Mavzuning dolzarbligi

G masala. sohada (3.1) tenglamaning sinfga tegishli va quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
(3.2)
Regulyar yechimi topilsin.

bunda sohaga tegishli ,а sohaga tegishli, va
(3.3)
Qo’shma shartlari
(3.4)
_bunda nuqtadan chiqgan va xarakteristikalar kesishgan nuqtaning affiksi, , lar egri chiziq bilan nuqtadan chiquvchi xarakteristikalar kesishgan nuqtaning affikslari.

,
_­ lar sinfga tegishli bo’lgan ,berilgan funksiyalar,bunda

1. 
   soha uchun (3.2) chegaraviy shartni qaraymiz.
   

(3.5)
Ko’rinishni o’zgartirgan Koshi shartlarni qanoatlantiruvchi , sohadagi (3.1) tenglamaning yechimi:
(3.6)
Darbu formula bilan beriladi.
bunda
,
Bundan,osonlikcha hisoblash mumkin
(3.7)
(3.8)
va
(3.9)
Bunda , .
Endi (3.7)-­(3.9), ifodalarni (3.8), chegaraviy shartga qo’yamiz,va quyidagi natijaga erishamiz




(3.10)
Olingan munosabat uchun , kasr differensiallash operatorni qo’llaymiz va
(3.11)
(3.12)
ayniyatlarni inobatga olgan holga,quyidagi natijaga erishamiz.



(3.13)
(3.13) munosabat sohadan I ga o’tkazilgan va nomalum funksiyalar orasidagi birinchi fundamental munosabatdir.
Endi soha uchun (3.12) chegaraviy shartni qaraymiz.
(3.14)
Ko’rinishni o’zgartirgan Koshi shartlarni qanoatlantiruvchi ,sohadagi (3.1)
tenglamaning yechimi:
(3.15)
Darbu formula bilan beriladi.
Bunda
,
bundan, osonlikcha hisoblash mumkin

(3.16)
(3.17)
va
(3.18)
Endi (3.16) ‒ (3.18) ifodalarni (3.2), chegaraviy shartga qo’yamiz




(3.19)
Olingan natijaga kasr differensiallash operatorni qo’llaymiz va (3.11) va (3.13), ayniyatni inobatga olib,quyidagi natijaga erishamiz




(3.20)
(3.20) munosabat sohadan I ga o’tkazilgan va , nomalum funksiyalar orasidagi ikkinchi fundamental munosabatdir.
Endi (3.13) ifodani (3.13), (3.14) qo’shma shartlarga ko’ra, yani : inobatga olib quyidagi ko’rinishga olib kelamiz




(3.21)
(3.20) va (3.21) dan ni yo’qotsak noma’lum funksiya orqali quyidagi integral tenglamani hosil qilamiz:
(3.22)
bunda


Endi (3.22).tenglamaning o’ng tomonidagi kasrli hosilalarni hisoblaymiz.

, (3.23)
.
Bunda integrallash tartibini o’zgartiramiz


(3.24)
(3.24) dagi ichki integralni hisoblaymiz
(3.25)
(3.26)
(3.26), integralda , almashtirishni bajaramiz
(3.27)
Bundan Gaussning gipergeometrik funksiyaning integral ko’rinishi bilan foydalanamiz:
(3.28)
bundan
(3.29)
(3.26) integralda ,almashtirish bajaramiz va quyidagi natijaga erishamiz
(3.30)
(3.29) ni inobatga olib (3.30) dan
(3.31)
(3.29) va (3.31) larga ko’ra (3.24) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz


(3.32)
Endi
(3.33)
(3.34)
Formulaga ko’ra , (3.33) da hosilani hisoblaymiz






Quyidagi
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Formulalar yordamida (3.35) formulani quyidagi ko’rinishga keltiramiz



(3.39)
Shunga o’xshash, ravshanki


. (3.40)
Endi va lar uchun, mos ravishda (3.39) va (3.40) dan (3.22) ga qo'ysak quyidagi natijaga erishamiz
(3.41)
bunda






(3.42)

,
(3.42) ga asoslanib (3.41) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
(3.43)
bunda
(3.44)
Shu bilan birgalikda
(3.45)
(3.46)
Quyidagi formula o’rinlidir.