2-teorema. C[a,b] metrik fazo separabel fazo bo‘ladi.
𝑟
Isbot. Haqiqatdan ham, koeffitsientlari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan ko‘phadlar to‘plami 𝑃 sanoqli to‘plam va bu to‘plam ko‘phadlar to‘plami P da zich, P esa matematik analizdagi Veyershtrass teoremasiga ko‘ra 𝐶[𝑎,𝑏] da zich. Bu esa 𝐶[𝑎,𝑏] ning separabel fazo ekanligini ko‘rsatadi.
3-teorema. 𝑙𝑝fazo separabel metrik fazo bo‘ladi.
̅
∞
Isbot. 𝑙𝑝(𝑝≥1) fazoning separabel ekanligini isbotlash uchun 𝐷 =𝑙𝑝bo‘ladigan 𝐷 ={𝑥 =(𝑥1,𝑥2,…),∑𝑘=1|𝑥𝑘|𝑝<∞} sanoqli to‘plamning mavjudligini isbotlash yetarli.
Aytaylik, 𝑥 ∈𝑙𝑝bo‘lsin. Bu elementga 𝑙𝑝fazoda ushbu ko‘rinishdagi sanoqli to‘plamni mos qo‘yamiz:
𝑥(1)=(𝑥1,0,0,…,),
𝑥(2)=(𝑥1,𝑥2,0,…,), …………………………….,
𝑥(𝑛)=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛,0,…) ………………………………
1
∞
Bunda 𝜌(𝑥,𝑥(𝑛))=(∑𝑘=𝑛+1|𝑥𝑘|𝑝)𝑝bo‘lib, u yetalicha katta n ni tanlash evaziga oldindan berilgan musbat sondan kichik qilib olinishi mumkin.
𝑥(𝑛) nuqtalar to‘plami bilan bir qatorda quyidagicha aniqlanadigan 𝑟(𝑛)ratsional nuqtalar to‘plamini qaraymiz:
1 2 𝑛
bu yerda 𝑟 ,𝑟 ,…,𝑟 , … ratsional sonlar quyidagi shartlarni
qanoatlantiradi:
1 1
|𝑥 −𝑟 |< 𝜀, 21+𝑝
2 2
|𝑥 −𝑟 |< 𝜀,
21+𝑝 …………………..
𝑛 𝑛
|𝑥 −𝑟 |< 𝜀,
21+𝑝 …………………..
Bunday tanlashni har doim bajarish mumkin. U holda
𝑛 1𝑝𝑛 𝑝𝑝𝑝
𝑖
𝜌(𝑥(𝑛),𝑟(𝑛))=(∑|𝑥𝑖−𝑟|𝑝) < √∑2𝑝+𝑖< √2=2 𝑖=1 𝑖=1
Ikkinchi tomondan, yetarlicha katta nlarda 𝜌(𝑥,𝑥(𝑛))<2o‘rinli. Demak,
𝜌(𝑥,𝑟(𝑛))≤𝜌(𝑥,𝑥(𝑛))+𝜌(𝑥(𝑛),𝑟(𝑛))<𝜀 yetarlicha katta
nlarda o‘rinli. Bundan 𝑥 nuqtaning ixtiyoriy atrofida 𝑟(𝑛) nuqtalar mavjud. Bunday nuqtalar to‘plami sanoqli. Shuning uchun 𝑙𝑝fazo, xususan, 𝑙2fazo ham separabel fazo ekan.
𝑳𝒑[𝒂,𝒃]fazoning separabelligi
Teorema. 𝐿𝑝[𝑎,𝑏]fazo separabel metrik fazo bo‘ladi.
Isbot. Quyidagicha aniqlangan chegaralangan o‘lchovli funksiyalar to‘plamini qaraymiz:
{
𝑥(𝑡), 𝑎𝑔𝑎𝑟 |𝑥(𝑡)|≤𝑁, 𝑁𝑁,𝑎𝑔𝑎𝑟 |𝑥(𝑡)|>𝑁
Ravshanki, ixtiyoriy 𝜀 >0va ixtiyoriy 𝑥(𝑡)∈𝐿𝑝[𝑎,𝑏]uchun
yetarlicha katta Nlarda 𝑥𝑁(𝑡)funksiyani topish mumkinki,
1
𝑏𝑝
𝜌(𝑥,𝑥𝑁)=(∫|𝑥(𝑡)−𝑥𝑁(𝑡)|𝑝𝑑𝑡) < 𝜀 (1)
𝑎
𝜀
bo‘ladi. C[a,b] fazoning xossasiga ko‘ra ixtiyoriy >0 va ixtiyoriy 𝑥𝑁(𝑡) funksiya uchun 𝑦(𝑡)∈𝐶[𝑎,𝑏]mavjud bo‘lib,
𝜌(𝑦,𝑥𝑁)<3(2)
o‘rinli bo‘ladi.
𝜀
O‘z navbatida [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy 𝑦(𝑡) funksiya uchun ratsional koeffitsientli 𝑃(𝑡) ko‘phad mavjud bo‘lib,
𝜌(𝑦,𝑃)<3 (2)
o‘rinli bo‘ladi. (1), (2), va (3) munosabatlardan 𝜌(𝑥,𝑃)<𝜀 ekanligi kelib chiqadi.
Ma’lumki, 𝑃(𝑡) ko‘phadlar to‘plami sanoqli demak, yuqoridagi mulohazalardan bu to‘plam 𝐿𝑝[𝑎,𝑏] da sanoqli zich to‘plam bo‘ladi. Bu esa 𝐿𝑝[𝑎,𝑏] ning separabel fazo ekanligini isbotlaydi.
Separabel bo‘lmagan fazogamisol Endi mfazoning separabel emasligini isbotlaymiz. Buning uchun 𝑀 ={𝑥 =(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑖,…),𝑥𝑖=0 𝑦𝑜𝑘𝑖 1 to‘plamni qaraymiz. Mto‘plamning har bir elementi 𝑚 fazoga tegishli ekanligi ravshan. Mto‘plamning ixtiyoriy ikkita elementi orasidagi masofa ga teng. M to‘plamning quvvati kontinuumga teng, haqiqatdan ham, Mto‘plamdan olingan har bir 𝑥 = (𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑖,…) nuqtaga 0,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ikkilik kasrni mos qo‘yamiz. Bu moslik o‘zaro bir qiymatli. Ravshanki, barcha ikkilik kasrlar to‘plamining quvvati kontinuumga teng.
Endi 𝑚 separabel bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda 𝑚 ning hamma yerida zich bo‘lgan Ato‘plam mavjud bo‘ladi. Ato‘plamning har bir elementi atrofida radiusi 𝜀 =1ga teng
bo‘lgan sharni olamiz. U holda bu sharlarning birlashmasida mfazoning hamma elementlari joylashgan bo‘ladi. Ammo sharlarning soni ko‘pi bilan sanoqli bo‘lganligi sababli Mto‘plamning kamida ikkita 𝑥 va 𝑦 elementi bitta sharga tegishli bo‘ladi. Shu sharning markazi 𝑥nuqtada bo‘lsin. U holda
1=𝜌(𝑥,𝑦)≤𝜌(𝑥,𝑥)+𝜌(𝑥,𝑦)≤1+1=2 ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat mfasoning separabel emasligini isbotlaydi.
Teorema.Aytaylik,(𝑋,𝜌) separabelmetrikfazobo‘lsin.U holdabufazoningixtiyoriy𝑋0qismto‘plamiham𝜌 metrikaga nisbatanseparabel metrik fazo bo‘ladi.