Mavzu: Boshlang‘ich sinflarda arifmetik materialni o‘rganishda tarixiy materiallardan foydalanish

II BOB. MATEMATIKA FANINING RIVOJLANISH TARIXIGA OID
MATERIALLAR.

1. 
   Muhammad al-Xorazmiy va uning arifmetika darsligi.
   

Olimning to‘liq ismi Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy al- Ma’jusiydir. Bu yerda ismning ‘Abu Abdulloh Muhammad’ qismi islomga yangi o‘tganlarga beriladigan an’anaviy ismdir, ‘Ibn Muso’ ‘Musoning o‘g‘li’ demakdir. ‘al-Ma’jusiy’ laqabiga ko‘ra, Xorazmiyning ajdodlari ma’jusiy kohinlaridan, ya’ni mo’g‘ullardan bo‘lib, islomni otasi qabul qilganligi ko‘rinadi.
Olimning tug‘ilgan va vafot etgan yillari hamda hayot yo‘li haqida aniq ma’lumot saqlanmagan. U tug‘ilgan yilni 783-yil deb taxmin qilinadi. Xorazmiyning boshlang‘ich ta’limi va qanday sharoitda Xorazmni tashlab ketganligi ham fan uchun hozircha noma’lum. Ma’lumki, ma’jusiy kohinlari qadimiy diniy urf-odatlardan xabardar bo‘lgan, yerli xalq yozuvini bilgan hamda diniy va ilmiy adabiyotlar ularning qo‘lida saqlangan. Shunga ko‘ra, Xorazmiy boshlang‘ich ma’lumotni o‘z uyida olganligiga ishonish mumkin. Xorazmiy Vatanini tashlab ketishiga kelsak, ayrim tadqiqotchilarning fikricha, uning otasi ma’jusiy kohinlaridan bo‘lgani uchun arab mutaassiblarini ham ta’qibidan qochib, Xorazmni tashlab ketishga majbur bo‘lgan va Xurosonga, keyinroq esa, Bag‘dodga kelib qolgan. Agar Beruniyning Qutayba haqida keltirgan xabarlari nuqtai nazaridan qaralsa, bu fikrga qo‘shilish mumkin. Lekin bizningcha, boshqa bir mulohaza haqiqatga yaqinroq. Bu mulohaza xalifa Xorun ar-Rashidning Xurosondagi noibi, o‘z o‘g‘li Ma’mun ar-Rashid bilan bog‘liq. Bu mulohazaga ko‘ra, Ma’mun Xurosondagi noiblikning poytaxti Marvga, atrof o‘lkalardan, jumladan, Xorazm, Farg‘ona, Shosh, Forob, Afg‘oniston va boshqa qo‘shni yerlardan olimlarni to‘plab, o‘z saroyida ularning ilmiy ishlariga sharoit yaratib bergan. Ma’mun o‘rta asrlardagi mustabid feodal hokimining tipik namunasi bo‘lish bilan birga, olimlarga homiylik ham qilgan. U yoshligidan turli ilmlardan xabardor bo‘lgan. Uning saroyida Xorazmiydan tashqari, O‘rta osiyolik olimlardan Javhariy, Habash al-Hosib, Farg‘oniy va boshqalar bo‘lgan. 813-yili xalifalik lavozimiga Ma’mun ar-Rashid (813—833) o‘tirgach, u o‘zi bilan Bag‘dodga Marvdagi saroy olimlarini ham olib keladi. Keyinchalik bu olimlar Sharqda ‘almaroviza’, ya’ni ‘marvliklar’ nomi bilan mashhur bo‘ladi. Ular orasida Xorazmiy ham bor edi. Ma’mun ‘damashqliklar’ va ‘marvliklarni’ ‘Bayt-ul hikmat’ deb atalgan va keyinchalik ‘Ma’mun akademiyasi’ nomi bilan mashhur bo‘lgan akademiyaga birlashtiradi.
Ma’mun akademiyasida ko‘plab olimlar, tarjimonlar va xattotlar xizmat qiladi. Ularning aksariyati O‘rta Osiyo va Erondan kelgan olimlar edi. Yu. Rushka ta’kidlaganidek, H. Zuter tomonidan tuzilgan matematik va astronomlar ro‘yxatidagi olimlarning hammasi ‘deyarli nuqul Xuroson, Movarounnahr, Baqtriya va farg‘onaliklardir’. Demak, ‘Ma’mun akademiyasi’da olib borilgan ilmiy izlanishlarga asli O‘rta osiyolik bo‘lgan olimlar muhim hissa qo‘shgan. ‘Bayt-ul hikmat’ning o‘z rasadxonalari bo‘lgan. Bag‘dod olimlari astronomiya, matematika, geografiya sohasida keng ko‘lamda ishlar olib borganlar, yer meridiani bir darajasining uzunligini, ekliptikaning og‘ishini va yoritqichlarning sferik koordinatalarini o‘lchaganlar. Astronomiyaga qiziqishning sabablaridan biri feodal saroy hokimlarining astrologiyaga, ya’ni yulduzlarga qarab, hukm chiqarishga (‘sinoati tanjim’) xurofiy ishonganliklari edi. Albatta, bu asosiy sabab bo‘lmay, balki u Sharq mamlakatlari ko‘pchiligining, jumladan, O‘rta Osiyoning ham dehqonchiligi, madaniyat va taraqqiyoti sug‘orishga asoslanganligida, bu esa astronomiya bilan ancha bog‘liq ekanligidadir.¹¹
Ayrim tadqiqotchilarning fikricha, Bag‘dodda astronomiya bilan shug‘ullanishga turtki bo‘lgan sabablardan biri bag‘dodliklar hindlarning bilimidan xabardor bo‘lganliklaridir. Bu fakt haqida va Xorazmiyning undagi ahamiyati haqida XIII asr tarixchisi Ibn al-Kiftiy (1172—1248) quyidagicha xabar beradi:
‘Ibn Odamiy deb ma’lum bo‘lgan al-Husayn ibn Muhammad ibn Hamid o‘zining ‘Terilgan marjon’ deb atalgan katta zijida hikoya qiladiki, bir yuz ellik oltinchi [milodiy 773] yili Xalifa al-Mavsur oldiga Hindistondan bir kishi keldi. U yoritqichlarning harakatlari, ularning chorak daraja uchun hisoblangan kardajalardan tuzilgan tenglamalari va yoritgichlar bilan bo‘ladigan boshqa samoviy hodisalar, chunonchi, tutilishlar ekliptika [darajalarining] chiqishlari va boshqalar haqidagi Sindhind deb ataluvchi hisobdan xabardor edi... Bular bir necha boblik kitobda keltirilgan edi. U [al-Husayn] aytadiki, o‘sha [hind] kitobni hind podshohlaridan bo‘lmish Fig‘ar nomli podshoga mansub kardajalar hisobiga qisqartirgan, bunda kardajalar minutlar uchun hisoblangan bo‘ldi.
Arifmetik asar, lotincha “Algoritmi de numero” (‘Algoritmi hind hisobi haqida’) nomi bilan ma’lum. Asarning arabcha nusxalari saqlanmagan. Bu yerda keltirilgan nom asarning XIV asrda ko‘chirilgan Kembrij univereitetida saqlanadigan nusxasida keltiriladi. Mazkur nusxaga asos bo‘lgan lotincha tarjimani XII asrda Kremonalik Gerardo yoki Adelard Bat bajargan. Lotincha tarjimaning bu nusxasi B. Bonkompani va K.Fogel tomonidan nashr etilgan K. Fogel lotincha tarjima nusxasining fotoreproduksiyasini ham chop etgan. Asarning tadqiqi bilan fotoreproduksiyasini A. P. Yushkevich ham nashr etgan. B. Bonkompani nashri asosida Yu. X. Kopelevich bajargan ruscha tarjima B. A. Rozenfeldning izohlari bilan Xorazmiyning matematik risolalari to‘plamida nashr etilgan. Bundan tashqari, A. P. Yushkevichning monografiyasida ikki paragraf Xorazmiy asarining tadqiqiga bag‘ishlangan.
Xorazmiyning arifmetik risolasi XII asr o‘rtalarida Seviliyalik Ioann tomonidan qayta ishlangan. Uning asari ‘Liber algoritmi de practica arifmetice’ (‘Algoritmning arifmetika amali haqida kitobi’) deb ataladi, u B. Bonkompanining yuqorida eslatilgan nashrida keltirilgan. Mazmuni bo‘yicha Xorazmiy asariga yaqin bo‘lgan XII asrga mansub lotincha ‘Liber ysagogarum Algorizmi in artem astronomicam a magistro A. Compositum ‘ (‘Magistr A. tomonidan ta’rif etilgan Al Xorazmiyning astronomiya san’atiga kirish kitobi’) nomli asar ham mavjud. ‘Magistr A.’ deb ko‘pchilik ingliz olimi Adelard Batni hisoblaydi. Xorazmiyning arifmetik risolasini ham Adelard Bat tarjima etganligi ehtimol.¹²
