Maxsus ta’lim vazirligi

Isbot. (i) va (ii) shuningdek (i) vа (iii) ning teng kuchliligi f ^1 1 ( A)  f ( A)
dan kelib chiqadi, bundа A  X .

(ii) va tenglikdan
(iv)
ning hamma
(iii )
vа (v)
ning teng kuchliligi
A  f ^1
f ( A)

kelib chiqadi.
(i)
va (iv)
ning,
(i)
va (v)
ning teng kuchliligidan
(iv') , hamda

(v')
shartlarning
_f 1
- gomeomorf ekanligiga teng kuchli ekanligi kelib chiqadi,

bu esa
(i)
ga teng kuchlidir.

8. 
   Мisol. Х to’plam quyidagi topologiyalardan biri kiritilgan haqiqiy sonlar
   

to’plami bo’lsin:

1. 
   diskret topologiya;
   
2. 
   tabiiy topologiya;
   

3. 
   2-misoldagi
   

x₀  0
da aniqlangan topologiya;

4. 
   Zorgenfrey to’g’ri chizig’i topologiyasi
   
5. 
   7-misolda aniqlangan topologiya;
   
6. 
   8-misolda x₀  0 bo’lganda aniqlangan topologiya;
   

7. 
   Antidiskret topologiya.
   

Har bir
a  0
haqiqiy sonlar uchun
f_a (x)  ax
formula bilan aniqlangan

f_a : X  Y
akslantirish gomeomorfizm bo’ladi.
a  0
bo’lganda
f_a akslantirish

(d ) topologiyaga nisbatan uzluksiz bo’lmaydi, ammo qolgan topologiyalarga

nisbatan gomeomorf bo’ladi.

8. 
   Мisol. Х va Y lar bir hil quvvatga ega bo’lgan ikkita to’plam bo’lsin. Har bir to’plamda diskret topologiyani qaraymiz. Ravshanki Х ni Y ga o’zaro bir qiymatli akslantirish gomeomorfizm bo’ladi.
   

Boshqa tomondan agar Х va Y diskret fazolar bir hil quvvatga ega bo’lsa, ular gomeomorf bo’la olmaydi. Shunday qilib, diskret fazo Х to’plamni tashkil qilgan nuqtalarning tabiatiga bog’liq bo’lmay, faqat Х to’plamning quvvatiga

bog’liq ekan. Quvvati m ga teng bo’lgan diskret fazoni
Dm orqali belgilaymiz.

Х va Y to’plamlar 2.1.10.-misoldagi topologiyaga kiritilgan cheksiz to’plamlar bo’lsin. Bu to’plamlar bir xil quvvatga ega bo’lgan holda, ular
orasida gomeomorfizm o’rnatish uchun fazoning x₀ nuqtasini Y fazoning

quyuqlanish nuqtasi y ga o’tkazuvchi o’zaro bir qiymatli akslantirishni olish kerak¹.

¹Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. -М.: Физматлит, 2006. -252 с.

2. Ajrimlilik aksiomalari

2.2.1.Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki turli nuqtasi uchun

kamida birining ikkinchisini o‘z ichiga olmaydigan atrofi mavjud bo‘lsa, T₀
yoki Kolmogorov fazosi deyiladi.
fazo

Agar bu ta’rifda har ikkala ixtiyoriy nuqtalar birorta atrofga ega bo‘lib, biri ikkinchisini o‘zida saqlamasa, ma’lum bo‘ladiki, bunday fazolar sinfi nisbatan tordir.

Bu fazolar sinfi T₁
fazo yoki erishilgan, istilo qilingan yoki egallangan fazo deb

ataladi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy T₁
fazo X da ixtiyoriy bir nuqtali

to‘plam yopiq to‘plamdir va buning teskarisi ham o‘rinlidir. Yana shuni isbot

qilish mumkinki, agar
x₀ nuqta birorta M to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u

holda
x₀ nuqtaning ixtiyoriy atrofi M ning cheksiz ko‘p turli nuqtalarini o‘zida

saqlaydi.
Haqiqatan ham,


x₀ nuqtaning shunday U atrofi topilsa va u M ning

x₁, x₂ , ..., x_n
chekli nuqtalarini o‘zida saqlasa, u holda X fazo
X₁ bo‘lganligi

sababli
X _i ning shunday U_i
atroflari topiladiki, ular x_i
nuqtalardan boshqasini

o‘z ichiga olmaydi.

Endi


n

∩
U  U_i i1

to‘plamni ko‘raylik. Ma’lumki, U to‘plam

x₀ nuqtaning

atrofi bo‘ladi. Bu to‘plam M ning
x₀ nuqtadan boshqa nuqtalarini o‘zida

saqlamaydi. Bundan ko‘rinadiki, x₀ nuqta M ning limit nuqtasi emas. Bu

ziddiyat ta’rifning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.

Kolmogorov fazosiga misol sifatida bog‘lamli “qo‘sh nuqtani” keltirish mumkin. Bu fazo erishilgan fazo bo‘la olmaydi. Kolmogorov fazosiga trivial topologiyali ixtiyoriy fazolar ham kiradi.

1. 
   Misol. Haqiqiy sonlar to‘plami R¹ ni olaylik. Bu haqiqiy to‘g‘ri
   

chiziqda topologiya bazasi sifatida а  х   nurlarni olamiz. Bu ko‘rinishdagi
nurlar bazaning shartlarini qanoatlantiradi. Bunday baza R¹ da topologiya tashkil

qiladi. Bu topologik
R¹ fazo
T₀ fazo aksiomasini qanoatlantiradi, lekin
T₁ fazo

bo‘la olmaydi. Agar turli ikki
х₁, х₂
 R¹
haqiqiy sonlarni olsak, ravshanki, bir

vaqtda ikkinchisini o‘zida saqlamaydigan
x₁ va
x₂ nuqtalarning birorta atrofi

topilmaydi. Demak, bunday topologiyali R¹ fazo Kolmogorov fazosi bo‘ladi.

2. 
   Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki har xil nuqtasi
   

o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lsa, u T₂
(yoki Xausdorf topologiyali fazo) deyiladi.
fazo yoki Xausdorf fazosi

Ma’lumki, ixtiyoriy Xausdorf fazosi T₁
fazo bo‘ladi, lekin buning teskarisi

doimo ham o‘rinli emas. Ta’rifdan yana shuni ko’rsatish mumkinki, fazoning Xausdorf fazosi bo‘lishi nasliy xususiyatga ega, ya’ni uning ixtiyoriy fazoostisi ham Xausdorof fazosi bo‘lishidir. Xausdorf fazosining yana bir muhim xossasi

— bu fazoda ixtiyoriy ketma-ketlikning limiti yagona bo‘ladi. x_n ketma-ketlik

limitining ikki
x¹ va
x² nuqtalari bo‘lib,
u¹ va u ²
ularning o‘zaro

kesishmaydigan atroflari deylik. Ketma-ketlik limitining ta’rifiga ko‘ra, bu atroflarning biri ketma-ketlikning chekli elementlarini o‘zida saqlaydi. Bu ta’rifning shartiga ziddir.
Xausdorf fazolariga misol sifatida ixtiyoriy metrik fazoni olish mumkin.

Zariskiy topologiyasini olsak, bu topologiya ham T₁
bo‘lolmaydi¹.
fazo bo‘ladi, lekin T₂
fazo

2. 
   Misol. To‘g‘ri chiziqda 0,1
   

kesmani olaylik. Bu to‘plamda ochiq

to‘plam sifatida bo‘sh to‘plam, 0,1
kesmaning o‘zi va 0,1
kesmadan

sanoqlidan ko‘p bo‘lmagan nuqtalarni chiqarib tashlashdan hosil bo‘lgan to‘plamlarni qaraylik.
Agar hosil bo‘lgan topologik fazoning ixtiyoriy ikki turli nuqtalarini olsak, bu nuqtalar ikkinchisini o‘zida saqlamaydigan atrofga egadir. Bu fazoning
erishilgan T₁ fazo ekanligini ko‘rsatadi. Lekin ikki ixtiyoriy har xil nuqtalar

o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega emas. Bu fazoning Xausdorf fazosi emasligidan darak beradi.

¹Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б

2. 
   Ta’rif. Agar X fazoning ixtiyoriy yopiq to‘plami A va ixtiyoriy
   

х₀А nuqtasi X fazoda shunday ochiq o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega

bo‘lsa, X topologik fazo T₃
topologik fazo deyiladi,

Agar X topologik fazo X bir vaqtda ham T₁ fazo, ham T₃
fazolar bo‘lsa, u holda

u regulyar fazo deyiladi. Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, regulyar fazo Xausdorf fazosi bo‘lar.

ekan. Lekin buning aksi doimo o‘rinli emas.
Regulyar fazolarga ixtiyoriy metrik fazolar misol bo‘ladi, xususiy holda Rⁿ
fazo ham regulyar fazodir.

3. 
   Misol. Aytaylik, X barcha haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat bo‘lib,
   

 topologiya atroflar natijasida aniqlangan bo‘lsin. Bu topologiyada nol nuqtadan boshqa barcha nuqtalarning atrofi, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtaning interval ko‘rinishidagi atrofini olamiz. Nol nuqtaning atrofi deb uning to‘g‘ri

chiziqdagi interval ko‘rinishdagi atrofidan sonlar o‘qining
^1 ; n  N ^

nuqtalari

n
 
 

chiqarib tashlangan to‘plamlarini olamiz. Ya’ni, u(0)  (a, b) \ ^1 : n  N ^
ixtiyoriy

n
 
 
0 (a,b)  R .

Agar
A  ^1 : n  N ^

to‘plamni olsak, A to‘plam sonlar o‘qida yopiq

 _n 
 
to‘plamlardir. Nol nuqta va A to‘plam bu yerda o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lmaydi. Ya’ni, shunday aniq atroflar mavjud emas. Bu fazoning regulyar fazo emasligini ko‘rsatadi. Lekin bu fazoda ixtiyoriy ikki har xil nuqta o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega. Demak, bu topologik fazo Xausdorf fazosi ekan.
Endi elementlari soni ikkitadan ortiq to‘plamlardagi trivial topologiyani
ko‘rsak, bu fazolar T₃ fazoga sodda misol bo‘la oladi, lekin ular regulyar fazo

emas, chunki bunday fazolar T₁ fazo emas.

1

Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. -М.: Физматлит, 2006. -252 с.

Regulyar fazolarning xossalariga keladigan bo‘lsak, fazoning regulyarligi – bu nasliy xarakterga ega, ya’ni regulyar fazolarning ixtiyoriy to‘plamostisi ham regulyar bo‘ladi. Bundan xususiy holda kelib chiqadiki, regulyar fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasi regulyar bo‘lsa, uning har bir ko‘paytuvchisi regulyar bo‘ladi. Nihoyat, regulyar fazolar ixtiyoriy oilasining Tixonov ko‘paytmasi ham regulyar fazo bo‘ladi. Shuni aytish mumkinki, regulyar fazodagi faktor- topologiya doimo regulyar fazo bo‘lavermaydi¹.

3.