1-Ma’ruza. Vektorlar ustida amallar. Vektorning va nuqtaning koordinatalari. Reja

Tekshirish savollari
1. Teskari matritsa deb qanday matritsaga aytiladi?
2. qanday matritsalar uchun teskarisi mavjud bo‘ladi?
3. Berilgan matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lsa uni topishning qanday usullarini bilasiz?
4. Matritsaning rangini topishning qanday usullarini bilasiz?
5. Ushbu matritsaviy tenglama AX=V dan noma’lum matritsa X ni toping.

8-9--Ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemalarining umumiy nazariyasi.
Reja:

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini determinantlar yordamida yechish.
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsaviy usulda yechish.
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemalari haqida umumiy ma’lumotlar.
   
4. 
   Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss metodi.
   

Tayanch so’z va iboralar: tenglama, tenglamalar sistemasi, determinant, matritsa.
Geometriya kursidan ma’lumki to‘g‘ri chiziqlar 1,2,3 o‘lchovli fazolarga tegishli bo‘lishidan qat’iy nazar ularning tenglamalarida qatnashgan o‘zgaruvchilar (noma’lumlar) har doim 1-darajali bo‘ladi. Xuddi shunday n-o‘lchovli Rⁿ fazoda berilgan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi
(a_ibF maydon, ) (1)
ko‘rinishda bo‘lib, x_i-o‘zgaruvchilar 1-darajali bo‘ladi.
Ta’rif. (1) tenglamani to‘g‘ri sonli tenglikka aylantiruvchi (₁,₂,...,_n)Rⁿ arifmetik vektorga (1) ning echimi deyiladi.
Masalan, 2x₁-x₂+3x₃=-3 tenglamaning echimlaridan biri (1,2,-1) arifmetik vektor bo‘ladi.
Ta’rif. F maydon ustidagi n ta noma’lum m ta chiziіli tenglamalar sistemasi deb ushbu

(2)
ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi.
(2) da noma’lumlar, a_ij sonlar noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar, b_j lar ozod hadlar deb ataladi. a_ij son (2) dagi i-tenglamaning j-qo‘shiluvchi hadida qatnashgan x_i noma’lumlarning koeffitsientini bildiradi. (2) sistemada m=n, m>n, m vektorlarni olaylik. Ikkita vektorlarning tengligi hamda vektorni songa ko‘paytirish qoidasiga binoan bu vektordan foydalanib (2) sistemani ushbu
(3)
ko‘rinishda yoza olamiz. (3) ga (2) sistemaning vektorli shaklda yozilishi deyiladi.
(2) da bir vaqtda a_ij=0 bo‘lmaydi, chunki bunday holda sistemaga ega bo‘lmaymiz. Lekin, (2) da b_i=0 bo‘lishi mumkin. Bunday holda (2) sistema ushbu
(4)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Agar (2) sistemada noldan farqli b_i(i= ) mavjud bo‘lsa, u holda (2) sistemaga bir jinsli bo‘lmagan sistema, b_i=0(i= ) bo‘lsa, u holda (2) sistemaga bir jinsli sistema deyiladi. Ko‘p hollarda (4) sistema bir jinsli bo‘lmagan (2) sistemaga mos bir jinsli sistema deb ham yuritiladi.
Ta’rif. (2) sistemaning har bir tenglamasini to‘g‘ri sonli tenglikka aylantiruvchi =(₁,₂,...,_n) arifmetik vektorga (2) sistemaning echimi deyiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi har doim ham echimga ega bo‘lavermaydi.
Ta’rif. echimga ega bo‘lgan sistema hamjoyli (birgalikda), echimga ega bo‘lmagan sistema hamjoysiz (birgalikda bo‘lmagan) sistema deyiladi.
Hamjoyli sistemalar aniq va aniqmas hamjoyli sistemalarga bo‘linadi.
Ta’rif. Yagona echimga ega bo‘lgan sistema aniq sistema, echimlarining soni cheksiz ko‘p bo‘lgan sistema aniqmas sistema deyiladi.
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi (bChTS) doimo ham joyli sistema bo‘ladi, chunki (0,0,...,0)= vektor (4) ning har bir tenglamasini to‘g‘ri sonli tenglikka aylantiradi.
(2) va (4) sistemani mos ravishda

