1-Ma’ruza. Vektorlar ustida amallar. Vektorning va nuqtaning koordinatalari. Reja

Mustahkamlash uchun savollar:

6. 
   Skalyar va vektor kattaliklar. Vektorlar ustidagi chiziqli amallar.
   
7. 
   Vektorlar orasidagi burchak. Vektorning o‘qdagi proeksiyasi.
   
8. 
   Tekislikdagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi.
   
9. 
   Tekislikdagi va fazodagi vektorlarning chiziqli bog‘liqligi.
   
10. 
    Tekislikda va fazoda bazis. Affin koordinatalar.
    

6-7-Ma’ruza. Matritsalar va ular ustida amallar.
Reja:

1. 
   Matritsa haqida tushuncha.
   
2. 
   Matritsalarning tengligi.
   
3. 
   Matritsalar ustida amallar.
   
4. 
   Teskari matritsa. Matritsa rangi.
   

Tayanch so’z va iboralar: matritsa, determinant, rang, teskari matritsa, minor, algebraic to’ldiruvchi.
Ta’rif. n-tartibli determinantning istalgan r ta satri va r ta ustunini (1rTa’rif. Determinantda r ta satr va r ta ustunni o‘chirib o‘chirilmasdan qolgan elementlardan berilgan determinantdagidek tartibda olib, (n-r)-tartibli determinant tuzsak, u determinant r-tartibli minorga qo‘shimcha minor deyiladi.
Misol.

determinantda birinchi va uchinchi satrlarni, ikkinchi va to‘rtinchi ustunlarni o‘chiraylik. o‘chirishdan kesishgan joylardagi elementlardan tuzilgan

ikkinchi tartibli determinant berilgan determinantning 2-tartibli minori deyiladi. Determinantdagi o‘chirilmay qolgan elementlardan tuzilgan

determinant yuqoridagi hosil bo‘lgan 2-tartibli minorga qo‘shimcha minor deyiladi.
Ta’rif. n-tartibli determinantdagi a_ij elementning minori deb determinantdagi i-satr, j-ustunni o‘chirgandan keyin qolgan (n-1)-tartibli determinantga aytiladi va u ko‘rinishda belgilanadi (bunda M= a_ij bo‘ladi).
Misol. Oldingi misoldagi D determinantdagi a₂₃ elementning minori

bo‘ladi.
Ta’rif. n-tartibli D determinantning r-tartibli M minorining shu determinantda qatnashgan satr va ustunlar nomerlarini mos ravishda k₁,k₂,...,k_r va l₁,l₂,...,l_r desak, u holda M minorning algebraik to‘ldiruvchisi deb songa aytiladi va u A orqali belgilanadi (Bu erda minor M minorga qo‘shimcha minor).
Ta’rif. n-tartibli determinantdagi a_ij elementning algebraik to‘ldiruvchisi deb (-1)^i+j songa aytiladi va u A_ij ko‘rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra A_ij=(-1)^i+j bo‘ladi.
Misol. determinantdagi –1 sonining algebraik to‘ldiruvchisi A₂₂=(-1)²⁺² =4, A₂₂=4 bo‘ladi.
Teorema. (Laplas teoremasi). n-tartibli D determinantda tanlangan r ta ixtiyoriy satr (ustun) lardan barcha r-tartibli minorni tuzib va ularni mos algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, bu ko‘paytmalar qo‘shilsa, u holda hosil bo‘lgan yig‘indisi D determinantga teng bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti [1] da keltirilgan.
Agar Laplas teoremasidagi D determinantda qandaydir r(1rn-1) ta satrni tanlab, ulardan tuzilgan barcha r-tartibli minorlarni, M₁,M₂,...M_t va ularga mos algebraik to‘ldiruvchilarni A₁,A₂,...A_t desak, u holda
D=M₁A₁+M₂A₂+...+M_t A_t (1)
bo‘ladi. Agar Laplas teoremasida r=1 bo‘lsa, ya’ni D determinantda bitta i-satr ajratilsa, u holda M₁,M₂,...M_t minorlar 1-tartibli minorlar sifatida, shu i-satrning a_i1,a_i2,...,a_in elementlaridan iborat bo‘ladi. A₁,A₂,...A_t algebraik to‘ldiruvchilar bu vaqtda a_i1,a_i2,...,a_in elementlarning A_i1,A_i2,...,A_in algebraik to‘ldiruvchilariga aylanib (1) tenglik
D=a_i1A_i1+ a_i2A_i2+...+ a_inA_in (2)
ko‘rinishni oladi. (2) yig‘indi D determinantning i-satr elementlari bo‘yicha yoyilmasi deyiladi.
Misol.
Teorema. D determinantning bitta satri (ustuni) dagi elementlarni boshqa satr (ustun) dagi mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, natijalarni qo‘shsak, u holda yig‘indi nolga teng bo‘ladi, ya’ni
a_i1A_j1+ a_i2A_j2+...+ a_inA_jn=0 (ij), (3)
a_1kA_1i+ a_2kA_2i+...+ a_nkA_ni=0 (ki) (4)
bo‘ladi.
Endi minorlar va algebraik to‘ldiruvchilardan foydalanib berilgan matritsaga teskari matritsani topishni o‘rganaylik.
Ushbu

