Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi


Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi



Yüklə 263,6 Kb.
səhifə6/6
tarix03.03.2023
ölçüsü263,6 Kb.
#86491
1   2   3   4   5   6
Mavzu Funksiyaning limiti va uzluksizligi

Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi y f (x) funksiya x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.
1-ta„rif. lim f (x)  f (x0) , (18.1)
xx0
y a‘ni funksiyaning x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa, y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni keltiramiz.
91-chizma.
2-ta„rif. Istalgan  0 son uchun shunday  0 son mavjud bo’lsaki, xx0  shartni qanoatlantiradigan istalgan х uchun f (x) f (x0)  tengsizlik bajarilsa, y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
3-ta„rif. lim y  0 (18.2)
x0
b o’lsa, y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi. 90-chizmada tasvirlangan y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart bajariladi.
92-chizmada tasvirlangan y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz emas, chunki lim y  0. x0
92-chizma.
1-misol. y x2 funksiyani ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. y ni tuzamiz: f (x)  x2 ; f (x0)  x02;
f (x0  x)  (x0  x)2 ;
y = f (x0  x)  f (x0 )  (x0  x)2 x02 x02  2x0x  x2 x02  2x0x  x2 .
Demak, lim y  lim2x0xx2  0 va y x2 funksiyani ixtiyoriy x0
x0 x0
nuqtada uzluksiz.
Shunday qilib, y x2 funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan.
2-misol. y  sin x funksiyani ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksizligini ko’rsating.

Yechish. f (x)  sin x


y f (x0  x)  f (x0)  sin(x0  x) sin x0  2sin x0  x x0 cos x0  x x0
2 2
 2sin x cosx0  x ,
2  2 
lim y  lim 2sin xcosx0 x 2 lim sin x lim cosx0 x 0,
x0 x0 2  2  x0 2 x0  2 
chunki lim sin x 0.
x0 2
Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning
to’g’riligiga iqror bo’lamiz.
18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.
Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin. 4-ta„rif. Funksiyaning x0 nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng bo’lsa, y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Shunday qilib f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan va f (x0 0)  f (x0 0)  f (x0 ) shart bajarilishi lozim ekan. Yana 1-ta‘rifga qaytib uni lim f (x)  f (lim x) ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib
xx0 xx0
turibdiki x0 nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan.
3-misol. lim n(1x)  lim 1 n(1 x)  limn(1 x)1x  nlim(1 x)1x ne  1.
x0 x x0 x x0 x0
Bu yerda  funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya ishorasi n ning ichkarisiga kiritdik.
5-ta„rif.a; b intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz f (x) funksiya shu intervalda uzluksiz deb ataladi.
Agar funksiya x0 nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (x)  f (x0) bo’lsa y f (x) funksiya
xx00
х= x0 nuqtada o‟ngdan uzluksiz deyiladi. Agar funksiya х= x0 nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (x)  f (x0) bo’lsa y f (x)
xx00
funksiya х= x0 nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.
6-ta„rif. y f (x) funksiya a; b intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va х=b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u a; b kesmada uzluksiz deb ataladi.

5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib y ax , y  sin x, y  cos x funksiyalar butun sonlar o’qida, y  oga x funksiya 0;  intervalda, y x funksiya 0;  intervalda,
1 y  funksiya ;00;  intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.
x
Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz.
Teorema. Agar f(x) va g(x) funktsiyalar x0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning
f (x)
algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va gx0   0 bo’lganda bo’linmasi ham shu x0 nuqtada g(x)
uzluksiz bo’ladi.
Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan.
Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz.
Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.
Teorema. Agar u x funksiya x0 nuqtada uzluksiz, y f (u) funksiya u0 x0  nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda y fx murakkab funksiya ham x0 nuqtada
uzluksiz bo’ladi.
Isboti. lim f (x) f (x0) ekanligini ko’rsatamiz. u x funksiyaning x0 nuqtada
xx0
uzluksizligidan lim(x) (x0)  u0 ga ega bo’lamiz, ya‘ni x x0 да u u0 . f (u)
xx0
funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak
lim f (x) lim f u f u0  f (x0).
xx0 uu0
Shunday qilib ikkita uzluksiz f (u) va xfunksiyalardan tashkil topgan y f(x) funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan, y  n4 x2  murakkab funksiya х ning 4  x2  0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni 2; 2 intervalda uzluksiz.
Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.
Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar.
4-misol. lim 4sin x topilsin.

x 2
Yechish. 4s xi murakkab funksiya x nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun 2
sinlim 4sin x=4 2  41  4 bo’ladi.