yoki

ko‘rinishda ham yoziladi.
(2) sistema x₁,x₂,...,x_n o‘zgaruvchili predikatdir.
Ta’rif. Agar (₁,₂,...,_n) vektor (2) sistemaning echimi bo‘lib, ₁,₂,...,_n lardan aqalli bittasi noldan farqli bo‘lsa, u holda (₁,₂,...,_n) echimga (2) sistemaning nolmas echimi, agar ₁=₂=...=_n=0 bo‘lsa, u holda (0,0,...,0) echimga (2) sistemaning nol’ echimi deyiladi.
(2) sistemadagi 1-tenglamaning echimlari to‘plami A₁, 2-tenglamaning echimlari to‘plami A₂, va hokazo, m-tenglamaning echimlari to‘plami A_m bo‘lsa, u holda (2) sistemaning echimlari to‘plami A=A₁A₂...A_m bo‘ladi.
Hamjoysiz sistemaning yechimlari to‘plami bo‘sh to‘plam bo‘ladi.
F maydon ustida
(1)
chiziqli tenglamalar sistemasi (ChTS) berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. (1) sistema ustida elementar almashtirishlar deb quyidagi almashtirishlarga aytiladi:
(1) sistemadagi biror k-tenglamaning har ikki qismini noldan farqli songa ko‘paytirish;
(1) sistemadagi ixtiyoriy ikkita tenglamalarning o‘rinlarini almashtirish;
(1) sistemadagi ixtiyoriy ikkita tenglamani mos ravishda 0, 0 sonlarga ko‘paytirib natijalarni qo‘shish;
(1) sistemadagi barcha koeffitsientlari va ozod hadlari nollardan iborat bo‘lgan (agar shunday tenglamalar bo‘lsa) tenglamani sistemadan tashlab yuborish.
Koeffitsientlari va ozod hadi F maydonga tegishli
(2)
ChTS berilgan bo‘lsin.
(1) sistemaning echimlari to‘plami A, (2) sistemaning echimlari to‘plami V bo‘lsin. (1) va (2) da tenglamalar soni teng bo‘lishi ham, teng bo‘lmasligi ham mumkin. Lekin, (1) va (2) da noma’lumlar soni teng.
Ta’rif. Agar (1) va (2) sistemalar hamjoyli sistema bo‘lib, (1) ning barcha echimlari (2) ning echimi bo‘lsa, u holda (2) sistema (1) sistemaning natijasi deyiladi.
(2) sistema (1) sistemaning natijasi bo‘lsa, u holda AV bo‘ladi. Ko‘p hollarda (1) sistemani echish uchun undan tenglamalar va noma’lumlar sonini imkoni boricha elementar almashtirishlar yordamida kamaytirish lozim. Lekin eng oxirida hosil bo‘lgan sistema berilgan sistemaning natijasi bo‘lishi kerak. Bu holda berilgan sistemaning natijasi bitta tenglama bo‘lib qolishi ham mumkin.
Ta’rif. Agar (1) va (2) sistemalardan ixtiyoriy biri ikkinchisining natijasi bo‘lsa, u holda bu sistemalar tengkuchli (o‘zaro ekvivalent) chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi.
Bu ta’rifga asosan ((AV)(VA))(A=V) bo‘ladi.
Ixtiyoriy ikkita hamjoysiz sistemalar ham o‘zaro teng kuchli sistemalar bo‘ladi, chunki bunday sistemalarning echimlari to‘plami bo‘sh to‘plamlardan iborat bo‘ladi.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy ikkita ChTS lardan birining ixtiyoriy echimi ikkinchisining echimi bo‘lsa, u holda ularni teng kuchli ChTS lar deyiladi.
Teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasidan elementar almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan sistema berilgan sistemaga teng kuchli sistema bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti [1,2] da keltirilgan.
Masalan,

sistema

sistema bilan teng kuchli bo‘ladi, chunki ikkinchi sistema birinchi sistemadan elementar almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan.