Mavzu: elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

1-qadam. Laplas tenglamasining fundamental yechimini qurish.
(3) formulaga asosan n = 2 hol uchun Laplas tenglamasining fundamental yechimini yozib olamiz:

bunda

2-qadam: nuqtada birlik musbat zaryadni joylashtiramiz, bunda
nuqtaga aylanaga nisbatan
simmetrik joylashgan nuqtani deb belgilaymiz. nuqta nurda aylana
markazidan masofada joylashganki, bunda
munosabat o’rinli. Bu ifodadan topamiz:

3-qadam: (5) va (6) masalaning yechimini

Korinishda izlaymiz.
q zaryadni qiymatini to’g’ri tanlash uchun bo’lsin deymiz, ya’ni
(rasmga qarang).

Uchburchaklar o’zaro o’xshash, chunki x⁰ uchdagi burchak
ular uchun umumiy bo’lib, unga yopishib turgan tomonlar proportsional:

Ikkinchi tomondan, laming simmetrikligidan:

bo’ladi.
q ning qiymati shunday bo’lishi kerakki,

chegaraviy shart bajarilishi lozim.
Bunday holda
bo’lishi kelib chiqadi.
uchburchaklarning o'xshashligidan

ekanligini topamiz.
Demak,

4-qadam: ikkinchi ta’rifga asoslanib, formula
bo’yicha Grin funksiyasini topamiz:

dan qutilish uchun uni ga nisbatan simmetrikligidan, yani foydalanib, Grin funksiyasini topamiz:

Muallifning bu kabi maqolalarni yozishidan asosiy maqsadi ikkinchi tartibli ikkita buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik tenglama uchun qo’yilan ND_± chegaraviy masalasi yechish hisoblanadi. Shuni inobatga olib, endi bevosida ikkinchi tartibli ikkita buzilish chizig’iga ega bo’lgan elliptik tenglama uchun qo’yilan NDi chegaraviy masalasini keltiramiz [1].
Maqola soddaroq bo'lishi uchun masalani qo'yilishini to'liq keltiramiz.
(7)
tenglamani qaraymiz. Bu yerda
chegaraviy masala qaralayotgan soha va
nuqtalarni tutashtiruvchi normal egri chiziq, у = 0
o’qidagi OA va x = 0 o’qidagi OB kesma bilan chegaralangan.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
Ta’rif. sohasida (1) tenglamaning regulyar yechimi deb (7) tenglamani qanoatlantiruvchi hamda 0(0,0) va A(1,0), B(0,1)
nuqtalardan tashqari da birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega funksiyaga aytiladi, 0(0,0) va A( 1,0),B(0,1) nuqtalarda esa mos ravishda birdan kichik va ж tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bu yerda ж yetarlicha kichik musbat son.
ND_± masalasi. sohada (1) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:

bu yerda - berilgan uzluksiz funksiyalar, v(y) funksiya
0(0,0) va B( 0,1) nuqtalarda birdan kichik tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bunda
Izoh 1: qaralayotgan (1) tenglama bir jinsli bo’lmaganligi uchun umumiylikka zid keltirmagan holda chegaraviy shartlarni bir jinsli deb qarashimiz mumkin, ya’ni
Izoh 2. (1) va (2) masalaning shartida D sohaning chegarasi S silliq deb talab qilingan edi. (7) tenglama o’rganilayotgan sohani chegarasi (0(0,0) va A(1, 0), B(0,1) nuqtalarda) esa bo’lakli silliq bo’lganligi uchun shu nuqtalarda yechimning birinchi tartibli hosilasi ham uzilishga ega bo’ladi. Bu hollarni tahlil qilish va ko’ra bilish uchun izlanuvchi diqqatli bo’lishi va matematik analiz fanidan yetarlicha bilimga ega bo’lishi lozim. Ta’kidlab o’tish joizki, bu kabi hollar [3] da chuqur tahlil qilingan.
Quyidagi lemma o’rinli.