Mavzu: To'plamlar dekart ko'partmasi, dekart kvadratida berilgan munosabatlar

3-ta’rif: to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham mavjud bo‘lsa, va to‘plamlarni teng (bir xil) deb atab buni yoki ko‘rinishda belgilaymiz.
Ta’rifdan ma’lumki ikki to‘plamning tengligi ularning aslida bitta to‘plam elementlari ekanligini bildiradi. Shunga o‘xshash bir qancha to‘plamlarning tengligi haqida gapirish mumkin.
To‘plamlar ikki xil usulda beriladi:
a) agar to‘plamlar chekli to‘plam bo‘lib, elementlar soni ko‘p bo‘lmasa, to‘plam elementlarini bevosita sanash orqali beriladi;
b) to‘plam elementlarini xarakteristik xossalari orqali ham beriladi. Masalan: 12 sonidan kichik natural sonlar to‘plami. Bu esa tubandagicha o‘qiladi « to‘plami shunday elementlardan tashkil topgan bo‘lib, u natural sonlar to‘plamidagi 12 sonidan kichik sonlardan tashkil topgan».
4-ta’rif: to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham mavjud bo‘lsa ni to‘plamning to‘plam osti, (qismi, qism to‘plami) deymiz, buni quyidagicha belgilaymiz:
yoki
Izoh: Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, to‘plamning hamma elementlari da mavjud bo‘lgan holda, da ga kirmagan boshqa elementlar bo‘lmasa, , tenglikka kelamiz.
Shuning bilan birga 4-ta’rifdan bo‘sh to‘plam va har bir to‘plam o‘zining to‘plam osti (qism-to‘plami) ekanligi ko‘rinadi.
Masalan, to‘plam uchun , to‘plamlarning har qaysisi to‘plam osti (qism to‘plam)dir.
Agar to‘plamning har bir elementiga to‘plamning yagona bir elementi mos kelsa, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi deyiladi. Agar va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, ular ekvivalent deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Masalan, natural sonlar to‘plami , barcha juft sonlar to‘plami bilan ekvivalent.
Haqiqatan ham natural sonlar to‘plami bilan barcha juft sonlar to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslikni o‘rnatish mumkin, chunki har bir natural son ga juft soni mos keladi va aksincha.
Ikkita chekli to‘plam orasida ekvivalentlikni o‘rnatishni ikkita yo‘li bor:

1. 
   To‘plamlar elementlari orasida bevosita o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish orqali;
   
2. 
   To‘plamlar elementlarini sanash va ularni har biridagi elementlar sonini taqqoslash yo‘li bilan.
   

Masalan, Agar va bo‘lsa, u holda bu to‘plamlar chekli ekvivvalent bo‘lib, har bir to‘plam uchta elementga ega. Agar n elementdan tashkil topgan chekli to‘plamning elementlarini biror tarzda natural sonlar bilan nomerlash mumkin bo‘lsa, u tartiblangan deyiladi.
Masalan, guruhdagi talabalar to‘plami tartiblangan, chunki ularni otasining ismlarini guruh jurnalida natural sonlar yordamida tartiblash mumkin.
5-Ta’rif. to‘plamning barcha elementlari to‘plamda mavjud bo‘lib, shu bilan birga da ga tegishli bo‘lmagan elementlar ham mavjud bo‘lsa to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi.