Isbot. (i) va (ii) shuningdek (i) vа (iii) ning teng kuchliligi f 1 1 ( A) f ( A)
dan kelib chiqadi, bundа A X .
(ii) va tenglikdan
(iv)
ning hamma
(iii )
vа (v)
ning teng kuchliligi
A f 1
f ( A)
kelib chiqadi.
(i)
va (iv)
ning,
(i)
va (v)
ning teng kuchliligidan
(iv') , hamda
(v')
shartlarning
f 1
- gomeomorf ekanligiga teng kuchli ekanligi kelib chiqadi,
bu esa
(i)
ga teng kuchlidir.
Мisol. Х to’plam quyidagi topologiyalardan biri kiritilgan haqiqiy sonlar
to’plami bo’lsin:
diskret topologiya;
tabiiy topologiya;
2-misoldagi
x0 0
da aniqlangan topologiya;
Zorgenfrey to’g’ri chizig’i topologiyasi
7-misolda aniqlangan topologiya;
8-misolda x0 0 bo’lganda aniqlangan topologiya;
Antidiskret topologiya.
Har bir
a 0
haqiqiy sonlar uchun
fa (x) ax
formula bilan aniqlangan
fa : X Y
akslantirish gomeomorfizm bo’ladi.
a 0
bo’lganda
fa akslantirish
( d ) topologiyaga nisbatan uzluksiz bo’lmaydi, ammo qolgan topologiyalarga
nisbatan gomeomorf bo’ladi.
Мisol. Х va Y lar bir hil quvvatga ega bo’lgan ikkita to’plam bo’lsin. Har bir to’plamda diskret topologiyani qaraymiz. Ravshanki Х ni Y ga o’zaro bir qiymatli akslantirish gomeomorfizm bo’ladi.
Boshqa tomondan agar Х va Y diskret fazolar bir hil quvvatga ega bo’lsa, ular gomeomorf bo’la olmaydi. Shunday qilib, diskret fazo Х to’plamni tashkil qilgan nuqtalarning tabiatiga bog’liq bo’lmay, faqat Х to’plamning quvvatiga
bog’liq ekan. Quvvati m ga teng bo’lgan diskret fazoni
Dm orqali belgilaymiz.
Х va Y to’plamlar 2.1.10.-misoldagi topologiyaga kiritilgan cheksiz to’plamlar bo’lsin. Bu to’plamlar bir xil quvvatga ega bo’lgan holda, ular
orasida gomeomorfizm o’rnatish uchun fazoning x0 nuqtasini Y fazoning
quyuqlanish nuqtasi y ga o’tkazuvchi o’zaro bir qiymatli akslantirishni olish kerak1.
1Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. -М.: Физматлит, 2006. -252 с.
2.2.1.Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki turli nuqtasi uchun
kamida birining ikkinchisini o‘z ichiga olmaydigan atrofi mavjud bo‘lsa, T0
yoki Kolmogorov fazosi deyiladi.
fazo
Agar bu ta’rifda har ikkala ixtiyoriy nuqtalar birorta atrofga ega bo‘lib, biri ikkinchisini o‘zida saqlamasa, ma’lum bo‘ladiki, bunday fazolar sinfi nisbatan tordir.
Bu fazolar sinfi T1
fazo yoki erishilgan, istilo qilingan yoki egallangan fazo deb
ataladi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy T1
fazo X da ixtiyoriy bir nuqtali
to‘plam yopiq to‘plamdir va buning teskarisi ham o‘rinlidir. Yana shuni isbot
qilish mumkinki, agar
x0 nuqta birorta M to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u
holda
x0 nuqtaning ixtiyoriy atrofi M ning cheksiz ko‘p turli nuqtalarini o‘zida
saqlaydi.
Haqiqatan ham,
x0 nuqtaning shunday U atrofi topilsa va u M ning
x1, x2 , ..., xn
chekli nuqtalarini o‘zida saqlasa, u holda X fazo
X1 bo‘lganligi
sababli
X i ning shunday Ui
atroflari topiladiki, ular xi
nuqtalardan boshqasini
o‘z ichiga olmaydi.
Endi
n
∩
U Ui i1
to‘plamni ko‘raylik. Ma’lumki, U to‘plam
x0 nuqtaning
atrofi bo‘ladi. Bu to‘plam M ning
x0 nuqtadan boshqa nuqtalarini o‘zida
saqlamaydi. Bundan ko‘rinadiki, x0 nuqta M ning limit nuqtasi emas. Bu
ziddiyat ta’rifning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Kolmogorov fazosiga misol sifatida bog‘lamli “qo‘sh nuqtani” keltirish mumkin. Bu fazo erishilgan fazo bo‘la olmaydi. Kolmogorov fazosiga trivial topologiyali ixtiyoriy fazolar ham kiradi.
Misol. Haqiqiy sonlar to‘plami R1 ni olaylik. Bu haqiqiy to‘g‘ri
chiziqda topologiya bazasi sifatida а х nurlarni olamiz. Bu ko‘rinishdagi
nurlar bazaning shartlarini qanoatlantiradi. Bunday baza R1 da topologiya tashkil
qiladi. Bu topologik
R1 fazo
T0 fazo aksiomasini qanoatlantiradi, lekin
T1 fazo
bo‘la olmaydi. Agar turli ikki
х1, х2
R1
haqiqiy sonlarni olsak, ravshanki, bir
topilmaydi. Demak, bunday topologiyali R1 fazo Kolmogorov fazosi bo‘ladi.
Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki har xil nuqtasi
o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lsa, u T2
(yoki Xausdorf topologiyali fazo) deyiladi.
fazo yoki Xausdorf fazosi
Ma’lumki, ixtiyoriy Xausdorf fazosi T1
fazo bo‘ladi, lekin buning teskarisi
doimo ham o‘rinli emas. Ta’rifdan yana shuni ko’rsatish mumkinki, fazoning Xausdorf fazosi bo‘lishi nasliy xususiyatga ega, ya’ni uning ixtiyoriy fazoostisi ham Xausdorof fazosi bo‘lishidir. Xausdorf fazosining yana bir muhim xossasi
— bu fazoda ixtiyoriy ketma-ketlikning limiti yagona bo‘ladi. x n ketma-ketlik
limitining ikki
x1 va
x2 nuqtalari bo‘lib,
u1 va u 2
ularning o‘zaro
kesishmaydigan atroflari deylik. Ketma-ketlik limitining ta’rifiga ko‘ra, bu atroflarning biri ketma-ketlikning chekli elementlarini o‘zida saqlaydi. Bu ta’rifning shartiga ziddir.
Xausdorf fazolariga misol sifatida ixtiyoriy metrik fazoni olish mumkin.
Misol. To‘g‘ri chiziqda 0,1
kesmani olaylik. Bu to‘plamda ochiq
to‘plam sifatida bo‘sh to‘plam, 0,1
kesmaning o‘zi va 0,1
kesmadan
sanoqlidan ko‘p bo‘lmagan nuqtalarni chiqarib tashlashdan hosil bo‘lgan to‘plamlarni qaraylik.
Agar hosil bo‘lgan topologik fazoning ixtiyoriy ikki turli nuqtalarini olsak, bu nuqtalar ikkinchisini o‘zida saqlamaydigan atrofga egadir. Bu fazoning
erishilgan T1 fazo ekanligini ko‘rsatadi. Lekin ikki ixtiyoriy har xil nuqtalar
o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega emas. Bu fazoning Xausdorf fazosi emasligidan darak beradi.
1Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б
Ta’rif. Agar X fazoning ixtiyoriy yopiq to‘plami A va ixtiyoriy
х0А nuqtasi X fazoda shunday ochiq o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega
bo‘lsa, X topologik fazo T3
topologik fazo deyiladi,
Agar X topologik fazo X bir vaqtda ham T1 fazo, ham T3
fazolar bo‘lsa, u holda
u regulyar fazo deyiladi. Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, regulyar fazo Xausdorf fazosi bo‘lar.
ekan. Lekin buning aksi doimo o‘rinli emas.
Regulyar fazolarga ixtiyoriy metrik fazolar misol bo‘ladi, xususiy holda Rn
fazo ham regulyar fazodir.
Misol. Aytaylik, X barcha haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat bo‘lib,
topologiya atroflar natijasida aniqlangan bo‘lsin. Bu topologiyada nol nuqtadan boshqa barcha nuqtalarning atrofi , to‘g‘ri chiziqdagi nuqtaning interval ko‘rinishidagi atrofini olamiz. Nol nuqtaning atrofi deb uning to‘g‘ri
chiziqdagi interval ko‘rinishdagi atrofidan sonlar o‘qining
1 ; n N
nuqtalari
n
chiqarib tashlangan to‘plamlarini olamiz. Ya’ni, u(0) (a, b) \ 1 : n N
ixtiyoriy
n
0 (a,b) R .
Agar
A 1 : n N
to‘plamni olsak, A to‘plam sonlar o‘qida yopiq
n
to‘plamlardir. Nol nuqta va A to‘plam bu yerda o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lmaydi. Ya’ni, shunday aniq atroflar mavjud emas. Bu fazoning regulyar fazo emasligini ko‘rsatadi. Lekin bu fazoda ixtiyoriy ikki har xil nuqta o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega. Demak, bu topologik fazo Xausdorf fazosi ekan.
Endi elementlari soni ikkitadan ortiq to‘plamlardagi trivial topologiyani
ko‘rsak, bu fazolar T3 fazoga sodda misol bo‘la oladi, lekin ular regulyar fazo
emas, chunki bunday fazolar T1 fazo emas.
1
Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. -М.: Физматлит, 2006. -252 с.
Regulyar fazolarning xossalariga keladigan bo‘lsak, fazoning regulyarligi – bu nasliy xarakterga ega, ya’ni regulyar fazolarning ixtiyoriy to‘plamostisi ham regulyar bo‘ladi. Bundan xususiy holda kelib chiqadiki, regulyar fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasi regulyar bo‘lsa, uning har bir ko‘paytuvchisi regulyar bo‘ladi. Nihoyat, regulyar fazolar ixtiyoriy oilasining Tixonov ko‘paytmasi ham regulyar fazo bo‘ladi. Shuni aytish mumkinki, regulyar fazodagi faktor- topologiya doimo regulyar fazo bo‘lavermaydi1.
Dostları ilə paylaş: |