Mavzu: Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi, uning xossalari va tatbiqlari. Vektorning vektorial va aralash hamda qo‘sh ko‘paytmalari

06.04.2021 (2 soat)
07.04.2021 (2 soat)
Mavzu: Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi, uning xossalari va tatbiqlari.Vektorning vektorial va aralash hamda qo‘sh ko‘paytmalari
Vektorlarning skalyar ko'paytmasi

Ikkita va vektorlarning skalyar ko'paytmasi deb ifodaga aytiladi. Bu erda - va vektorlar orasidagi burchak.

Skalyar ko'paytmaning ta'rifidan bevosita quyidagi fakt kelib chiqadi:
Xossa -1. Ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lishi uchun ularning o'zaro perpendikulyar bo'lishi zarur va etarlidir.
,
Xossa- 2.
Xossa -3. Kommutativlik .
Xossa- 4. , R
Xossa -5.

Beshinchi xossa isboti proeksiyaning ikkinchi xossasidan kelib chiqadi:

cos =  cos

Bazis va vektorning koordinatalari
Ta'rif. Berilgan vektorlar oilasi chiziqli erkli bo'lib, ixtiyoriy vektorni ularning chiziqli kombinasiyasi ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lsa, bu oila bazis deyiladi.
Quyidagi muhim faktlar o'rinlidir:
Xossa-1.Tekislikda har qanday ikkita nokollinear vektorlar bazisni
tashkil qiladi.

Xossa- 2.Fazoda har qanday uchta nokomplnar vektorlar bazisni tashkil

qiladi.
Bu xossalarning birinchisi 1- teoremaning bevosita natijasidir.

Ikkinchi xossani isbotlaymiz:
Bizga uchta nokomplanar vektorlar berilgan bo'lsin. Ikkinchi punktda isbotlagan teoremaga ko'ra ular chiziqli oilani tashkil qiladi. Endi ixtiyoriy vektorni olib, uni vektorlar orqali chiziqli ifodalash mumkinligini ko'rsatamiz. Buning uchun vektorlarning boshlarini nuqtaga joylashtiramiz va vektorning oxiridan vektorlar tekisligiga, vektorlar tekisligiga va vektorlar tekisligiga parallel tekisliklar o'tkazamiz. O'tkazilgan tekisliklarning vektorlar yotgan to'g'ri

chiziqlar bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda harflar bilan belgilaymiz.Vektorlarni qo'shish qoidasiga ko'ra

tenglikni olamiz. Bu yerda vektorlar mos ravishda vektorlarga kollinear bo'lganligi uchun shunday sonlar mavjudki
, ,

tengliklar o'rinli bo'ladi.Bu tengliklarni hisobga olib

tenglikni olamiz.
Ta'rif. Bizga bazis berilib, vektor uchun

tenglik o'rinli bo'lsa, sonlar vektorning koordinatalari deyiladi.
Xossa -6. Har bir vektor berilgan bazisda o'zining koordinatalari bilan yagona ravishda aniqlanadi.
Berilgan vektor uchun ikkita


tengliklar o'rinli bo'lsa ularning birini ikkinchisidan hadma had ayirib

tenglikni hosil qilamiz. Bazisni tashkil kiluvchi vektorlar chiziqli erkli bo'lganligi
, , ...,
munosabat hosil bo'ladi.

Bazis va vektorning koordinatalari
Ta'rif. Berilgan vektorlar oilasi chiziqli erkli bo'lib, ixtiyoriy vektorni ularning chiziqli kombinasiyasi ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lsa, bu oila bazis deyiladi.
Quyidagi muhim faktlar o'rinlidir:
Xossa -1.Tekislikda har qanday ikkita nokollinear vektorlar bazisni
tashkil qiladi.


Xossa- 2.Fazoda har qanday uchta nokomplnar vektorlar bazisni tashkil

qiladi.
Bu xossalarning birinchisi 1- teoremaning bevosita natijasidir.

Ikkinchi xossani isbotlaymiz:
Bizga uchta nokomplanar vektorlar berilgan bo'lsin. Ikkinchi punktda isbotlagan teoremaga ko'ra ular chiziqli oilani tashkil qiladi. Endi ixtiyoriy vektorni olib, uni vektorlar orqali chiziqli ifodalash mumkinligini ko'rsatamiz. Buning uchun vektorlarning boshlarini nuqtaga joylashtiramiz va vektorning oxiridan vektorlar tekisligiga, vektorlar tekisligiga va vektorlar tekisligiga parallel tekisliklar o'tkazamiz. O'tkazilgan tekisliklarning vektorlar yotgan to'g'ri

chiziqlar bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda harflar bilan belgilaymiz.Vektorlarni qo'shish qoidasiga ko'ra

tenglikni olamiz. Bu yerda vektorlar mos ravishda vektorlarga kollinear bo'lganligi uchun shunday sonlar mavjudki
, ,

tengliklar o'rinli bo'ladi.Bu tengliklarni hisobga olib

tenglikni olamiz.
Ta'rif. Bizga bazis berilib, vektor uchun

tenglik o'rinli bo'lsa, sonlar vektorning koordinatalari deyiladi.
Xossa -6. Har bir vektor berilgan bazisda o'zining koordinatalari bilan yagona ravishda aniqlanadi.
Berilgan vektor uchun ikkita


tengliklar o'rinli bo'lsa ularning birini ikkinchisidan hadma had ayirib

tenglikni hosil qilamiz. Bazisni tashkil kiluvchi vektorlar chiziqli erkli bo'lganligi
, , ...,
munosabat hosil bo'ladi.