Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi

Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi y  f (x) funksiya x₀ nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.
1-ta„rif. lim f (x)  f (x₀) , (18.1)
xx₀
y a‘ni funksiyaning x₀ nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni keltiramiz.
91-chizma.
2-ta„rif. Istalgan  0 son uchun shunday  0 son mavjud bo’lsaki, x x₀  shartni qanoatlantiradigan istalgan х uchun f (x) f (x₀)  tengsizlik bajarilsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.
3-ta„rif. lim y  0 (18.2)
x0
b o’lsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi. 90-chizmada tasvirlangan y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart bajariladi.
92-chizmada tasvirlangan y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz emas, chunki lim y  0. x0
92-chizma.
1-misol. y  x² funksiyani ixtiyoriy x₀ nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. y ni tuzamiz: f (x)  x² ; f (x₀)  x₀²;
f (x₀  x)  (x₀  x)² ;
y = f (x₀  x)  f (x₀ )  (x₀  x)²  x₀²  x₀²  2x₀x  x²  x₀²  2x₀x  x² .
Demak, lim y  lim2x₀xx²  0 va y  x² funksiyani ixtiyoriy x₀
x0 x0
nuqtada uzluksiz.
Shunday qilib, y  x² funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan.
2-misol. y  sin x funksiyani ixtiyoriy x₀ nuqtada uzluksizligini ko’rsating.

Yechish. f (x)  sin x

y  f (x₀  x)  f (x₀)  sin(x₀  x) sin x₀  2sin x^{0  x  x0} cos ^{x0  x  x0} 
2 2
 2sin x cosx0  x ,
2  2 
lim y  lim 2sin ^xcos^_x₀  ^x_  2 lim sin ^x lim cos_^x₀  ^x_  0,
x0 x0 2  2  x0 2 x0  2 
chunki lim sin ^x _ 0.
x0 2
Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning
to’g’riligiga iqror bo’lamiz.
18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.
Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin. 4-ta„rif. Funksiyaning x₀ nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng bo’lsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Shunday qilib f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan va f (x₀ 0)  f (x₀ 0)  f (x₀ ) shart bajarilishi lozim ekan. Yana 1-ta‘rifga qaytib uni lim f (x)  f (lim x) ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib
xx₀ xx₀
turibdiki x₀ nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan.
3-misol. lim n(1^{ x)}  lim ¹ n(1 x)  limn(1 x)^1x  n^_lim(1 x)^1x_  ne  1.
x0 x x0 x x0 ^x0 ^
Bu yerda nх funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya ishorasi n ning ichkarisiga kiritdik.
5-ta„rif. a; b intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz f (x) funksiya shu intervalda uzluksiz deb ataladi.
Agar funksiya x₀ nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (x)  f (x₀) bo’lsa y  f (x) funksiya
xx₀0
х= x₀ nuqtada o‟ngdan uzluksiz deyiladi. Agar funksiya х= x₀ nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (x)  f (x₀) bo’lsa y  f (x)
xx₀0
funksiya х= x₀ nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.
6-ta„rif. y  f (x) funksiya a; b intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va х=b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u a; b kesmada uzluksiz deb ataladi.

5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib y  a^x , y  sin x, y  cos x funksiyalar butun sonlar o’qida, y  og_a x funksiya 0;  intervalda, y  x funksiya 0;  intervalda,
1 y  funksiya ;00;  intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.
x
Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz.
Teorema. Agar f(x) va g(x) funktsiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning
f (x)
algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va gx₀   0 bo’lganda bo’linmasi ham shu x₀ nuqtada g(x)
uzluksiz bo’ladi.
Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan.
Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz.
Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.
Teorema. Agar u x funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, y  f (u) funksiya u₀ x₀  nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda y  fx murakkab funksiya ham x₀ nuqtada
uzluksiz bo’ladi.
Isboti. lim f (x) f (x₀) ekanligini ko’rsatamiz. u x funksiyaning x₀ nuqtada
xx₀
uzluksizligidan lim(x) (x₀)  u₀ ga ega bo’lamiz, ya‘ni x  x₀ да u  u₀ . f (u)
xx₀
funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak
lim f (x) lim f u f u₀  f (x₀).
xx₀ uu₀
Shunday qilib ikkita uzluksiz f (u) va x funksiyalardan tashkil topgan y  f(x) funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan, y  n4 x²  murakkab funksiya х ning 4  x²  0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni 2; 2 intervalda uzluksiz.
Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.
Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar.
4-misol. lim 4^{sin x} topilsin.

x 2
Yechish. 4^{s xi} murakkab funksiya x _ ^ nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun 2
sin^ lim 4^{sin x}=4 ²  4¹  4 bo’ladi.