Al-kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala (‘Aljabr al muqobala hisobi haqida qisqacha kitob’). Xorazmiy ‘Algebra’sining arabcha nusxasi Oksford universitetining Bodleyan kutubxonasida saqlanadi. Bu qo‘lyozma 1342-yili ko‘chirilgan. Uning arabcha nusxasi inglizcha tarjimasi bilan birga F. Rozen tomonidan 1831-yili nashr etilgan. Xorazmiy bu asarining yana ikkita arabcha nusxasi mavjudligi aniqlandi. Risolaning arabcha nusxalaridan tashqari ikkita lotincha tarjimasining nusxalari mavjud. Birinchi lotincha tarjima 1145-yili Ispaniyaning Segoviya shahrida Chesterlik Robert tomonidan bajarilgan. Bu tarjimaning Kolumbiya (Nyu-york) universiteti, Vena va Drezden Davlat kutubxonalarida saqlanadigan qo‘lyozmalariga ko‘ra, lotincha tekstini inglizcha tarjimasi bilan birga 1915-yili L. Ch. Karpinskiy nashr etgan.
Ikkinchi lotincha tarjimasi ham XII asrda Kremonalik Gerardo tomonidan bajarilgan bo‘lib, 1838 yili G. Libri tomonidan nashr etilgan. Seviliyalik Ioann (XII) tomonidan bajarilgan lotincha qisman tarjima uning Xorazmiy arifmetikasiga bag‘ishlangan risolasi tarkibiga kirgan va B. Bonkompani tomonidan nashr etilgan. Risolaning arabcha nusxasidan nemischa tarjimasini Yu. Rushka, fransuzcha tarjimasini A. Marr va forscha tarjimasini X. Xedivjam nashr etgan. Risolaning geometrik qismi S. Gands tomonidan nashr etilgan. Asarning ruscha tarjimasi Yu. X. Kopelevich va B. A. Rozenfeld tomonidan nashr etgan.
Buyuk bobokalonimiz Al- Xorazmiy butun dunyoga raqamlardan qanday foydalanish kerakligini o'rgatgan olimdir. U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,va 0 kabi raqamlar hisob- kitob ishlari uchun juda ham qulay ekanini isbotlab bergan . Bu haqida olim o'zining arifmetikaga oid kitobida batafsil yozib qoldirgan.
Qadimgi yevropaliklar sanoq va hisob - kitob ishlari uchun hozirgiday 1, 2, 3 kabi arab raqamlarini ishlatmagan. Buning o'rniga murakkab rim raqamlaridan foydalanishgan. Rim raqamlarini yozish va o'rganish qiyin bo'lgan.
Masalan, oddiy “8” raqamini bildirish uchun to'rtta belgi ishlatilgan -VIII . Agar 2088 raqamini yozish kerak bo'lib qolsa , u mana bunday ko'rinish olardi- MMLXXXVIII. Qizig'i , o'sha davrlarda 0 raqamini bildiruvchi belgi ham bo'lmagan.Bu esa ko'plab aniq fanlarning rivojlanishiga to'sqinlik qilgan.
Al-Xorazmiy arab raqamlaridan o'ziga xoslikni tushuntirib beradi.Ayniqsa, 0 raqamidan foydalanib istalgan miqdorini bildirish qulay ekanini , bunda rim raqamlariday qiyinchilik tug'ilmasligi isbotlaydi.Shu tariqa, yevropaliklar murakkab rim raqamlaridan voz kechib, qulay bo'lgan arab raqamlarini ishlata bebra foshlashadi.Buyuk bobomizni esa algebra fani asoschisi sifatida tan olishadi.
Algebraik risolaning keyingi boblari Xorazmiy yashagan davrning orazmiy arab raqamlaridan o'ziga xoslikni tushuntirib beradi.Ayniqsa, 0 raqamidan foydalanib istalgan miqdorini bildirish qulay ekanini , bunda rim raqamlariday qiyinchilik tug'ilmasligi isbotlaydi.Shu tariqa, yevropaliklar murakkab rim raqamlaridan voz kechib, qulay bo'lgan arab raqamlarini ishlata bebra foshlashadi.Buyuk bobomizni esa algebra fani asoschisi sifatida tan olishadi.¹³
Ikkinchi va uchinchi sinfda qo'shish va ayirish algoritmi o'rgatilgan so'ng bu algoritmni mohiyatida Xorazmiy merosidan foydalanish mumkin.
Quyidagi keltirilgan Xorazmiy masalalaridan dars jarayonlarida foydalanish mumkin.
Algebraik risolaning keyingi boblari Xorazmiy yashagan davrning talabi va islom huquq normalariga ko'ra merosxo'rlar o'rtasida mulk taqsimlashga doir turli xil murakkab masalalarga bag'ishlangan. Biz quyida shu masalalardan ba'zilarini keltiramiz:

