Mavzu: Qism fazo. Qism fazolar yig’indisi, kesishmasi va ularning o’lchamlari haqida teoremalar. Bir XIL chekli o’lchamli chiziqli fazolarning izomorfligi. Reja

Mavzu: Qism fazo. Qism fazolar yig’indisi , kesishmasi va ularning o’lchamlari haqida teoremalar. Bir xil chekli o’lchamli chiziqli fazolarning izomorfligi.
Reja:

1. 
   Qism fazo teoremasi.
   
2. 
   Qism fazo yig’indisi va birlashmasi.
   
3. 
   Bir xil chekli o’lchamli chiziqli fazolarning izomorfligi.
   

Biz chiziqli fazo va unda qism to’plam berilgan bo’lsin.

Ta’rif: Agarda qism to’plam fazoda kiritilgan qo’shish va skalyarga ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil etsa, fazoga fazoning qism fazosi deyiladi.
Tabiiykim qism to’plamni qism fazoga tekshirish uchun fazoda berilgan shartlarni hammasini tekshirish lozim bo’ladi, ammo quyida keltiriladigan teorema bu shartlarni tekshirish umuman olganda zarur emasligini ko’rsatadi.
Teorema: qism to’plam qism fazo bo’lishligi uchun quyidagi
1. ;
2.
shartlarni bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isbot. chiziqli fazo bo’lsin. U holda teoremadagi ikki shartlar to’g’ridan-to’g’ri o’rinli bo’ladi. Aksincha, ya’ni teoremadagi ikki shartlar o’rinli bo’lsin. U holda qism to’plam unga berilgan qo’shish amaliga nisbatan abel gruppasi ham bo’ladi. Haqiqatan ham, assosiativlik qonuni o’rinli, aks holda u fazoda o’rinli bo’lmaydi.
qarashliligidan deb olsak, bo’ladi va agarda deb olsak, bo’ladi. Xuddi shunday fazoda skalyarlar uchun keltirilgan shartlar qism to’plam uchun ham o’rinliligini ko’rish qiyin emas.
Teoremadan to’g’ridan-to’g’ri qism fazo bo’lishligini ikki shartlarini bittaga almashtirish mumkinligi haqidagi natijani hosil qilamiz.
Natija: qism fazo bo’lishligi uchun , uchun

bo’lishligi zarur va yetarlidir.
Endi qism fazolarga doir misollar keltirib o’tamiz.
Misollar 1. Faqat nol vektordan iborat bo’lgan qism to’plam va fazoning o’zi-o’ziga qism fazolar bo’ladi. Bu qism fazolarga fazoning xosmas qism fazolari deb ataladi.
2. tekislikda koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziq ustida yotuvchi vektorlar to’plami va xuddi shunday uch o’lchovli fazoda koordinata boshidan o’tuvchi tekislikda joylashgan vektorlar to’plami qism fazolar tashkil etadi.
Misoldan ko’rinib turibdiki, koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar va tekisliklar cheksiz ko’p va demak fazoning qism fazolari cheksiz ko’pdir.
3. fazoda hamma birinchi koordinatalari (yoki ixtiyoriy boshqa koordinatalari) noldan iborat bo’lgan qism to’plami qism fazo tashkil etadi. Umuman qandaydir uchun

tenglikni qanoatlantiruvchi dagi barcha vektorlar to’plami da qism fazo tashkil etadi.
4. Yuqoridagi misolni umumlashtirib, umuman aytishimiz mumkinki, agar qandaydir vektorlari bo’lsa, u holda

tenglikni qanoatlantiruvchi, ya’ni agarda , ..., vektorlari bo’lsa, yuqoridagi tenglikga teng kuchli bo’lgan

bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlaridan tuzilgan vektorlar to’plami arifmetik fazoning qism fazosi bo’lishi bizga ma’lum edi. Bundan tashqari ekanligini biz bilamiz (bu yerda ) va demak

bo’ladi. Aksincha ning o’lchovi ga teng bo’lgan hamma qism fazolariga rangi teng bo’lgan qandaydir bir jinsli tenglamalar sistemasiga oid yechimlar fazosi bo’ladi. Bu yerdan hosil bo’lgan tengsizlikni umumlashtirib, quyidagi teoremani keltira olamiz.
Teorema: Agar maydon ustida fazo berilgan bo’lib, bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy qism fazosi uchun

bo’ladi.
Mustaqil ravishda teoremani isbotini keltirishni biz o’quvchi ixtiyoriga havola qilamiz.
fazoning ixtiyoriy qism to’plamini olib, orqali dan olingan vektorlar orqali chiziqli ifodalangan barcha vektorlar to’plamini belgilaymiz. Hosil bo’lgan to’plamga to’plamning chiziqli qobig’i deyiladi.
Shunday hosil bo’lgan to’plam fazoning qism fazosi bo’lib, uning o’lchovi to’plamning rangiga teng bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki, agar bo’lsa, u holda har qanday fazo o’lchovli qism fazolarga ega. Xususan, agarda fazoning bazis vektorlaridan tuzilgan qism to’plamni qarasak, bo’ladi va demak chiziqli fazoni bazis vektorlaridan tuzilgan qobig’i deb qarashimiz mumkin.
Bizga fazo qandaydir qism fazosi va vektori berilgan bo’lsin.
Ta’rif: Ushbu

qism to’plamga qism fazoni fazoda vektorga siljishidan hosil bo’lgan gipertekisligi deb ataladi.
Misollar. 1. Agar nol qism fazo bo’lsa, u holda bu qism fazoni vektorga siljishidan hosil bo’lgan gipertekislik faqat vektorning o’zidan iborat bo’ladi.
2. da ushbu to’g’ri chiziq bilan aniqlangan qism fazoni vektorga siljitsak, gipertekislik ga parallel bo’lgan va nuqtadan o’tuvchi

tenglama bilan aniqlangan to’g’ri chiziqni beradi.
3. maydonda berilib, birgalikda bo’lgan ixtiyoriy tartibli bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlar to’plami fazoda gipertekislik hosil qiladi. Bu gipertekislik tenglamalar sistemasiga oid bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlaridan tuzilgan vektorlari qism fazosini uning biror xususiy yechimiga siljishidan hosil bo’ladi, ya’ni

bo’lib, vektor bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasining biror xususiy yechimi.
Tabiiyki, bo’lib, boshqa hamma gipertekisliklar fazoda qism fazo tashkil etmaydi. Bundan tashqari ularning to’plam ma’nodagi kesmalari bo’sh to’plamdir, ya’ni
.
U holda teorema o’rinlidir.