Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

2-teorema. Kompakt to‘plam yopiq bo‘ladi.
Isbot. M to‘plam kompakt bo‘lib, yopiq bo‘lmasin deb faraz qilamiz. U holda yaqinlashuvchi {𝑥_𝑛}⊂𝑀 ketma-ketlik mavjud bo‘lib uning limiti (b bilan belgilaymiz) M ga tegishli bo‘lmaydi. Bu ketma-ketlikdan M to‘plamning a elementiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Aks holda {𝑥_𝑛} ketma-ketlik ikkita, a va b limitga ega bo‘lar, bu esa mumkin emas. Demak, M kompakt emas. Teorema isbot bo‘ldi.
Kompakt to‘plamning istalgan yopiq qism to‘plami ham kompakt to‘plam bo‘lishini isbotlashni o‘quvchiga mashq sifatida qoldiramiz.


n-o‘lchamli fazoda kompakt to‘plamlar
3-teorema. 𝑅^𝑛 fazoda M to‘plamning kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi yuqoridagi teoremadan kelib chiqadi. Yetarliligi. Aytaylik M chegaralangan va yopiq to‘plam


bo‘lsin. M chegaralangan bo‘lganligi sababli uni o‘z ichiga oluvchi, n-o‘lchamli parallelepiped P, ya’ni 𝑃 ={𝑥 =(𝑥₁,𝑥₂,,𝑥_𝑛):𝑎_𝑖 ≤ 𝑥_𝑖 ≤𝑏_𝑖,𝑖 =1,2, ,𝑛}, mavjud. Bu parallelepipedning kompakt to‘plam ekanligi matematik analizdagi Bolsano-Veyershtrass
teoremasi kabi isbotlanadi. Buning uchun parallelepipedni teng ikkiga emas, balki teng 2^𝑛 bo‘lakka bo‘lish kerak. Endi M to‘plam yopiq va P kompakt to‘plamning qismi ekanligidan M to‘plamning kompakt ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Kompaktlik kriteriyasi

Aytaylik, A va B lar (𝑋,𝜌)metrik fazodan olingan to‘plamlar va musbat son bo‘lsin.

𝑥
Ta’rif. Agar A dan olingan ixtiyoriy 𝑥 element uchun B da 𝜌(𝑥,𝑦)<𝜀 tengsizlikni qanoatlantiruvchi 𝑦 =𝑦 element mavjud bo‘lsa, B to‘plam A to‘plamga nisbatan to‘r deyiladi. Agar ixtiyoriy >0 son uchun A to‘plam chekli to‘rga ega bo‘lsa, u holda A to‘la chegaralangan to‘plam deyiladi.
1-misol. 𝑅² da koordinatalari butun sonlardan iborat to‘plam 1 to‘rni tashkil etadi.
2-misol. 𝑅^𝑛 fazoda har qanday chegaralangan A to‘plam chekli to‘rga ega, ya’ni A to‘la chegaralangan bo‘ladi.
3-misol. 𝑙₂ fazoda A to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz:

1

1
𝑥 =(𝑎₁,𝑎₂,…,𝑎_𝑛,…)∈𝐴, bu yerda


|𝑎₁|≤1,|𝑎₂|≤₂, ...,|𝑎_𝑛|≤_2𝑛 ,….
Bu to‘plam ixtiyoriy >0 uchun chekli to‘rga ega.
Haqiqatdan ham, _2𝑛 <₄ berilgan bo‘lsin.
A dan olingan har bir 𝑥 =(𝑎₁,𝑎₂,…,𝑎_𝑛,…) nuqtaga shu to‘plamning o‘zidan olingan
𝑥^∗ =(𝑎₁,𝑎₂,…,𝑎_𝑛,0,0,…) (1) nuqtani mos qo‘yamiz. U holda
_∞ 1 _∞ 1

2
𝜌(𝑥,𝑥∗)=( ∑ 𝑎_𝑘) ≤( ∑ _4𝑘−1) <₂
𝑘=𝑛+1 𝑘=𝑛+1
^bo‘lib, (1) ko‘rinishdagi nuqtalardan iborat B to‘plam 𝑅^𝑛
fazoda chegaralagan, demak, B to‘plam ixtiyoriy >0son uchun
chekli ^𝜀 to‘rga ega bo‘lib, to‘la chegaralangan bo‘ladi.
4-misol. 𝑙₂ fazoda {𝑒_𝑛} to‘plam 𝑒_𝑛 =(0,0,…,1,0,0,…)
chegaralangan, lekin to‘la chegarlangan emas. Chunki 𝜀 < ₂ bo‘lganda, unga to‘r qurib bo‘lmaydi.
Quyidagi teorema to‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy va yetarli shartlarini ifodalaydi.