallar esa berilgan funksiyaga qarshi hosila tushunchasini ham anglatadi. Integrallarni hisoblashning asosiy usullar, albatta aniq integrallarni differensiallash bilan bog‘liq bo‘lib, funksiyaning hosilasi ma‘lum bo‘lganda, uning aniq integralini hisoblash bir qadar osonlashadi va shu asnoda qoidalar yuzaga keladi.

Maydonlar va hajmlarni hisoblash usullari qadimgi yunon matematikasidan kelib chiqqan bo‘lsa-da, integrallash usullari va tamoyillari 17-asr oxirida Isaak Nyuton va Gotfrid Vilgelm Leybnis tomonidan alohida mustaqil ravishda ishlab chiqilgan bo‘lib, ular egri chiziqning ostidagi maydonni cheksiz kichik kenglikdagi to‘rtburchaklarning cheksiz yig‘indisi deb hisoblaganlar. Keyinchalik Bernard Riman integrallarning qat’iy ta’rifini berdi. Riman hosil bo‘lgan yuzani yupqa vertikal ustunlarga bo‘lish orqali egri chiziqli yuzaning maydoniga yaqinlashuvchi limit qiymatiga asoslanadi.
Integrallar funksiya turiga, shuningdek, integrallash amalga oshiriladigan sohaga qarab, yanada umumlashtirish mumkin. Misol uchun, ikki yoki undan ortiq o‘zgaruvchilarning funksiyalari uchun chiziqli integrali aniqlanadi va integrallash oralig‘i oraliqning ikkita oxirgi nuqtasini bog‘laydigan egri chiziqning formula ko‘rinishi bilan almashtiriladi. Sirt integrallarida esa egri chiziq uch o‘lchovli fazoda sirtning bir qismi bilan almashtirilib hisoblab topiladi.
Integrallarni hisoblashga qodir bo‘lgan birinchi hujjatlashtirilgan texnika bu qadimgi yunon astronomi Yevdoksning (taxminan miloddan avvalgi 370-yil) charchash usuli bo‘lib u maydonlar va hajmlarni cheksiz ko‘p bo‘linishlarga bo‘lish orqali topishga harakat qilgani ma’lum. Bu usul miloddan avvalgi 3-asrda Arximed tonidan yanada kengroq o‘rganib ishlab chiqilgan va qo‘llanilgan bo‘lib, aylananing maydonini, sharning sirtini va hajmini, ellipsning maydonini, parabolaning ostki qismidagi maydonni, segmentni hajmini hisoblashda foydalanilgan. Ya’ni bu davrda integrallar inqilobi yuzaga kelgan desak, adashmagan bo‘lamiz.
Bundan tashqari, shunga o‘xshash usul Xitoyda eramizning 3-asrida Lyu Xuy tomonidan ishlab chiqilgan bo‘lib, u aylana maydonini topishda foydalangan. Bu usul keyinchalik xitoylik ota-bola matematiklar Zu Chongji va Zu Geng tomonidan sharning hajmini topishda qo‘llanilgan.
Yaqin Sharqda esa Lotin mamlakatlarida Alhazen nomi bilan tanilgan inson (taxminan 965-milodiy 1040-y) Hasan ibn al-Haysam to‘rtinchi darajalar yig‘indisi formulasini ishlab chiqdi. U bu natijalardan endi funksiya integrali deb ataladigan tushunchani hisoblash (yaratish) uchun foydalandi, uning bu usulida integral kvadratlar va to‘rtinchi darajalar yig‘indisi formulalari yordamida paraboloid hajmini hisoblash imkonini qo‘lga kiritdi.
Integral hisobdagi keyingi muhim yutuqlar 17-asrgacha paydo bo‘la boshladi. Bu vaqtda Kavalyerining “Bo‘linmaslar metodi bilan” asari va Fermatning bir qancha asarlari zamonaviy hisob-kitoblarga asos sola boshladi, Kavalyeri o‘zining kvadratura formulasida n=9 darajagacha bo‘lgan integrallarini hisoblab chiqdi. Keying qadamlar XVII asrning boshlarida Barrou va Torrichelli tomonidan amalga oshirildi, ular integrallash va differensiallash amallari o‘rtasidagi bog‘liqlik haqida dastlabki fikrlarni ilgari surdilar. Barrou integral hisobning asosiy teoremasining birinchi isbotini keltirdi. Uollis Kavalyeri usulinialmashtirib ning integrallarini umumiy darajaga, jumladan, manfiy darajalar va kasr darajalarni hisoblab chiqdi.
Integrallarni hisoblashdagi eng katta muvaffaqiyat XVII asrda Leybnist va Nyuton tomonidan integral hisobning asosiy teoremasini mustaqil ravishda bir-birlaridan bexabar holda kashf etishlari bilan yuz berdi. Ular integrallash va differensiallash o‘rtasidagi bog‘liqlikni ko‘rsatadi. Ushbu bog‘liqlik differensiallashning qiyosiy qulayligi bilan birgalikda integrallarni hisoblash uchun ham ishlatilishi mumkin edi. Xususan, hisob-kitoblarning asosiy teoremasi ancha kengroq sinfdagi muommolarni hal qilishga imkon beradi. Leybnist va Nyuton tomonidan ishlab chiqilgan keng qamrovli matematik tizimning ahamiyati bir xil edi. U uzluksiz sohalar ichidagi funksiyalarni aniq tahlil qilish imkonini berdi. Oxir oqibat, bu usul zamonaviy hisob-kitob asosiga aylandi va bu hisob-kitoblar to‘g‘tidan-to‘g‘ri Leybnistning asarlaridan olingan.
Nyuton va Leybnist integrallash amaliga tizimli yondashishni ta’minlagan bo‘lsalarda, ularning ishlarida ma’lum bir darajada qat’iylik yo‘q edi va o‘z davrining ba’zi matematiklari bu hisob-kitoblarni umumiy emas deb bilishadi. Hisoblash chegaralarini ishlab chiqish bilan mustahkamroq natijaga erishish mumkin edi. Integrallash amalini birinchi marta Riman tomonidan aniq chegaralar yordamida qat’iy qonunlar yaratildi va rasman tan olindi. Garchi barcha chegaralangn bo‘lakli uzluksiz funksiyalar chegaralangan oraliqda Riman integrallanishi mumkin bo‘lsada, keyinchalik Rimanning ta’rifi qo‘llanilmaydigan umumiyroq funksiyalar, ayniqsa Feryening analiz tushunchakarida ko‘rib chiqildi va Lebeg integralning o‘lchov asosidagi boshqa ta’rifini ishlab chiqdi. Lebeg tomonidan kiritilgan nazariya haqiqiy tahlilning kichik sohasi edi, xolos. Keyinchalik Riman Lebeg yondashuvlarini kengaytiruvchi integralning boshqa ta’rifini taklif qildi. Haqiqy sanoq tizimiga asoslangan bu yondashuvlar bugungi kunda eng keng tarqalgan bo‘lib, hozirda bir qancha muqobil yondashuvlar ham mavjud.
Aniqmas integralning bugungi ko‘rinishdagi belgisi 1675-yilda Gotfrid Vilgelm Leybnist tomonidan kiritilgan bo‘lib, u

integral belgisini yig‘indi (summa) ni bildiruvchi (uzun s) harfiga (summa deb yozilgan; lotincha “sum” yoki “jami”) moslashtirib kiritilgan. Integral belgisi ustida va ostida chegaralari bo‘lgan aniq integralning zamonaviy yozuvi birinchi marta Jozef Furye tomonidan 1819-20-yillarda Fransiya akademiyasining a’zolari orasida qo‘llanilgan va o‘zining 1822-yil kitobida qayta nashr etilgan.
Isaak Nyuton integrallash amalini ko‘rsatish uchun o‘zgaruvchining ustidagi kichik vertikal chiziqdan foydalangan yoki o‘zgaruvchini katak ichiga joylashtirgan. Vertikal chiziq bilan osongina chalkashib ketishdi.
Integral atamasi birinchi marta lotin tilida 1690-yilda Jakob bernulli tomonidan nashr etilgan asarda qo‘llaniladi.
Umuman olganda, oraliqdagi haqiqiy o‘zgaruvchiga nisbatan haqiqiy qiymatli funksiyaning integrali quyidagicha yoziladi

Integral belgisi integrallash amalini ifodalaydi. o‘zgaruvchining differensiali deb ataladigan belgisi integral o‘zgaruvchisi ekanini ko‘rsatadi. funksiya integrallanuvchi funksiya, va nuqtalar integrallash chegarasi. (A.Abdujabborov, Y. Tillaboyev . “Integral tushunchasi, kelib chiqish tarixi va ayrim qarashlar”)
Integrallar matematikadagi asosiy tushunchalar boʻlib, ular nazariy va amaliy sharoitlarda juda koʻp muhim ilovalarga ega. Matematikada integrallar hisobda maydon, masofa va hajmni hisoblashda hamda fan va texnikaning koʻplab sohalarida qoʻllaniladi. Ular fizika, iqtisod va statistika kabi sohalarda ham ilovalarga ega. Masalan, integrallar kuch tomonidan bajarilgan ishni, hodisa ehtimolini va tasodifiy miqdorning kutilgan qiymatini hisoblash uchun ishlatiladi.
Kundalik hayotda integrallar fizika va muhandislikdan tortib iqtisod va moliyagacha bo'lgan turli sohalarda qo'llaniladi. Masalan, ular shaharni energiya bilan ta'minlash uchun zarur bo'lgan energiya miqdorini, qurilish loyihasi uchun zarur bo'lgan materiallar miqdorini va bemor uchun zarur bo'lgan dori miqdorini ularning vazni va boshqa omillarga qarab hisoblash uchun ishlatiladi.
Bundan tashqari, integrallar murakkab hodisalarni tushunishga va kelajak haqida bashorat qilishga yordam beradigan matematik modellarni ishlab chiqishda muhim rol o'ynaydi. Integrallarni qo'llashni iqlim modellashtirish, moliyaviy prognozlash va tibbiy tadqiqotlar kabi sohalarda topish mumkin.
Umuman olganda, integrallar matematikada muhim va koʻp qirrali vosita boʻlib, real dunyoda koʻplab amaliy qoʻllanmalarga ega.

Funksiyaning aniq integralini ta’riflashdan oldin ba’zi bir tushunchalar, jumladan segmentni bo‘laklash, funksiyaning integral yig‘indisi tushunchalari bilan tanishamiz.

1 ni bo‘laklash. Biror segment berilgan bo‘lsin. Uning ushbu

Munosabatda bo‘lgan chekli sondagi ixtiyoriy nuqtalari sistemasini olaylik. Agar , , deb belgilasak, u holda ravshanki,
.
2 . ,
sistema da bo‘laklash bajargan bo‘ladi. Va aksincha, agar bizga segmentning biror chekli bo‘laklashi berilgan bo‘lsa, u ushbu

munosabatda bo‘lgan chekli sondagi nuqtalar sistemasini aniqlaydi. Binobarin, biz to‘plamni bo‘laklash ta’rifiga ekvivalent bo‘lgan quyidagi ta’rifni kirita olamiz.