Maxsus ta’lim vazirligi

Теоrema. Kompakt fazoning uzluksiz aks ettirishdagi tasviri kompakt fazodir.

Isbot. Х kompakt fazo, f esa Х ni biror Y fazoga uzluksiz aks ettirish

bo’lsin.
f (x)
fazoning ixtiyoriy
^{Us ^}sS
ochiq qoplamasini olamiz, ya’ni

∪
f ( X )  U_s .
sS

So’ngi munosabatdan

∪

s
X  f ^1(U )
sS
tenglik kelib chiqadi.

Bundan va f ning uzluksizligidan
f ^1U


sS
sistema Х ning ochiq

∪

s
qoplamasi ekanligi kelib chiqadi. Demak, undan chekli qism qoplama ajratib

olishi mumkin, ya’ni ushbu

m ^1   tenglikni yozishimiz mumkin.

s

f U X
k
k 1

Bundan
m

∪
f ( X )  U_sk k 1
tenglik kelib chiqadi, ya’ni
U , U ,..., U

s s s
1 2 m
sistema
f ( X )

ni qoplaydi, demak f ( X ) kompaktdir.

4. 
   Теоrema. Аgar А fazo Х Tixonov fazosining kompakt fazoostisi
   

bo’lsa, u holsa har bir
B  X \ A
yopiq to’plam uchun shunday uzluksiz

f : X  I
funksiyalar topiladiki, barcha
x  X
uchun
f (x)  0
va barcha
x  B

uchun f (x)  1 bo’ladi.

Isbot. Har bir
x  A
uchun shunday
f_x : X  I
funksiya mavjud bo’lib,

bunda
f_x (x)  0 va
f_x (B)  1.

A  _∪ f ^{1
1 } ekanligidan, shunday chekli x , x ,..., x  A


to’plam

xX

topiladiki

_{x }[0,

k

]_

1 ^{
1 } bo’ladi.

1 2 k

A _∪ f _{xi }[0, ₂]_
i1 ^{ }
g : X  I funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:

x_i x₂

x_k
g(x)  minf (x), f (x),..., f (x)

bu funksiya quyidagicha shartni qanoatlantirsin:

A  g ^1[0,1 \ 2] va
g(B)  {1}

U holda
f (x)  2 max^ g(x)  ¹ , 0^

formula bilan aniqlanuvchi

f : X  I

2
 
 
funksiya Teorema shartini qanoatlantiradi.

2. Topologik fazolarning absolyuti va Shanin sonlari

Agar X va Y regulyar fazolar o’zaro absolyut bo’lsa, ular umumiy xossalarga ega bo’ladilar. Masalan:

^C  ^X  ^{ C} ^Y  ^,
d  ^X  ^{ d} ^Y  ^,
  ^X  ^{ } ^Y  ^.

Agar bu topologik fazolarning bittasi kompakt, final kompakt, parakompakt, lakal kompakt, Chex tipidagi kompakt fazo bolsa, u holda ikkinchisi ham shunday bo’ladi.

Maqsad, X va Y regulyar fazolar o’zaro absolyut bo’lsa, shanin sonlari

o’zaro
^sh  ^X  ^{ sh} ^Y 
ekanligini ko’rsatish.

Ba’zi aniqliklarni eslatib o’tamiz.

3.2.1.Ta’rif.

f : X  Y
akslantirish to’la deyiladi

1. 
   X - Xausdorff fazosi;
   
2. 
   f - yopiq akslantirish;
   

3. 
   Ixtiyoriy y Y
   

uchun
^{f 1} ^Y  ^{to’plam kompakt fazo bo’lsa.}

Agar
^f  ^x1  ^{ f}  ^x2 
shartni qanoatlantiruvchi
x₁  x₂  X
nuqtalar uchun

o’zaro kesishmaydigan atroflar mavjud bo’lsa, u holda akslantirish seporabel deyiladi
f : X  Y
uzluksiz

Agar ixtiyoriy A  X
yopiq to’plamosti uchun
^f  ^A ^{ Y}

shart bajarilsa, u holda
f : X  Y
akslantirish ochiq deyiladi.

