Mavzu: elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Ta'rif. sohada (2) tenglamaning regulyar yechimi deb (1) tenglamani qanoatlantiruvchi hamda 0(0,0) va A( 1,0), 5(0,1) nuqtalardan tashqari da birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega funksiyaga aytiladi, 0(0,0) va A( 1,0), 5(0,1) nuqtalarda esa mos ravishda birdan kichik va ж tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bu yerda — yetarlicha kichik musbat son.
NDj masalasi. Qaralayotgan sohada (2) tenglamani berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:

bunda - berilgan uzluksiz funksiyalar, v(y) funksiya 0(0,0) va 5(0,1)
nuqtalarda mos ravishda birdan kichik va ж tartibli cheksizlikka intilishi mumkin,
[7-8] maqolalardagi lemmaga asosan (2) tenglama uchun ND* chegaraviy masalasi ekvivalent ravishda quyidagi integro-differensial tenglamaga keltiriladi:
(3)
bunda tenglama uchun ND* chegaraviy masalasining Grin funksiyasi [9].
(3) integro-differensial tenglamaning yechimi mavjudligi ketma-ket yaqinlashish usuli orqali isbotlangan.
Asosiy nazariyaga asosan nolinchi yaqinlashish uchun U₀(x,y) = 0 deb qabul qilamiz.
Agar n — yaqinlashish topilgan bo'lsa, (n + 1) — yaqinlashishni quyidagi formuladan foydalanib topamiz:

Grin funksiyasini x va у bo'yicha hosilasini hisoblab quyidagilar topiladi: bu yerda n = 0,1,... .
Aytish joizki, joriy yilning 26-28 may kunlarida Toshkent Kimyo-texnologiya instituti tomonidan tashkil qilingan «Mexanika va matematikaning amaliy muammolari» Respublika ilmiy- amaliy konferensiyaga taqdim qilingan «Buzilish chizig'iga ega elliptik tenglama uchun ND₁ chegaraviy masalasini yechimining mavjudligi haqida» maqolada yechimning mavjudligi isbotlangan va quyidagi baholar keltirilgan:

bu yerda n = 0,1,.,

C_x, C₂, C₃ lar esa berilganlarga bog'liq aniq sonlar bo‘lib, ularning aniq ko‘rinishi Toshkent Kimyo-texnologiya instituti tomonidan tashkil qilingan «Mexanika va matematikaning amaliy muammolari» Respublika ilmiy-amaliy konferensiya materiallarida berilgan —
funksiya bo'yicha shartlar quyida berilgan).
Faraz qilamiz, funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
(8)
bunda - funksiya P da uzluksiz va barcha argumentlari bo'yicha birinchi
tartibli uzluksiz hosilaga ega hamda tartibli nolga aylansin, a — yetarlicha kichik
musbat son va

(3) integro-differensial tenglamaning (5)-(7) baholarni qanoatlantiruvchi yechimini yagona ekanligini isbotlaymiz.
Shu o‘rinda aytish joizki, yechimning yagonaligini isbotlash uchun elliptik tenglamalar uchun ekstremum printsipidan foydalanib isbotlab bo'lmaydi. Chunki, qaralayotgan sohaning chegarasida funksiyaning qiymatlari to'liq berilmagan, ya'ni, sohaning bir qismida funksiyaning x bo'yicha hosilasini qiymati berilgan.
V(x,y) — funksiya (3) tenglamani (5)-(7) baholarni qanoatlantiruvchi birorta yechimi bo'lsin.
№,y) = ^⁽* ,y⁾ — 5’п⁽^,У⁾, (9)
ayirmani qaraymiz, bu yerda




(10)
п = 0 bo'lsin. (5)-(7) baholarni inobatga olib, (9) dan
(11)
(12)
(13)
ekanligini topamiz, bunda
n = 1 bo'lsin. Grin funksiyasi va x va у bo'yicha hosilasining baholari [10], (11)-(13) hamda (8) foydalanib, (10) dan

ekanligini topamiz, bunda C₆ = max(C₄, C₅).
Yuqoridagilarga o'xshash ravishda

baholarga ega bo'lamiz.
Matematik induksiya usulini qo'llab,
(14)
bo'lishini topamiz.
Agar bo'lsa, da (10) ifoda va (14) bahodan ni topamiz.
Bundan bo'lishi kelib chiqadi.
Demak ,
(3) integro-differensial tenglamaning yechimi yagonalagidan, (2) tenglama uchun ND₁ chegaraviy masalasining yechimi yagona bo'lishi kelib chiqadi.
Quyidagi teorema o'rinli.