x
2
ax ^1
5-misol. lim topilsin.
x0 x
Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. a^x 1  t almashtirish olamiz. U
holda a^x 1t , x  og_a 1t bo’lib x  0 da t  0 va
a^x 1 t 1 1 1
lim^x⁰ x  ^limt⁰ og_a1t  ^limt^{0 1}t oga1_t ^{ lim}t0 oga1t₁t  og_ae og_ea na bo’ladi.
Xususiy holda lim ex 1 ne  1 kelib chiqadi, ya‘ni x  0 da ex 1 ~ х .
x0 x
1 x^p 1
6-misol. lim topilsin.
x0 x
Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. 1 x^p 1 y almashtirish
olamiz. U holda 1 x^p 1 y, yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak pn(1 x) n1 y bo’ladi. x  0 da y  0. Demak,
1 x^p 1 y pn1 x y n1 x y

lim  lim  lim   plim lim  p11  p. x0 x x0 x x0 x n1 y x0 x y0 n1 y
Shunday qilib, lim 1^{ xp 1}=р formulaga ega bo’ldik.
x0 x
Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi.
Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz.
1) x  a nuqtada uzluksiz y  f (x) funksiya uchun lim f (x)  f (a)bo’ladi.
xa 2) lim e^x , lim e^x  0.
x x

3. 
   a 1 bo’lganda lim a^x  , lim a^x  0 bo’ladi.
   

x x

3. 
   0  a 1 bo’lganda lim a^x  0, lim a^x  bo’ladi.
   

x x

3. 
    0 bo’lganda lim x^ ,  0 bo’lganda lim x^  0 bo’ladi;
   

x x

3. 
   lim nx , lim nx .
   

x x0
6') a 1 bo’lganda lim og_ax , lim og_ax .
x x0

3. 
   0  a 1 bo’lganda lim og_ax , lim og_ax .
   

x x0

3. 
   lim tgx , lim tgx .
   

 
x 0 x 0 2 2

3. 
   lim arctgx ^ , lim arctgx ^ .
   

x 2 x 2
sin x

3. 
   lim 1. x0 x
   

x

3. 
   lim ^_1 ^{1 }_  e. x x 
   

a^x 1

3. 
   lim na .
   

x0 x
e^x 1
12') lim 1. x0 x
(1 x)^p 1

3. 
   lim  p . x0 x
   

oga1 x 1 .

3. 
   lim  x0 x na
   

14') lim n1^{ x} _1.
x0 x

Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz.
Teorema. Agar f (x) funksiya a; b kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u bu kesmada o’zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya‘ni a; b kesmada shunday x₁, x₂ nuqtalar mavjud bo’lib a; b kesmadagi barcha х lar uchun f x₁  f x va f x₂  f x tengsizliklar to’g’ri bo’ladi (94-chizma).
m  f x₂  va M  f x₁ y  f (x)funksiyaning a; b kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlaridir.
Izoh. Teoremaning shartidagi kesmani interval yoki yarim intervalga almashtirish mumkin emas.
Masalan, 0; 1 intervalda uzluksiz y  x funksiya bu intervalda o’zining eng kichik va eng katta qiymatlarini hech biriga erisha olmaydi.
94-chizma.
Natija. a; b kesmada uzluksiz f (x) funksiya shu kesmada chegaralangandir.

Haqiqatan, f (x) funksiya a; b kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mos ravishda M va m orqali belgilasak a; b kesmadagi barcha х lar uchun m  f (x)  M tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Agar С orqali m va M dan kattasini belgilasak f (x)  C
t engsizlik bajariladi. Bu tengsizlik f (x) funksiya a; b kesmada chegaralanganligini ko’rsatadi. Teorema. Agar f (x) funksiya a; b kesmada uzluksiz va kesmaning oxirida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda a; bintervalda kamida bitta nuqta mavjud bo’lib, bu nuqtada funksiyaning qiymati nolga teng bo’ladi.
95-chizma.
95-chizmada f (a)  0 , f (b)  0 va x₁,x₂ ,x₃ nuqtalarda funksiyaning grafigi 0х o’qni kesib o’tadi, demak, f x₁  0, f x₂  0, f x₃  0.
T eorema. f (x) funksiya a; b kesmada uzluksiz bo’lib m va M uning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymati bo’lsin, u holda funksiya shu kesmada m bilan M orasidagi barcha oraliq qiymatlarini qabul qiladi, ya‘ni m  M shartni qanoatlantiradigan istalgan  son uchun a; b kesmada kamida bitta x  cnuqta mavjud bo’lib, f (c)  tenglik to’g’ri bo’ladi(96-hizma). Izoh. Funksiya a; b kesmaning birorta nuqtasida uzilishga ega bo’lganda 18.6- va 18.7- teoremalar bajarilmasligi mumkin. Masalan,
1
f (x)  funksiya uchun
x
f (1)  1 0, f (1) 1 0 bajarilsada у 1;1
kesmaning hech bir nuqtasida nolga
96-chizma.
1
aylanmaydi. Buning sababi f (x)  funksiya 1;1 kesmadagi x  0 nuqtada uzilishga ega x (91-chizma).