x
2
ax 1
5-misol. lim topilsin.
x0 x
Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. ax 1  t almashtirish olamiz. U
holda ax 1t , x  oga 1t bo’lib x  0 da t  0 va
ax 1 t 1 1 1
limx0 x limt0 oga1t  limt0 1t oga1tlimt0 oga1t1t  ogae ogea na bo’ladi.
Xususiy holda lim ex 1 ne  1 kelib chiqadi, ya‘ni x  0 da ex 1 ~ х .
x0 x
1 xp 1
6-misol. lim topilsin.
x0 x
Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. 1 xp 1 y almashtirish
olamiz. U holda 1 xp 1 y, yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak pn(1 x) n1 y bo’ladi. x  0 da y  0. Demak,
1 xp 1 y pn1 xy n1 xy

lim  lim  lim   plim lim  p11  p. x0 x x0 x x0 x n1 yx0 x y0 n1 y
Shunday qilib, lim 1xp 1=р formulaga ega bo’ldik.
x0 x
Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi.
Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz.
1) x a nuqtada uzluksiz y f (x) funksiya uchun lim f (x)  f (a)bo’ladi.
xa 2) lim ex , lim ex  0.
x x

  1. a 1 bo’lganda lim ax  , lim ax  0 bo’ladi.

x x

  1. 0  a 1 bo’lganda lim ax  0, lim ax  bo’ladi.

x x

  1.  0 bo’lganda lim x,  0 bo’lganda lim x 0 bo’ladi;

x x

  1. lim nx , lim nx .

x x0
6') a 1 bo’lganda lim ogax , lim ogax .
x x0

  1. 0  a 1 bo’lganda lim ogax , lim ogax .

x x0

  1. lim tgx , lim tgx .

 
x 0 x 0 2 2

  1. lim arctgx , lim arctgx .

x 2 x 2
sin x

  1. lim 1. x0 x

x

  1. lim 1 1 e. x x

ax 1

  1. lim na .

x0 x
ex 1
12') lim 1. x0 x
(1 x)p 1

  1. lim  p . x0 x

oga1 x 1 .

  1. lim  x0 x na

14') lim n1x1.
x0 x

Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari


Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz.
Teorema. Agar f (x) funksiya a; b kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u bu kesmada o’zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya‘ni a; b kesmada shunday x1, x2 nuqtalar mavjud bo’lib a; b kesmadagi barcha х lar uchun f x1  f x va f x2  f x tengsizliklar to’g’ri bo’ladi (94-chizma).
m f x2  va M f x1y f (x)funksiyaning a; b kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlaridir.
Izoh. Teoremaning shartidagi kesmani interval yoki yarim intervalga almashtirish mumkin emas.
Masalan, 0; 1 intervalda uzluksiz y x funksiya bu intervalda o’zining eng kichik va eng katta qiymatlarini hech biriga erisha olmaydi.
94-chizma.
Natija.a; bkesmada uzluksiz f (x) funksiya shu kesmada chegaralangandir.

Haqiqatan, f (x) funksiya a; b kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mos ravishda M va m orqali belgilasak a; b kesmadagi barcha х lar uchun m f (x)  M tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Agar С orqali m va M dan kattasini belgilasak f (x)  C
t engsizlik bajariladi. Bu tengsizlik f (x) funksiya a; b kesmada chegaralanganligini ko’rsatadi. Teorema. Agar f (x) funksiya a; b kesmada uzluksiz va kesmaning oxirida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda a; bintervalda kamida bitta nuqta mavjud bo’lib, bu nuqtada funksiyaning qiymati nolga teng bo’ladi.
95-chizma.
95-chizmada f (a)  0 , f (b)  0 va x1,x2 ,x3 nuqtalarda funksiyaning grafigi 0х o’qni kesib o’tadi, demak, f x1  0, f x2  0, f x3  0.
T eorema. f (x) funksiya a; b kesmada uzluksiz bo’lib m va M uning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymati bo’lsin, u holda funksiya shu kesmada m bilan M orasidagi barcha oraliq qiymatlarini qabul qiladi, ya‘ni m  M shartni qanoatlantiradigan istalgan  son uchun a; bkesmada kamida bitta x cnuqta mavjud bo’lib, f (c)  tenglik to’g’ri bo’ladi(96-hizma). Izoh. Funksiya a; b kesmaning birorta nuqtasida uzilishga ega bo’lganda 18.6- va 18.7- teoremalar bajarilmasligi mumkin. Masalan,
1
f (x)  funksiya uchun
x
f (1)  1 0, f (1) 1 0 bajarilsada у 1;1
kesmaning hech bir nuqtasida nolga
96-chizma.
1
aylanmaydi. Buning sababi f (x)  funksiya 1;1 kesmadagi x  0 nuqtada uzilishga ega x (91-chizma).
Yüklə 263,6 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin