Mavzu: elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasini qo’yilishi.

Laplas tenglamasi va quyidagi chegaraviy shartlami qanoatlantiruvchi funksiyani toping:
(1)
(2)
bu yerda , yani S da berilgan uzluksiz funksiya.
Ta’rif 1. Laplas tenglamasini fundamental yechimi deb quyidagi funksiyaga aytiladi:
(3)
bunda - ifoda x va orasidagi masofa,
lar mos ravishda va x ning koordinatatalari.
Ta’rif 2. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasini
Grin funksiyasi deb quyidagi xossalarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:
1) Quyidagi ko’rinishga ega:

bunda Laplas tenglamasining fundamental yechimi, — funksiya D
da x va bo'yicha garmonik funksiya (Laplas tenglamasini qanoatlantiradi), ya ’ni

2)
Aytish joizki, Grin funksiyasi bir qator xossalarga ega. Bu xossalar juda muhim bo’lib, Dirixle masalasini yechimini topishda katta ahamiyatga ega. Grin funksiyasining xossalari:

Endi (1) va (2) masalaning yechimiga bag’ishlangan teoremani isbotsiz keltiramiz. Teoremaning isboti matematik fizik tenglamalarga bag’ishlangan barcha klassik adabiyotlarda berilgan.
Teorema. (1) va (2) masalaning yechimi
(4)
ko’rinishda yoziladi, bunda — Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasini
Grin funksiyasi, fazodagi birlik sferaning yuzi, —
Eylerning Gamma funksiyasi, bu S sirtga tashqi normal
bo’yicha nuqtadagi hosila.
Aytib o’taylik, agar Laplas tenglamasi (1) bir jinsli bo’lmasa u Puasson tenglamasi deyiladi quyidagi ko’rinida bo’ladi:

Puasson tenglamasi uchun (2) chegaraviy masalaning yechimi (alohida teorema ko’rinishida yozib o’tirilmadi)

ko’rinishda bo’ladi.
Mavzuda yoritilayotgan ma’lumotlarning tushunilishi yanada osonroq bo’lishi uchun Dirixle masalasi Grin funksiyasini qurishni n = 2 hol uchun ko’rib chiqamiz.
Ikkinchi ta’rifda keltirilganidek, Dirixle masalasini yechish uchun
funksiyani topish zarur. Bunda — funksiya bizga ma’lum,
u Laplas tenglamasining fundamental yechimi va (3) ko’rinishga ega. Demak, bizning asosiy maqsad funksiyani qurishdan iborat bo’ladi.
Grin funksiyasini ta’rifiga (ikkinchi ta’rif) ko’ra,
(5)
(6)
Ko’rinib turibdiki, bu masala funksiyaga nisbatan Laplas tenglamasi
uchun Dirixle masalasini yechish bilan bir xil.
Agar (2) va (3) chegaraviy masala bilan (5) va (6) chegaraviy masalaning asosiy farqiga e’tibor qiladigan bo’lsak, (1) va (2) chegaraviy masala uchun chegaraviy shartda berilgan funksiya — ixtiyoriy funksiya, (5) va (6) masala uchun esa berilgan chegaraviy funksiya — esa maxsus ko’rinishga ega
funksiya.
(5) va (6) chegaraviy masalani yechib, so’ngra Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasini yechimini topamiz.
doirada Dirixle masalasi - (1) va (2) uchun Grin funksiyasini akslantirishlar (elektrostatik tasvir) [2, 33 bet] usulidan foydalanib topamiz.
Akslantirish usulining g’oyasiga ko’ra, S da qo’zg’atilgan zaryadlar maydonini tasvirlaydigan funksiya

shartni qanoatlantiruvchi D sohadan tashqarida zaryadlar maydoni sifatida quriladi. U D sohaning ichidagi zaryadni, masalan biror-bir q zaryadni S chegaraga nisbatan simmetrik ravishda (D sohadan tashqarida) joylashtirish orqali topiladi.
Maqolaning asosiy qismi metodik tavsiyaga ega bo’lganligi uchun akslantirishlar usulini amalga oshirishni quyidagi ketma-ketlikda bajarishni tavsiya qilamiz (bu usul talabalar mustaqil ravishda Grin funksiyasi tuzishlari uchun qulay algoritm hisoblanadi):