Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi

10-misol. lim x2 _5x  2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.
x 5 x²  25
Yechish. f (x) = x_{2 5x} funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)
_
intervalda qaraylik. Ixtiyoriy  0 sonni olib f (x)b  ni x  5 deb quyidagicha
o’zgartiramiz:

turibdiki,  4 deb olsak, u holda 0 | x 5 | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha
x² 25  x²  25

x4; 6 ^uchun x_{2 5x} 2 ^< ₄  tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f (x) ⁼ _x2 _{5x }
funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.
Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday M 0 son mavjud bo’lib,
| x  a | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun | f (x) | M tengsizlik bajarilsa, x  a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x)  kabi
xa yoziladi.
1
11-misol. lim  ekani isbotlansin.
x2 x  2
1
Yechish. f (x) = funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak, x  2
1 1
>M tengsizlik x  2  bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar   deb
M M
1 1
olinsa, x 2  tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun > =M yoki
x  2 
1
>M tengsizlik bajariladi. Bu esa x  2 da f (x) = funksiya cheksizlikka intilishini x  2
1
bildiradi, ya‘ni lim  . x2 x  2