1. 
   masala. Bir kishi vafot etadi va undan to'rt o'g'il qoladi. Otadan qolgan mulkdan har bir o'g'il baravar hissa olishi kerak. U o'limidan oldin bir odamga o'g'illarining har biriga tegadigan hissani, ikkinchi bir odamga mulkning uchdan bir bo'ladigan bir o'g'il hissasini ayirib, ayirmaning to'rtdan bir bo'lagini olishlarini vasiyat qilgan
   
2. 
   masala. Bir xotin vafot etgan, undan ikki qiz, onasi va eri qolgan. U bir odamga onasiga tegadigan hissani, boshqa bir odamga hamma mulkning to'qqizdan bir qismini vasiyat qilgan. Masalaning mazmunidan qizlariga, onasiga va eriga mulkning qanday qismi tekkanini topish lozimligi ko'riladi.
   

Xorazmiy tavsiya etgan yechish usuli: ‘Zarur mulkning bo'laklari (soni)ni top, u o'n uch bo'lak, bundan ikki bo'lagi onasiga. Endi sen vasiyat qilingan ikki bo'lak va butun mulkning to'qqizdan bir bo'lagi ekanini bilasan. Undan merosxo'rlarga ikki bo'laksiz to'qqizdan sakkiz mulk qoladi. Ikki bo'laksiz to'qqizdan sakkizni o'n uch bo'lak deb hisoblab, o'z mulkingni to'ldir, ya'ni unga ikki bo'lakni qo'sh, undan o'n besh teng to'qqizdan sakkiz mulk hosil bo'ladi.So'ngra unga sakkizdan bimi, o'n beshga esa uning sakkizdan biri, ya'ni bir va sakkizga ettini qo'sh. Kimga to'qqizdan bir vasiyat qilingan bo'lsa, unga bir va sakkizdan etti bo'lak (tegadi). Boshqasiga, (ya'ni) kimga onasining bo'lagi vasiyat qilingan bo'lsa, unga ikki qism (tegadi). O'n uch bo'lak qoladi, u esa merosho'rlar orasida ularning qismlari bo'yicha (bo'linadi). Agar bir yuz-u o'ttiz besh bo'lak bo'lsa, u butun bo'ladi’.
Onasi butun mulkning — qismini, eri esa — qismini olishi






qismga teng. Umumiy

bo'laklar soni 16

⁷=—ga
88

teng.

Hamma
kerak bo'lgani uchun butun mulkni 12 qismga bo'lish lozim. Undan 2 qismini onasi, 3 qismini eri oladi, u holda har bir qiziga 3¹ qismdan tegadi. Xorazmiy kasrdan qochib, butun mulkni 12 qismga bo'ladi, ammo oldingi 12 qismga bo'lgani kabi onasi 2 qismni, eri esa 3 qismni olaveradi, har bir qiziga esa 4 qismdan tegadi. Shuning uchun birinchi vasiyat qilingan mablag' onasining qismi 2 bo'lakka teng, ikkinchi vasiyat qilingan mablag' hamma mulkning ¹ qismiga yoki butuni qolgan mulkning mulk 135 qismdan iborat deb, onasi 16 bo'lakni, eri 24 bo'lakni, har bir qizi 32 bo'lakdan olishini topamiz. Birinchi vasiyat qilingan mablag' esa 15 qism bo'ladi.


qismiga, ya'ni ¹ -15=¹⁵
Matematika tarixidan ma'lumki, meros taqsimlashga doir masalalar bilan Xorazmiygacha ham qadimgi Bobil, Misr va yunonistonlik matematiklar shug'ullangan bo'lsa-da, Xorazmiy bu masalani islom huquq normalari asosida meros taqsimlashning nazariy va amaliy asoslarining matematik usulini birinchi bo'lib ishlab chiqdi. Xorazmiyning algebraik risolasida bayon etilgan ilmiy yo'nalish keyingi davr olimlarning ijodiga katta ta'sir ko'rsatdi. Xorazmiydan keyin yashagan o'rta asr sharq matematiklari Nasaviy, Abu Komil, Sirojiddin Sijovandiy, Tusiy, Jamshid Koshiy va boshqalar algebrani taraqqiy ettirish bilan bir qatorda, Xorazmiy boshlagan ilmiy an'anani davom ettirib, meros taqsimlash masalalarining ilmiy va amaliy nazariyasiga salmoqli hissa qo'shdilar Masalan, XII asrda yashagan matematik va huquqshunos Sirojiddin Sijovandiyning algebraga doir asarlarida va 1203 yili yozilgan meros taqsimlashga doir maxsus ‘Sirojiddining vorislik huqiqi’ nomli asarida meros taqsimlashning umumiy ilmiy va amaliy nazariyasi berilgan. Ulug'bekning Samarqand ilmiy maktabida ijod etgan olimlardan Jamshid Koshiyning ‘Arifmetika kaliti’ (‘Miftox al-hisob’, XV asr) nomli asarida ham meros taqsimlashga doir turli xil masalalar uchraydi.

2.