n-tartibli xosmas (determinant noldan farqli) kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin. Haqiqatan A matritsaning satrlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘lgani sababli uning determinanti noldan farqli, ya’ni

bo‘ladi.
Teorema. A matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun A matritsaning xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli.
Isboti. 1. Zarurligi. A matritsa uchun A^-1 teskari matritsa mavjud bo‘lsin. Isbot qilish kerak |A|0 ekanligini.
Haqiqatan, AЌA^-1=e ekanligidan |AA^-1|=|e| bo‘ladi. Ammo |AA^-1|=|A||A^-1|, |e|=1 bo‘lgani uchun |A||A^-1|=1 bo‘lib, bundan |A|0 kelib chiqadi.
2. etarliligi. |A|0 bo‘lsin. Isbot qilish kerak A uchun A^-1 matritsa mavjudligini. A matritsa barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini hisoblaylik va ulardan ushbu

matritsani tuzaylik. AЌV matritsani qaraylik.
=
,
ya’ni tenglik hosil bo‘ladi. Bu tenglikning ikki tomonini songa ko‘paytirib tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan ko‘rinadiki, ekanligi, ya’ni

bo‘ladi. Bu esa A matritsaga teskari matritsadir.
Teorema. (Laplas teoremasi). n-tartibli D determinantda tanlangan r ta ixtiyoriy satr (ustun) lardan barcha r-tartibli minorni tuzib va ularni mos algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, bu ko‘paytmalar qo‘shilsa, u holda hosil bo‘lgan yig‘indisi D determinantga teng bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti [1] da keltirilgan.
Agar Laplas teoremasidagi D determinantda qandaydir r(1rn-1) ta satrni tanlab, ulardan tuzilgan barcha r-tartibli minorlarni, M₁,M₂,...M_t va ularga mos algebraik to‘ldiruvchilarni A₁,A₂,...A_t desak, u holda
D=M₁A₁+M₂A₂+...+M_t A_t (1)
bo‘ladi. Agar Laplas teoremasida r=1 bo‘lsa, ya’ni D determinantda bitta i-satr ajratilsa, u holda M₁,M₂,...M_t minorlar 1-tartibli minorlar sifatida, shu i-satrning a_i1,a_i2,...,a_in elementlaridan iborat bo‘ladi. A₁,A₂,...A_t algebraik to‘ldiruvchilar bu vaqtda a_i1,a_i2,...,a_in elementlarning A_i1,A_i2,...,A_in algebraik to‘ldiruvchilariga aylanib (1) tenglik
D=a_i1A_i1+ a_i2A_i2+...+ a_inA_in (2)
ko‘rinishni oladi. (2) yig‘indi D determinantning i-satr elementlari bo‘yicha yoyilmasi deyiladi.
Misol.
Teorema. D determinantning bitta satri (ustuni) dagi elementlarni boshqa satr (ustun) dagi mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib, natijalarni qo‘shsak, u holda yig‘indi nolga teng bo‘ladi, ya’ni
a_i1A_j1+ a_i2A_j2+...+ a_inA_jn=0 (ij), (3)
a_1kA_1i+ a_2kA_2i+...+ a_nkA_ni=0 (ki) (4)
bo‘ladi.
Endi minorlar va algebraik to‘ldiruvchilardan foydalanib berilgan matritsaga teskari matritsani topishni o‘rganaylik.
Ushbu

n-tartibli xosmas (determinant noldan farqli) kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin. Haqiqatan A matritsaning satrlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘lgani sababli uning determinanti noldan farqli, ya’ni

bo‘ladi.