Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan
 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)b  tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y  f (x) funksiyaning x  dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x)  b kabi yoziladi.
x
12-misol. lim x ^1 1 ekani isbotlansin.
x x
Yechish. f (x) = x ^1 funksiyani qaraylik. Istalgan  0 sonni olsak
1
bo’lib N  desak, barcha |x|>N uchun


 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) ⁼ x ^1 funksiyaning x  x
dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajarilsa, y  f (x) funksiya x  da cheksizlikka
intiladi deyiladi va lim f (x)  kabi yoziladi.
x
13-misol. lim x²  ekani isbotlansin.
x

Yechish. f (x) = x² funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib f (x)  M tengsizlikni tuzamiz. x² >M, bundan x  M kelib chiqadi. N  M deb olinsa, x  N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun x²  N ²  M tengsizlik bajariladi. Bu lim x²   ekanini
x
bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi

Teorema. Agar f (x) funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x) funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.
Isboti. lim f (x)  b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan  0 son
xa

uchun shunday  0 son topilib (a , a ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x)b  yoki f (x)  b  f (x)b , bundan f (x)  b  bo’lishi kelib chiqadi. Agar M  b 

deb olinsa а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a , a ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.
1
Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda f (x)
funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.

Bir tomonlama limitlar

Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₁ limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x  a-0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b₁  lim f (x) , yoki b₁  lim f (x) , yoki
xa xa0 xa
b₁  f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b₁  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.
x0
Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₂ limiti uning х=а nuqtadagi (yoki
x  a+0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va b₂  lim f (x) yoki b₂  lim f (x), yoki
xa xa0 xa
b₂  f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b₂  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.
x0
f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. b₁ =b₂ bo’lsa, u holda
f (x) funksiya х=а nuqtada limitga ega.
86-chizma.
Aksincha, f (x) funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a 0)= f (a  0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.
Masalan,
 1, аgаr x  0 bo'lsа,
f (x)  signx  ^_ 0, аgаr x  0 bo'lsа, ^1, аgаr x  0 bo'lsа
funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (0)=-1, f (0)=1 va f (0)  f (0) (86-chizma).
Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.
4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina ха hol uchun o’tkaziladi ( х da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, ха ni ham, х ni ham yozmaymiz.
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni lim(u₁(x)u₂(x)...u_n(x))  limu₁(x)limu₂(x)...limu_n(x)_.
Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu₁(x)  а, limu₂(x)  b bo’lsin. U holda lim(u₁(x)u₂(x))  a b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.
Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan u₁  a, u₂  b deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.
Demak, u₁ u₂  ab ab. Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+βcheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak
lim(u₁ u₂)  a b  limu₁ limu₂ ekanligi kelib chiqadi.
x²  4 (x  2)(x  2)
1-misol. lim  lim  lim(x  2)  lim x  lim2  2 2  4.
x2 x  2 x2 x  2 x2 x2 x2
x⁴ 5x²  x⁴ 5x²   5  5

2-misol. ^lim x4  ^lim_x x4  x4 _  ^lim_x_1 x2 _  ^lim_x1 ^lim_x x2 10 1. _x

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim(u₁(x)u₂(x)...u_n(x))  limu₁(x)limu₂(x)...limu_n(x)_.
Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limu₁  a, limu₂  b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan u₁  a , u₂  b bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u₁u₂  ab abba. Bu tenglikdagi abo’zgarmas son, ba- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limu₁u₂  ab  limu₁limu₂ ekanligi kelib chiqadi.
3-misol. lim(х 3)(х  4)  lim(х 3)lim(х 4)  [lim x lim3][lim x lim4] 
x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
 (2  3)(2  4)  5(2)  10.

4-misol. lim^1 ¹x^^2  x¹₂ ^  lim_x^1 ¹x^lim_x^2  x¹₂ ^  (10)(2 0)  2 . _x   
Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni lim Cu(x)  C limu(x) _, chunki limC C .
5-misol. lim 7х²  7lim х²  7(1)²  7 .
x1 x1
Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv  0 bo’lsa, u limu

lim  bo’ladi. v limv
Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda u  a, v  b bo’lishini hisobga olsak

21. 
    a  a  a  a a ab b  ab  a a b  a
    
22. 
    b   b _b  b   b  b(b )  b  b(b )
    
    1. 
       b  a tenglikka ega bo’lamiz, bunda -o’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya, chunki
       
    2. 
       b(b )
       

b  a cheksiz kichik funksiya va b(b)≠0.

21. 
    a limu
    

So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak lim  

21. 
    b limv
    

tenglik hosil bo’ladi.
6-misol. lim ni toping.
x2
Yechish. lim(3х 1)  321 7  0. Shuning uchun:
x2
lim 2х  3 =  22  3  7 1. ^x2 3х 1 lim (3х 1) 32 1 7
x2 7-misol. lim ^{х 1} ni toping. x3 х 3 Yechish. lim(х 3)  33  0 bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.
x3 Suratning limiti lim(х 1)  31 4  0 bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini
x3
topamiz: lim х 3 = limx3 (х 3) 33 0  0.
^x3 х 1 lim(х 1) 31 4
x3
Bundan lim ^{х 1}   kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz x3 х 3
katta funksiya bo’ladi.
Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) 0 va
lim f (x)  b (b-chekli son) bo’lsa, u holda b 0 bo’ladi. xа
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni lim f (x)  b bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-
xа
b||b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x) funksiyaning х  a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0 degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x) 0 bo’lsa lim f (x)  0 bo’lar ekan.
xа
Shunga o’xshash limitga ega f (x)  0 funksiya uchun lim f (x)  0 bo’lishini isbotlash
xа
mumkin.
Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.
Teorema. Agar х  а da limitga ega f₁(x) va f₂(x) funksiyaning mos qiymatlari uchun f₁(x)  f₂(x) tengsizlik bajarilsa, u holda lim f₁(x)  lim f₂(x) bo’ladi.
xа xа
Isboti. Shartga ko’ra f₁(x)  f₂(x), bundan f₁(x)- f₂(x) 0. Oldingi teoremaga binoan lim [ f₁(x)- f₂(x)]0 yoki lim f₁(x)-lim f₂(x) 0. Bundan lim f₁(x)  lim f₂(x) tengsizlik kelib
xа xа xа xа xа chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan. Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos qiymatlari uchun u(x)v(x)z(x) tengsizliklar bajarilsa va lim u(x)=lim z(x)=b bo’lsa, u holda
xа xа lim v(x)=b bo’ladi. xа
Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan >0 son uchun а nuqtaning
xа xа
₁-atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun | u(x) b | tengsizlik bajariladi. Shunga o’xshash shu >0 son uchun а ning ₂ -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun | z(x) b | tengsizlik bajariladi. Agar orqali ₁va ₂ sonlarning kichigini belgilasak а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun | u(x) b | va | z(x) b | tengsizlik bajariladi.
Bular
u(x) b  va  z(x) b (17.1)
tengsizliklarga teng kuchli.
Endi teorema shartidagi u(x)v(x)z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli u(x) b v(x)b z(x)b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).
Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak u(x) b v(x)-b z(x) b yoki bundan
<v(x)-b  tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun <v(x)-b  tengsizlik o’rinli ekan.
Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.
xа
Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.