Mavzu Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to\'plmala
To‘plamkompakt bo‘lishining zaruriy shartlari 1-teorema. Kompaktto‘plam chegaralangan bo‘ladi.
1 1
1
1
2
1 2
2
𝑛
Isbot.M kompakt to‘plam bo‘lib, chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz qilamiz. M dan ixtiyoriy 𝑥 nuqtani olib, radiusi 𝑟 =1 ga teng 𝑆(𝑥1,𝑟 )sharni ko‘ramiz. M chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to‘la joylashgan bo‘lmaydi. M to‘plamning 𝑆(𝑥1,𝑟 ) sharga kirmagan biror 𝑥2elementini olamiz. U holda (𝑥1,𝑥2)≥ 𝑟 . So‘ngra radiusi 𝑟 = (𝑥1,𝑥2)+1 ga teng 𝑆(𝑥2,𝑟 ) sharni qurib, M to‘plamning bu sharga kirmagan 𝑥3elementini olamiz. Bunday element mavjud, chunki M chegaralanmagan to‘plam va (𝑥1,𝑥3)≥𝑟 . Bu jaryonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada {𝑥𝑛} (𝑥𝑛∈𝑀)ketma-ketlik va o‘sib boruvchi {𝑟 } sonli ketma-ketlik hosil bo‘lib, ular uchun ushbu
𝑛 𝑛
(𝑥1,𝑥𝑛)+1 = 𝑟 > 𝑟 −1(𝑛=1,2,) tengsizliklar bajariladi.
𝑟
𝑛 𝑛 𝑚
Endi ixtiyoriy 𝑛 >𝑚 ≥2natural sonlar uchun (𝑥1,𝑥𝑛)+1 = 𝑟 > 𝑟 −1≥ 𝑟 ; (𝑥1,𝑥𝑚)+1 = 𝑚 munosabatlar o‘rinli. Bulardan va quyidagi (𝑥1,𝑥𝑛)≤(𝑥1,𝑥𝑚)+ (𝑥𝑚,𝑥𝑛)
tengsizlikka asosan ushbu
𝑛 𝑚
𝑟 ≤ 𝑟 +(𝑥𝑚,𝑥𝑛), demak, (𝑥𝑚,𝑥𝑛)≥1munosabat kelib chiqadi.
Oxirgi tengsizlikdan {𝑥𝑛} ketma-ketlikning o‘zi ham va uning biror qismi ham fundamental bo‘la olmasligi, ya’ni yaqinlashuvchi bo‘la olmasligi kelib chiqadi. Bu esa M to‘plamning kompaktligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas. Masalan, l2fazoda 𝑒1=(1,0,0,0,), 𝑒2= (0,1,0,0,), 𝑒3 = (0,0,1,0, ),...
elementlardan iborat chegaralangan to‘plamni tuzamiz. Bu elementlarning ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa (𝑒𝑚,𝑒𝑛)= √2 ga teng (𝑚 ≠𝑛). Shuning uchun bu ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo‘lmaydi, demak, tuzilgan to‘plam kompakt emas.