Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi


Funksiyaning cheksizlikdagi limiti



Yüklə 263,6 Kb.
səhifə3/6
tarix03.03.2023
ölçüsü263,6 Kb.
#86491
1   2   3   4   5   6
Mavzu Funksiyaning limiti va uzluksizligi

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti


Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan
 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)b  tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y f (x) funksiyaning x  dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x)  b kabi yoziladi.
x
12-misol. lim x 1 1 ekani isbotlansin.
x x
Yechish. f (x) = x 1 funksiyani qaraylik. Istalgan  0 sonni olsak
1
bo’lib N  desak, barcha |x|>N uchun


 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) = x 1 funksiyaning x  x
dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajarilsa, y f (x) funksiya x  da cheksizlikka
intiladi deyiladi va lim f (x)  kabi yoziladi.
x
13-misol. lim x2  ekani isbotlansin.
x

Yechish. f (x) = x2 funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib f (x)  M tengsizlikni tuzamiz. x2 >M, bundan x M kelib chiqadi. N M deb olinsa, x N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun x2 N 2 M tengsizlik bajariladi. Bu lim x2   ekanini
x
bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi


Teorema. Agar f (x) funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x) funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.
Isboti. lim f (x)  b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan  0 son
xa

uchun shunday  0 son topilib (a , a ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x)b  yoki f (x)  b f (x)b , bundan f (x)  b  bo’lishi kelib chiqadi. Agar M b 

deb olinsa а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a , a ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.
1
Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda f (x)
funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.

Bir tomonlama limitlar


Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b1 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x a-0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b1  lim f (x) , yoki b1  lim f (x) , yoki
xa xa0 xa
b1 f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b1  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.
x0
Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b2 limiti uning х=а nuqtadagi (yoki
x a+0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va b2  lim f (x) yoki b2  lim f (x), yoki
xa xa0 xa
b2 f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b2  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.
x0
f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. b1 =b2 bo’lsa, u holda
f (x) funksiya х=а nuqtada limitga ega.
86-chizma.
Aksincha, f (x) funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a 0)= f (a  0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.
Masalan,
 1, аgаr x  0 bo'lsа,
f (x)  signx 0, аgаr x  0 bo'lsа, 1, аgаr x  0 bo'lsа
funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (0)=-1, f (0)=1 va f (0)  f (0) (86-chizma).
Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.
4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina ха hol uchun o’tkaziladi ( х da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, ха ni ham, х ni ham yozmaymiz.
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni lim(u1(x)u2(x)...un(x))  limu1(x)limu2(x)...limun(x).
Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu1(x)  а, limu2(x)  b bo’lsin. U holda lim(u1(x)u2(x))  a b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.
Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan u1 a, u2 b deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.
Demak, u1 u2  ab ab. Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+βcheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak
lim(u1 u2)  a b  limu1 limu2 ekanligi kelib chiqadi.
x2  4 (x  2)(x  2)
1-misol. lim  lim  lim(x  2)  lim x  lim2  2 2  4.
x2 x  2 x2 x  2 x2 x2 x2
x4 5x2 x4 5x2   5  5

2-misol. lim x4  limx x4  x4 limx1 x2 limx1 limx x2 10 1. x

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim(u1(x)u2(x)...un(x))  limu1(x)limu2(x)...limun(x).
Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limu1 a, limu2 b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan u1 a , u2 b bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u1u2  ab abba. Bu tenglikdagi abo’zgarmas son, ba- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limu1u2 ab  limu1limu2 ekanligi kelib chiqadi.
3-misol. lim(х 3)(х  4)  lim(х 3)lim(х 4)  [lim x lim3][lim x lim4] 
x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
 (2  3)(2  4)  5(2)  10.

4-misol. lim1 1x2  x12   limx1 1xlimx2  x12  (10)(2 0)  2 . x   
Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni lim Cu(x)  C limu(x) , chunki limC C .
5-misol. lim 7х2  7lim х2  7(1)2  7 .
x1 x1
Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv  0 bo’lsa, u limu

lim  bo’ladi. v limv
Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda u a, v b bo’lishini hisobga olsak

  1. a  a a  aa ab b ab aa b a

  2. b   b b  b   b b(b )  b b(b )

    1. b a tenglikka ega bo’lamiz, bunda -o’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya, chunki

    2. b(b )

b a cheksiz kichik funksiya va b(b)≠0.

      1. a limu

So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak lim  

      1. b limv

tenglik hosil bo’ladi.
6-misol. lim ni toping.
x2
Yechish. lim(3х 1)  321 7  0. Shuning uchun:
x2
lim 2х  3 =  22  3  7 1. x2 3х 1 lim (3х 1) 32 1 7
x2 7-misol. lim х 1 ni toping. x3 х 3 Yechish. lim(х 3)  33  0 bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.
x3 Suratning limiti lim(х 1)  31 4  0 bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini
x3
topamiz: lim х 3 = limx3 (х 3) 33 0  0.
x3 х 1 lim(х 1) 31 4
x3
Bundan lim х 1   kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz x3 х 3
katta funksiya bo’ladi.
Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) 0 va
lim f (x)  b (b-chekli son) bo’lsa, u holda b 0 bo’ladi. xа
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni lim f (x)  b bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-
xа
b||b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x) funksiyaning х a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0 degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x) 0 bo’lsa lim f (x)  0 bo’lar ekan.
xа
Shunga o’xshash limitga ega f (x)  0 funksiya uchun lim f (x)  0 bo’lishini isbotlash
xа
mumkin.
Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.
Teorema. Agar х а da limitga ega f1(x) va f2(x) funksiyaning mos qiymatlari uchun f1(x)  f2(x) tengsizlik bajarilsa, u holda lim f1(x)  lim f2(x) bo’ladi.
xа xа
Isboti. Shartga ko’ra f1(x)  f2(x), bundan f1(x)- f2(x) 0. Oldingi teoremaga binoan lim [ f1(x)- f2(x)]0 yoki lim f1(x)-lim f2(x) 0. Bundan lim f1(x)  lim f2(x) tengsizlik kelib
xа xа xа xа xа chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan. Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos qiymatlari uchun u(x)v(x)z(x) tengsizliklar bajarilsa va lim u(x)=lim z(x)=b bo’lsa, u holda
xа xа lim v(x)=b bo’ladi. xа
Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan >0 son uchun а nuqtaning
xа xа
1-atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun | u(x) b | tengsizlik bajariladi. Shunga o’xshash shu >0 son uchun а ning 2 -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun | z(x) b | tengsizlik bajariladi. Agar orqali 1va 2 sonlarning kichigini belgilasak а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun | u(x) b | va | z(x) b | tengsizlik bajariladi.
Bular
u(x) b  va  z(x) b (17.1)
tengsizliklarga teng kuchli.
Endi teorema shartidagi u(x)v(x)z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli u(x) b v(x)b z(x)b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).
Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak u(x) b v(x)-bz(x) b yoki bundan
<v(x)-b  tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun <v(x)-b  tengsizlik o’rinli ekan.
Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.
xа
Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.

Yüklə 263,6 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin