1-Ma’ruza. Vektorlar ustida amallar. Vektorning va nuqtaning koordinatalari. Reja

Mustahkamlash uchun savollar:

1. 
   Skalyar va vektor kattaliklar. Vektorlar ustidagi chiziqli amallar.
   
2. 
   Vektorlar orasidagi burchak. Vektorning o‘qdagi proeksiyasi.
   
3. 
   Tekislikdagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi.
   
4. 
   Tekislikdagi va fazodagi vektorlarning chiziqli bog‘liqligi.
   
5. 
   Tekislikda va fazoda bazis. Affin koordinatalar.
   

4-Ma’ruza. Determinantlar nazariyasi elementlari.
Reja:

1. 
   Ikkinchi tartibli determinant.
   
2. 
   Uchinchi tartibli determinant.
   
3. 
   Yuqori tartibli determinantlar.
   

Tayanch so’z va iboralar: Determinant, matritsa, minor, algebraic to’ldiruvchi, halqa, maydon, kommutativ, kvadrat, satr, ustun.

Elementalari sonlardan iborat F kommutativ halqa yoki maydon berilgan bo‘lsin.

(1)
kvadrat matritsa F maydon ustidagi matritsa bo‘lib, AF^nn bo‘lsin.
Ta’rif. F maydon ustidagi (1) ko‘rinishdagi n-tartibli A kvadrat matritsaning determinanti deb n! ta hadlarning
(2)
ko‘rinishdagi yig‘indisiga aytilib, bu yig‘indi quyidagi talablarni qanoatlantiradi:
(2) yig‘indidagi har bir
(3)
had matritsaning har bir satri va har bir ustunidan faqat bittadan olingan elementlar ko‘paytmasiga teng;
(3) hadning birinchi 1,2,3,...,n indekslari elementlar turgan satrlar nomerlarini, ikkinchi indekslar esa bu elementlar turgan ustunlar nomerlarini bildiradi va shu bilan birga, ikkinchi indekslar 1,2,3,...,n raqamlarning qandaydir o‘rin almashtirishlarini ifodalaydi;
(2) yig‘indidagi hamma n! ta hadlarning ikkinchi indekslari bir haddan ikkinchi hadga o‘tib borish bilan 1,2,3,...,n raqamlardan mumkin bo‘lgan n! ta o‘rin almashtirishlarni tuzib boradi;
(3) hadning birinchi 1,2,3,...,n va ikkinchi indekslari o‘rniga qo‘yishni tuzgan holda, ko‘rsatkich bu o‘rniga qo‘yishdagi pastki satr inversiyalari sonini bildiradi.
Shunday qilib (2) yig‘indida ta musbat ishorali, ta manfiy ishorali had bo‘ladi.
(2) yig‘indi n-tartibli determinant deyiladi va u
(4)
ko‘rinishda belgilanadi. (4) dagi gorizontal qatorlar determinantning satrlari, vertikal qatorlari determinantning ustunlari deyiladi. i-satr, j-ustunda turgan element a_ij bo‘ladi. a₁₁, a₂₂,...,a_nn elementlar (4) determinantning birinchi (bosh) diagonal elementlari, a_1n, a_2n-1,...,a_n1 elementlar esa (4) determinantning ikkinchi bosh diagonal elementlari deyiladi.
(1) ko‘rinishdagi kvadrat matritsaning D determinantini
(5)
yig‘indi shaklida ifodalash ham mumkin. Bunda hamma hadlarning birinchi nomerlar hamma n! o‘rin almashtirishlarni tuzadi,  ko‘rsatkich o‘rniga qo‘yishlardagi inversiyalar soni,  esa o‘rin almashtirishlarning har xil o‘zgarishlarni, S_n esa o‘rniga qo‘yishlar (podstanovkalar) to‘plamini bildiradi.
Ta’rifga asosan, ikkinchi tartibli determinant
bo‘ladi.
Biz buni (2) yig‘indi asosida yozdik. Biz uni (5) yig‘indi asosida ham

hosil qilamiz. Natijalar esa bir xil bo‘ladi.
Misol.
Determinant ta’rifidan uchinchi tartibli determinantni hisoblash uchun (2) yig‘indidan foydalanib
(6)
ni hosil qilamiz. 3-tartibli determinantni bunday hisoblash qoidasi uchburchak qoidasi deb yuritiladi. (5) yig‘indi bo‘yicha ham (6) ni hosil qilamiz.
Misol.

n-tartibli determinant quyidagi xossalarga ega:
1^o. Determinantni trasponirlash (ya’ni ustunlarini mos satr, satrlarini mos ustun qilib yozish) uning qiymatini o‘zgartirmaydi.
Misol.

2^o. Determinantdagi ixtiyoriy ikkita satr (ikkita ustun) ning o‘rinlarini almashtirishdan determinantning ishoralari o‘zgaradi.
Misol.
3^o. Ikkita satri yoki ikkita ustuni bir xil bo‘lgan determinant nolga teng bo‘ladi.
Misol.

4^o. Determinantning biror satri yoki ustunidagi elementlari k umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, u holda bu umumiy ko‘paytuvchini determinant belgisi oldiga chiqarish mumkin.
Misol.


5^o. Determinantning biror satri (ustuni) boshqa satr (ustun) ga proporsional bo‘lsa, u holda bunday determinant nolga teng bo‘ladi.
Misol.

1-5 - xossalarning isboti [1,2] da keltirilgan.
6^o. n-tartibli D determinantda i-satr (j-ustun) elementlari m ta qo‘shiluvchining yig‘indilaridan iborat bo‘lsa, u holda D determinant m ta n-tartibli D₁,D₂,...,D_n determinantlar yig‘indisiga teng bo‘lib, bunda i-satrlari (j-ustunlari) mos ravishda D dagi i-satrni (j-ustunni) ifodalovchi yig‘indilarning 1,2,...,m qo‘shiluvchilardan tuziladi, qolgan satrlar (ustunlar) esa D determinantdagidek bo‘ladi.
Isboti.
(7)
ko‘rinishdagi determinant uchun, ya’ni i-satr elementlari m ta qo‘shiluvchining yig‘indisidan iborat determinant uchun isbotlaylik.
Agar (7) determinantda

desak, u holda D determinant
(8)
yig‘indiga teng bo‘ladi. (8) yig‘indi esa quyidagi m ta qo‘shiluvchilar yig‘indisiga yoyiladi:

Hosil bo‘lgan bu yig‘indilar D₁,D₂,...,D_m determinantlar yig‘indisidan iboratligini bildiradi.
Misol.