^{Agar X topologik fazoning ivtiyoriy ochiq U  X to’plamostisi uchun} ^U 
to’plam X da ochiq bo’lsa, X topologik fazo ekstrimal bog’lamsiz deyiladi.

Agar ixtiyoriy quvvati
A  
ga teng bo’lgan
^{ } ^{U :  A}

B  X
ochiq to’plamlar oilasi uchun X da shunday quvvati  ga teng bo’lgan to’plamosti topilib

shart bajarilsa   ₀

^^{U :  B} ^{ }
kardinal son X fazoning kalibri deyiladi.

X topologik fazoning kalibrlari to’plami
^k  ^X 
ko’rinishida belgilanadi.

sh_ X _  min_ :  X fazoning kalibri_
ga X topologik fazoning shanin soni deyiladi.

1. 
   Teorema. Agar holda
   

f : X  Y
uzluksiz va ustiga akslantirish bo’lsa, u

shart bajariladi¹.
^k ^Y  ^{ k}  ^X ^,
sh ^Y  ^{ sh}  ^X 

2. 
   Teorema. Agar bo’lsin.
   

f : X  Y
uzluksiz va ustiga akslantirish berilgan

f : X  Y akslantirish yopiq akslantirish bo’lishi uchun ixtiyoriy U  X
to’plam uchun
ochiq

f _U _  _y Y : f ^1 _ y_  U_
to’plam Y da ochiq bo’lishi zarur va yetarli².

3. 
   Teorema. X va Y regulyar fazolar o’zaro absolyut bo’lsin. U holda
   

^k  ^X  ^{ k} ^Y 

Isbot.

bo’ladi.
  N₀
bo’lsin. 3.2.2. teoremadan


^k ^Y  ^{ k}  ^X 
ligini ko’rish

mumkin.
^{ } ^{U :  A}
oila X ning ixtiyoriy ochiq to’plamostilaridan tashkil

topgan oila bo’lsin.
bo’lgan
sistemani tekshiramiz.

2. 
   teoremadan
   

^f ^ 


f _U_{ }  _y Y : f ^1 _ y_  U_{ }


f _ _  _ f _U_{ } :  A_

sistema Y ning ochiq to’plamostisi bo’ladi.

A  A
qism oilalagidan
A  
va ixtiyoriy kesishma
_ f _U_{ } :  A  A_  

bo’ladi.


¹ Arhangel’skii A.V. , Ponomarvoy V.I. bases of general topology In problems and exercises. Moskow. 1974. p.
475.
² Beshimov R.B. Caliber, precaliber and theShanin number of hyperspaces// 2012 TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics,V.3, n.1, p.12-17.

f - uzluksizligidan har bir

24. 
    ning ochiq to’plamostisi bo’ladi.
    

^f ^U ^{ f} ^ 
uchun
f ^1 _ f _U_{ }  U_
to’plam

_ f _U_{ } :  A  A_   dan biz ixtiyoriy kesishma
^^{U :  A} ^{ }
ligiga erishamiz. 3.2.3.- teorema isbotlandi.
Xulosa. X va Y regulyar fazolar o’zaro absolyut bo’lsin. U holda

^sh  ^X  ^{ sh} ^Y 
bo’ladi.

3. Topologik fazolarning kardinal xossalarini OTM da o’rganish

Topologiya fani matematikaning deyarli yosh, lekin muhim qismidir. Topologiya fanini paydo bo’lishida XIX asr matematiklari Labachevskiy, Riman, Kantor, Gilbert, Freshlar katta hissa qo’shganlar. Lekin, uning ba’zi elementlarini antik davr olimlari Platon, Aristotel, Evklid, Ptolomeylarni ishlarida uchratish mumkin.
Topologiyaga quyidagicha ta’rif berish mumkin: topologiya ─ matematikaning geometrik bo‘limi bo‘lib, uzluksizlikni tadqiq qiluvchi, ya’ni uzluksiz akslantirishlarni o‘rganuvchi sohasi hisoblanadi. Qisqacha qilib aytganda, funksiyaning uzluksizligi tushunchasga ko‘ra, metrik fazo va topologik fazolar hamda ularning uzluksiz akslantirishlarni anglatadi. Geometrik nuqtai nazardan ikki sonning ayirmasi moduli uni sonlar o‘qi R da nuqtalar orasidagi masofadan iborat ekanligini bildiradi.
1906-yilda fransuz matematigi M. Freshe fanga metrik fazo tushunchasini kiritganidan so‘ng ixtiyoriy tabiatli to‘plamda ikki nuqta orasidagi masofani ma’lum shartlar asosida aniqlash imkoni tug‘ildi¹.

Akslantirish
f : X  Y
ning biror nuqtadagi uzluksizlik shartini olaylik, bunda

nuqtaning yetarli “yaqin” nuqtalari obrazning yetarli “yaqin” nuqtalariga o‘tadi.

Bu fikrni geometrik tasavvur nuqtai nazardan ifodalaymiz: X metrik fazo x₀

nuqtasining (xususiy holda R ─ to‘g‘ri chiziq)  atrofi
O_ (x₀ )
deb fazoning x₀

nuqtadan
  0
dan katta bo‘lmagan uzoqlikda yotgan nuqtalari to‘plamini

bildiradi, ya’ni
O_ (x₀ )  {x : (x₁ x₀ )  }
(to‘g‘ri chiziqda x₀
nuqtaning  atrofi

(x₀   , x₀   )
intervaldan iborat). Akslantirishning x₀
nuqtasidagi uzluksizligi

quyidagi ko‘rinishni oladi: ixtiyoriy
  0
son uchun shunday
  0
topilib,

x  O_ (x₀ )
nuqtalar uchun
f (x)  O_ f (x₀ )
o‘rinli bo‘laveradi. Bu esa,
f : X  Y

akslantirish x₀
nuqtada uzluksiz bo‘lishi, x₀
nuqtaning yetarli “zich” atrofidagi

nuqtalari obrazi
f (x₀ )
nuqtaning yetarli “zich” atrofidagi nuqtalariga

¹ Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б.

akslanadi demakdir.
Bundan ko‘rinadiki, akslantirishning nuqtadagi uzluksizligini aniqlash uchun nuqtalar orasidagi masofa nuqtaning atrofi tushunchasidan foydalanish yetarli emas, balki
ma’qul bo‘ladi.
1914-yilda nemis matematigi F. Xausdorf o‘zining “To‘plamlar nazariyasi” kitobida birinchi bo‘lib nuqtaning atrofi tushunchasini aksiomalashtirib, topologik (atroflar orqali aniqlangan) fazoning ta’rifini ifodalab berdi. Keyinchalik topologik fazolarning nisbatan soddaroq ta’riflari keltirildi¹.
Shuni jiddiy ta’kidlashimiz kerakki, metrik fazolar tabiiy ravishda topologik fazoni tashkil qiladi. Topologik fazolarga uzluksiz akslantirishlarning mavjud bo‘lishi uchun tabiiy muhit sifatida qaralib, uning asosida topologiyaning umumiy topologiya deb ataluvchi bir tarmog‘i vujudga keldi va barqaror rivojlanib bormoqda. Topologiyaning boshqa tarmoqlaridan farqli o‘laroq umumiy geometrik topologiya uning umumiy va sof topologik xossalarini o‘rganadi.
Xususiy holda differensial va bo‘lakli-chiziqli (kusochno-lineynaya) topologiya differensiallanuvchi ko‘pxilliklar va poliedrlar (umumlashgan ko‘pyoqliklar)ning, algebraik va gomotopik topologiya esa, algebraning topologiyada qo‘llanishiga asoslanadi. Shuni ta’kidlash kerakki, oxirgi paytlarda gomologiya va gomotopik topologiyalarda topologiyaning juda muhim umumiy topologik fazolar sinflari o‘rganilmoqdaki, algebraik topologiya bilan umumiy topologiya orasidagi chegarani aniqlash ma’lum murakkablik tug‘dirmoqda. Uzluksiz akslantirishlar xususiyatini o‘rganish, o‘z navbatida, bu akslantirishlarni aniqlash va qiymatlari sohalari bo‘lmish topologik fazolarni o‘rganishga olib keladi.
Topologik fazolarni uzluksiz akslantirishlar orasida topologik akslantirishlar (gomeomorf) deb ataluvchi gomeomorfizmlar maxsus o‘rin tutadi. Bu


¹ Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б.
akslantirishlar topologiyada shunday muhim o‘rinni egallaydiki, chunonchi, o‘zaro bir qiymatli affin akslantirishlar affin geometriyada qanday ahamiyat kasb etsa, ular ham topologiyada shunday ahamiyat kasb etadi. Masalan, X va

24. 
    lar metrik fazolar bo‘lsa,
    

f : X  Y
akslantirishning gomeomorfizm ekanligi

X fazoning shakl va o‘lchovlari Y fazoga ham bir xilda o‘tadi, X fazoda hech qanday “uzilish” va hech qanday nuqtalarni “yelimlash” ro‘y bermasa, Y fazoda ham xuddi shunday bo‘ladi¹.
Topologik akslantirishlar bizga jo‘n topologik invariantlarni ta’riflash va aniqlashda qo‘l keladi. Bu invariantlar topologik akslantirishda o‘z xususiyatini o‘zgartirmaydi. Topologik invariantlarga misol tariqasida topologik fazoning quvvati tushunchasini, topologik fazolarning salmog‘ini, fazoning bir yoki bir necha bo‘lakdan iborat bo‘lishini, ya’ni bog‘lamli yoki bog‘lamsiz ekanligini, topologik chegaralanganlik xossasini (kompaktliligini), fazolarning “o‘lchovlari soni”ni (fazoning o‘lchami) keltirish mumkin. Metrik, affin va proektiv geometriyalarga o‘xshab, topologiya ham ko‘p hollarda matematikaning topologik invariantlarini o‘rganuvchi bo‘limi deb yuritiladi. Umumiy topologiyada ko‘p o‘rganilayotgan, yetarlicha geometrik va asosiy topologik invariantlardan biri fazolarning “o‘lchovlari soni”dir. Bu juda muhim
invariantlardan biridir. Biz geometriyada to‘g‘ri chiziq, tekislik, R³ fazo va
uning qism fazolari o‘lchamlarini vektor fazoning chiziqli erkin vektorlari soni orqali aniqlagan edik. Topologiyada esa, o‘lchamlarning uchta: dim, ind va Ind invariantlari bilan tanishamiz.
O‘lchamlar nazariyasining eng mashhur nazariyotchi va asoschilari sifatida dunyoning uch mashhur matematigi: A. Puankare, A. Lebeg va L. Brauerlar alohida e’tirof etiladi. 1913-yilgacha hech qanday o‘lchamlar nazariyasi, hattoki ularning ta’riflanishi ham mavjud emas edi. Shu jumladan, o‘lchamlar nazariyasi topologiyaning o‘rganish sohasi ekanligi ham ma’lum emasdi. Lekin o‘lchamlar nazariyasi to‘plamlar nazariyasining o‘rganish obyekti emasligi aniq edi. Bu faktni to‘plamlar nazariyasi asoschisi G. Kantor 1890-yilda to‘g‘ri chiziq

nuqtalari to‘plami bilan tekislikning nuqtalari to‘plami o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslikni o‘rnatib, asoslagan edi[4].

Bu yo‘nalishda 1911-yilda Brauer ajoyib natijaga, ya’ni
Rⁿ va R^m
( m  n )

Evklid fazolarining gomeomorf emasligini aniqlashga erishdi. Bu faktni isbotlashda Brauer o‘lchamlar nazariyasiga asoslanmadi, chunki bu paytda hatto o‘lchamning ta’rifi ham yo‘q edi. 1912-yilda filosofik jurnalda A. Puankarening bir maqolasi e’lon qilindi va u o‘z maqolasida o‘lchamning ta’rifini keltirmasa ham, o‘lchamning ta’rifiga induktiv yondashish kerakligini yetarlicha yoritib berdi. Ushbu maqolada u topologik fazoni yetarlicha “kichik” o‘lchamli qism fazoostilarga bo‘lishga asoslanadi. 1913-yilda Brauer bu maqolaga asoslanib,

yetarlicha keng topologik fazolar sinfi uchun katta
Ind X
deb

ataluvchi o‘lchamning aniq ta’rifini berdi va
IndRⁿ  n
ni isbotladi. Keyinchalik

Lebeg va Brauerlar o‘lchamning qoplama tilidagi ta’rifini berdi, ya’ni to‘plam o‘lcham invarianti ta’riflandi. 1922–1923-yillarda Brauerning
dim X


Ind X

o‘lchamidan farqli ravishda va bir-biridan bexabar holda rus matematigi P.S. ^{Urison hamda avstriyalik Ye. Mengerlar kichik} indX ^{o‘lchamining ta’rifini} berishdi.
Ko‘pgina matematik tushunchalar, ba’zida butun bir matematik nazariyalar vujudga kelishi bilan matematikadan tashqarida bir qancha vaqt davomida o‘z tatbig‘ini topmaydi. Jumboqli kompleks sonlar tarixi bunga yaqqol misol bo‘ladi: ushbu sonlar bir necha yuz yillar mobaynida boshqa sohalarda qo‘llanilmay, keyinchalik fizika va mexanikaga kirib keldi. Shunga o‘xshab, matematikaning asosiy bo‘g‘ini bo‘lmish geometriya fanini oladigan bo‘lsak, bu sohada noevklid (Lobachevskiy) geometriyaning asosiy obyektlari - Lobachevskiy tekisligi va fazosi (Lobachevskiy tekisligi modeli) ham bir necha o‘n yillar davomida o‘z tatbig‘ini topmagan.
Shunga o‘xshash sohalardan yana biri Еvklid geometriyasi, Lobachevskiy geometriyasi, zamonamiz geometriyasi, qolaversa, zamonaviy matematikaning

bir bo‘limi, hosilasi bo‘lgan topologiya fanidir. Topologiya so‘zining lug‘aviy ma’nosi grekcha ^{ o o} ─ joy (o‘rin), oo ─ qonun so‘zlaridan iborat.
Topologiya atamasini birinchi bo‘lib Listing qo‘llagan. Topologiya – matematikaning nisbatan “yosh” va muhim bo‘limlaridan biridir. Topologiya fani geometriya va matematik analiz fanlarining qator fundamental faktlarini (tushunchalarini) umumiy nuqtai nazardan qayta ko‘rib chiqish natijasida paydo bo‘ldi.
Topologiya fan sifatida ilk marta XIX asrning oxirlarida buyuk fransuz matematigi Anri Puankare ishlarida shakllana boshlagan. U topologiyani “analysis situs” (lotinchadan tarjimasi ─ joy (o‘rin) geometriyasi) tahlili deb nomlaydi. Bu atamani esa, matematikaga birinchi bo‘lib Riman olib kirgan. Keyinchalik bu atamalar bir so‘z bilan topologiya deb atala boshlandi.
Bu o‘rinda mashhur fransuz matematigi Andre Veylning topologiya xususida aytgan quyidagi so‘zlari ham e’tiborga loyiqdir: “Har bir matematikning qalbini zabt etish ustida topologiya farishtasi bilan mavhum algebra shaytoni kurash olib boradi. Bu orqali, birinchidan, topologiyaning ajoyib jozibasi va go‘zalligi namoyon bo‘lsa, ikkinchidan, barcha zamonaviy matematikaning g‘aroyib birikishi topologiya va algebraga eltishi ifoda etiladi”.
Hozirgi zamon fanlarining rivojlanishida topologiyaning fizika, biologiya, ximiya va binobarin, geografiya fanlaridagi tatbig‘i qo‘llanilmoqda. Topologiyaning sehrli olamiga kirish mashaqqatlidir. Shu sababli topologiya fanining tushuncha, ta’rif va ma’lumotlarini puxta o‘zlashtirish muhim. Oddiy topologik tushunchalar bizni o‘rab turgan olamga nazar tashlaganda paydo bo‘la boshlaydi. O‘z-o‘zidan tushunarliki, figuralarning geometrik xossalariga figura o‘lchamlari, ularning joylashishi, burchaklarining ko‘rinishi va hokazolar kiradi¹.
Bu geometrik xususiyatlardan tashqari, yana nimadir nazarimizdan chetda qolayotgandek tuyuladi. Masalan, geometrik chiziqlarning yopiq yoki yopiq


¹ Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б
emasligi, figuralarning “teshikli” yoki “teshiksiz”, cho‘ziluvchan yoki cho‘ziluvchan emasligi, geometrik figuralarning zanjirsimonligi yoki yo‘qligi, bog‘lamli chiziqlarning bog‘ichli bo‘lishi yoki bo‘lmasligi, figuralarni yirtmasdan cho‘zish yoki cho‘zish mumkin emasligi kabi xossalarini inobatga oladigan bo‘lsak, Еvklid geometriyasidan sal tashqariga chiqishga to‘g‘ri keladi. Aynan shu o‘rganish natijasida va shu kabi geometrik figuralarning xossalarini o‘rganuvchi topologiya fani elementlari kirib kela boshladi¹.
A. Puankare nuqtai nazariga ko‘ra, topologiya shunday fanki, u geometrik figuralarning sifatiy xossalarini faqat uch o‘lchamli fazoda emas, balki undan yuqori o‘lchamli fazolarda ham o‘rganishga yordam beradi. Geometrik figuralarning sifatiy xossalari deganda, masalan, sferani rezina qobiq bilan qoplangan deb faraz qilib, uni yetarlicha siqishni yoki yetarlicha uzmasdan cho‘zishni tushunish mumkin. Sferani bunday almashtirishlar topologik gomeomorfizm deb yuritiladi. Figuralarning sifatiy xossalari bu figuraga o‘zaro gomeomorf bo‘lgan barcha geometrik figuralarga tegishli bo‘ladi. Bunday xossalar bir so‘z bilan topologik xossalar deb ataladi.
Topologiya fani geometriya va matematik analiz fanlarining elementlaridan keng foydalansada uni o’rganish ancha qiyin.
Shuning uchun topologiya fa’nining tushuncha, ta’rif va ma’lumotlarini puxta o’rganish muhim.
Shu sababli ham hozirgi kunda matematika o’qitish metodikasi yo’nalishida ish olib borayotgan olimlar va mutahasislarni topologiya elementlarini o’qitish muammolari o’ziga jalb etmoqda.
Topologiya fan sifatida o’rganuvchilarga qiyinchilik tug’dirishi mumkin. Lekin, fan nuqtai nazaridan topologiya elementlarini o’rganish o’quvchilarda matematikaga bo’lgan qiziqishni oshiradi, bilim doirasini kengaytiradi, mantiqiy o’ylash qobiliyatini oshiradi, amaliy masalalarni ishlashda nazariy bilimlardan foydalana olishni o’rgatadi.
Topologiyani muhim elementlaridan biri topologik invariantlardir. Ko’p hollarda olimlar topologiyani huddi metrik, affin va proektiv geometriyaga
o’xshab matematikaning topologik invariantlarini o’rganuvchi bo’limi deb yuritadilar. Invariantlar topologik akslantirishlarda o’z husussiyatini o’zgartirmaydi.
Oliy ta’lim muassasalarida topologiya fani “Matematika va informatika” yo‘nalishlarida III va IV bosqichlarda, “Matematika” yo‘nalishlari bo‘yicha III bosqichda, “Matematika o‘qitish metodikasi” bo‘yicha III kursga mo‘ljallangan.
Magistrlik yo‘nalishi bo‘yicha “Matematika o‘qitish metodikasi” bo‘yicha I kurs, Universitetlarning “Matematika” yo‘nalishi bo‘yicha I kursda kengroq o‘tiladi.