1-Ma’ruza. Vektorlar ustida amallar. Vektorning va nuqtaning koordinatalari. Reja

1-Ma’ruza. Vektorlar. Vektorlar ustida amallar. Vektorning va nuqtaning koordinatalari.
Reja:

1. 
   Skalyar va vektor kattaliklar. Vektorlar ustidagi chiziqli amallar.
   
2. 
   Vektorlar orasidagi burchak. Vektorning o‘qdagi proeksiyasi.
   
3. 
   Tekislikdagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi.
   
4. 
   Tekislikdagi va fazodagi vektorlarning chiziqli bog‘liqligi.
   
5. 
   Tekislikda va fazoda bazis. Affin koordinatalar.
   

Tayanch so’z va iboralar: skalyar, vector, burchak, proyeksiya, koordinata, fazo, tekislik, affin, bazis.
Sonli qiymatlari bilan to’liq aniqlanadigan kattaliklar skalyar kattaliklar deb ataladi.
Ham sonli qiymati, ham yo’nalishi bilan aniqlanadigan kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.
Skalyar kattaliklar a, b, c,… kabi harflar bilan, vektor kattaliklar , yoki bu harflarni qalin bo’yalganlari a, b, c,… bilan belgilanadi.
Geometrik nuqtayi nazardan vektorlar yo’naltirilgan kesmalar singari qaraladi. Boshi A nuqtada va oxiri B nuqtada bo’lgan yo’naltirilgan kesma bilan aniqlanadigan vektor kabi belgilanadi. Bunda A nuqta vektorning boshi, B nuqta esa vektorning uchi (oxiri) deyiladi. Bu yerda AB kesmaning
uzunligi vektorning modulini ifodalaydi, ya’ni Har qanday a vektorning sonli qiymati uning moduli yoki uzunligi deyiladi va kabi belgilanadi. Boshi va uchi bitta nuqtadan iborat bo’lgan vektor nol vektor deyiladi. Uning moduli =0 boladi.
Bir to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda joylashgan vektorlar kollinear vektorlar deyiladi. Nol vektor har qanday vektorga kollinear deb hisoblanadi. Quyidagi uchta shartlar bajarilganda va b larni teng vektorlar deyiladi: Vektorli qo'shimchalarning identifikatorlaria+0=aVektorli qo'shimchalarning teskari egaligia+ -a=a-a=0Vektorli qo'shimchalarning aks etadigan xususiyatia=aVektorli qo'shimchalarning o'zgaruvchi mulkia+b=b+aVektorli qo'shilishning birlashtiruvchi mulki(a+b) +c=a+ (b+c)Vektorli qo'shimchalarning o'tish davriAgara=bvac=b bo'lsa, unda a=c

Vektorda bajarilishi mumkin bo'lgan eng oddiy operatsiya uni skalyar bilan

ko'paytirishdir. Ushbu skaler multiplikatsiya vektorning kattaligini o'zgartiradi. Boshqacha aytganda, u vektorni uzoqroq yoki qisqartiradi.
1. a || b , ya’ni bu vektorlar kollinear;
2. = , ya’ni bu vektorlar bir xil uzunlikka ega;
3. va b vektorlar bir xil yo’nalishga ega.
vektor OX o’q bilan burchak tashkil etsin. U holda vektorning bu o’qdagi proyeksiyasi shu
vektor uzunligini burchakning kosinusiga ko’paytmasiga teng bo’ladi. Ya’ni
Bir necha vektor yig’indisining o’qdagi proyeksiyasi qo’shiluvchi vektorlar, siyalarining yig’indisiga teng:
Bitta yoki parallel tekisliklarda joylashgan uch va undan ortiq vektorlar komplanar vektorlar deyiladi. Vektorni songa ko’paytmasi deb quyidagi uchta shart bilan aniqlanadigan yangi bir vektorga aytiladi:
1. = , ya’ni vektorning uzunligi marta o’zgaradi.
2. || , ya’ni bu vektorlar kollinear;
3. > 0 bo’lsa, va vektorlar bir xil yo’nalgan, bo’lsa, va vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan.
Vektorlarning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:
vektor vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi va kabi belgilanadi.
va vektorlarning yig’indisi deb ABCD parallelogrammning A uchidan chiquvchi diagonalidan hosil qilingan vektorga aytiladi va kabi belgilanadi (parallelogramm qoidasi). Bu yig’indini uchburchak qoidasi deb ataladigan quyidagi usulda ham topish mumkin. Bunda dastlab parallel ko’chirish orqali vektorning boshi vektorning uchi ustiga keltiriladi (3-chizma). So’ngra ning boshidan chiqib ning uchida tugaydigan vektor hosil qilinadi va u + yig’indini ifodalaydi. Bir nechta , , ,…, (n 3) vektorlarning yig’indisi parallelogramm qoidasini bir necha marta ketma-ket qo’llash bilan topiladi.
Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega: va vektorlarning ayirmasi deb va - vektorlarning yig’indisiga aytiladi va u kabi belgilanadi. va vektorlarning ayirmasini ular asosida qurilgan ABCD parallelogrammning kichik BD diagonali sifatida ham qarash mumkin.
Tekislikda XOY to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Bu tekislikda berilgan har qanday vektorni sonlar juftligi orqali ifodalash mumkin. Buning uchun mos ravishda OX va OY koordinata o’qlarida joylashgan musbat yo’nalishga ega hamda uzunliklari birga teng bo’lgan i va j vektorlarni kiritamiz.
Kiritilgan vektorlar birlik vektorlar yoki ortlar deyiladi. ax va ay lar vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari bo’lib, vektorni ular orqali =ax+ay=x +y ko’rinishda yozish mumkin.
=x +y ga vektorning birlik ortlar bo’yicha yoyilmasi, x va y sonlari esa uning koordinatalari deyiladi.
Tekislikda boshi A(x1;y1) va oxiri B(x2;y2) nuqtada bo’lgan vektorning koordinatalari {x2-x1;y2-y1} bo’lib, u AB{x2-x1;y2-y1} kabi yoziladi. Fazoda to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida berilgan vektorning koordinatalarini aniqlash uchun kiritilgan i va j ortlarga qo’shimcha o’qida uzunligi birga teng bo’lgan vektorni olamiz. U holda vektorni x +y +z ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda x, y, z sonlar uchligi fazodagi vektorning koordinatalari bo’lib uni {x;y;z} kabi yoziladi.
Fazoda boshi A(x1;y1;z1) va oxiri B(x2;y2;z2) nuqtada bo’lgan vector { x2 - x1; y2-y1;z2-z1} ko’rinishda yoziladi. {x1; y1; z1} va {x2; y2; z3} vektorlar teng bo’lishi uchun x1=x2, y1=y2
va z1=z2 bo’lishi zarur va yetarlidir.