Mavzu: elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Lemma. Faraz qilamiz funksiya birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega
bo’lsin va П sohaning chegarasida yetarli tartibda nolga aylansin. U holda
funksiya (7) tenglamaning regulyar yechimi bo’ladi va chegaraviy shartni qanoatlantiradi, bu yerda

tenglama uchun ND_± chegaraviy masalasini Grin funksiyasi bo’lib, quyidagi ko’rinishga ega [3,94 bet, 4]:

F₂(a,b;c;d;e;z) - Gaussning ikki o’zgaruvchili gipergeometrik funksiyasi [4, 69 bet].
Ushbu lemma [2, 27 bet], [6], [7] va [8, 70 bet] adabiyotlardagi kabi potentsiallar nazariyasidagi teoremaga o’xshash isbotlanadi.
Ikkinchi tartibli ikkita buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik, giperbolik va aralash tipga tegishli tenglamalar o’zbek olimi akademik M.S.Saloxitdinov va uning o’quvchilari tomonidan chuqur o’rganilgan va shu masalalarni o’rganishda keng qo’llaniladigan turli differenisal va integral operatorlar tahlil qilingan [9-33] va xorijlik olim tomonidan e’tirof etilgan natijalar olingan.


3. Dirixle-neyman chegaraviy masalasi
Ikkita buzilish chizig'iga ega ikkinchi tartibli elliptik tipdagi tenglama uchun Dirixle-Neyman (ND₁) chegaraviy masalasi yechimining yagonaligi isbotlangan. Masala yechimining yagonaligini isbotlashda elliptik tenglamalar uchun ekstremum prinsipini tadbiq qilib bo'lmasligi bayon qilingan. Chegaraviy masala ekvivalent integro-differensial tenglamaga keltirilgan va uni yagona yechimga ega bo'lishidan foydalanib, ND₁ chegaraviy masalasi yechimining yagonaligi isbotlangan.
Bitta buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar uchun asosiy fundamental adabiyotlar bo'lib F.Trikomi va M.M.Smirnovlarning [1-3] kitoblari hisoblanadi. Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik, giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar uchun
esa o'zbek olimlari akademik M.S.Saloxitdinov va professor B.Islomovlarning monografiyalarini [4] keltirish mumkin.
Tenglamada ikkita buzilish chizig'iga ega xususiy hosilali differensial tenglamalar yo'nalishida olib borilgan asosiy fundamental ishlar bayon qilingan bo'lib, taklif qilingan matematik usullar va tenglamalarning xususiyatlari [1-3] da olib borilgan izlanishlardan ishlardan farq qiladi.
Aytish joizki, [4] da olib borilgan ilmiy ishlarda ikkita buzilishi chizig'iga ega bo'lgan tenglamalar qaralgan bo'lsada, buzilish tartibi turlicha, ya'ni
(1)
bo'lib, taklif qilinayotgan nazariyada m va n lar musbat va ular o'zaro teng bo'la olmaydi. m = n bo'lsa maxsus hol hisoblanadi.
[5-6] maqolada ikkita buzilish chizig'iga ega ikkinchi tartibli elliptik tipga tegishli xususiy xosilali differensial tenglamalar uchun ba'zi chegaraviy masalalar keltirilgan va shu tenglamalar uchun qo'yilgan bir qator chegaraviy masalalar tahlil qilingan.
Ushbu maqolada o'rganilayotgan masalada kvazichiziqli tenglamaning buzilish tartibi (bu yerda ikkinchi tartibli hosilalar oldidagi koeffitsientlar - x va у ning darajasi tartibi nazarda tutilyapti) bir xil va m musbat bo'lgan hol qaraladi, ya'ni:
(2)
ikkinchi tartibli tenglama uchun ND₁ chegaraviy masalasi o'rganilgan va o'ng tomondagi funksiyaga shartlar qo'yilgan holda yechimining (agar mavjud) yagona bo'lishi isbotlangan.
—chegaraviy masala qaralayotgan soha bo'lib, x > 0 va у > 0 da A( 1,0) va 5(0,1) nuqtalarni tutashtiruvchi normal egri chiziq: : o'qidagi OA va x = 0
o'qidagi OB kesma bilan chegaralangan bo'lsin. Kelgusida qulay bo'lishi uchun quyidagicha belgilashlarni kiritamiz:
ikkinchi tartibli tenglama uchun ND₁ chegaraviy masalasi o'rganilgan va o'ng tomondagi funksiyaga shartlar qo'yilgan holda yechimining (agar mavjud) yagona bo'lishi isbotlangan.
—chegaraviy masala qaralayotgan soha bo'lib, x > 0 va у > 0 da A( 1,0) va 5(0,1) nuqtalarni tutashtiruvchi normal egri chiziq: : o'qidagi OA va x = 0
o'qidagi OB kesma bilan chegaralangan bo'lsin. Kelgusida qulay bo'lishi uchun quyidagicha belgilashlarni kiritamiz: