Maxsus ta’lim vazirligi

Тeorema. Х kompakt to’plam bo’lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo’lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Zaruriylik. Х – kompakt to’plam bo’lsin. Avvalo bu to’plamning chegaralanganligini ko’rsatamiz. Teskarisidan faraz qilaylik, ya’ni Х – kompakt

to’plam bo’lsa ham u chegaralanmagan bo’lsin. U holda shunday
x₁  X
nuqta

mavjudki
x₁  1 , shunday
x₂ nuqta mavjudki
x₂  2
va h.k.

Natijada x_n  ketma-ketlik hosil bo’lib,
x_n  n
bo’ladi. Bu x_n  ketma-ketlikdan

yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib bo’lmaydi. Bu esa Х ning kompakt to’plamligiga zid. Demak, Х-chegaralangan to’plam.

Endi, Х ning yopiq to’plam bo’lishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik a nuqta Х
to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. U holda Х da a ga intiluvchi x_n  ketma-ketlik

topiladi. Ravshanki, bu x_n 
ketma-ketlikning har qanday ^{x }
qismiy ketma-

n_k
ketligi uchun
lim x  a

n
k
limit o’rinli bo’ladi. Х kompakt to’plam bo’lgani uchun

a  X bo’ladi. Demak, Х to’plamning limit nuqtasi o’ziga tegishli bo’ladi. Bu
esa Х ning yopiq to’plam ekanligini bildiradi¹.
Yetarliligi. Х-chegaralangan va yopiq to’plam bo’lsin. U holda Bolsano-

Vveyershtrass lemmasiga ko’ra har qanday x_n 
taqinlashuvchi
ketma-ketlikdan a ga

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin:
x  a . Ravshanki, bu a nuqta Х

n
k

to’plamning limit nuqtasi bo’ladi. Х yopiq to’plam bo’lgani uchun Demak, Х kompakt to’plam. Teorema isbotlandi.
a  X
bo’ladi.

10. 
    Теоrema. Аgar
    

f (x)
funksiya Х kompakt to’plamda uzluksiz

bo’lsa, funksiya Х da tekis uzluksiz bo’ladi.

2.3.4. Misol. Haqiqiy sonlar to’g’ri chizig’i va Zorgenfrey to’g’ri chizig’i

i1
kompakt emas, chunki olib bo’lmaydi.
 i, i^
ochiq qoplamadan chekli qism qoplama ajratib

X topologik fazo, Y kompakt fazo va C:X→Y akslantirish X fazoni Y fazoga

akslantirish uchun



C( X )  Y
shart bajarilsa, u holda (Y, C) juftlik X fazoning

kompaktifikatsiyasi yoki kompakt Xausdorf kengaytmasi deyiladi.
Agar X fazo va Y kompakt fazoning biror M qism to’plami uchun

f : X  Y (M  f (M ))
gomomorf akslantirish mavjud bo’lsa, u holda ( f ( X ),
if )

juftlik, bu yerda i- M ni M ga ayniy almashtirish, X fazoning kompakt kengaytmasi bo’ladi. Demak, har qanday kompakt fazoga hamma yerida zich qilib joylashtirish mumkin bo’lgan fazo kompakt kengaytmaga ega. Ya’ni, quyidagi ikkita teoremalar o’rinli bo’ladi:


¹Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

12. 
    Teorema. X topologik fazo kompakt kengaytmaga ega bo’lishi uchun uning Tixonov kengaytmasi bo’lishi zarur va yetarlidir.
    

12. 
    Teorema. Har qanday X tixonov fazosi uchun qanoatlantiruvchi (Y, C) kompakt kengaytmasi mavjud.
    

( X )  (Y ) shartni

Biz X fazoning kompakt kengaytmasi deganda faqat (Y, C) juftlikni nazarda
tutmasdan, X fazoni hamma yerida zich qilib joylashtirish mumkin bo’lgan Y
kompakt fazoni tushunamiz. X fazoning kompakt kengaytmalari

CX ,
C_i X ,  (X )
va hokozo ko’rinishlarda belgilanadi. Bu yerda
C, C_i ,  lar X

fazoning mos ravishdagi kompakt kengaytmalarini joylashtiruvchi gomeomorf inektiv akslantirishlar¹.
Demak, X fazoning CX kompakt kengaytmasi uchun

C : X  CX ,
C _X : X  C(X )

gomeomorf akslantirish va


C( X )  C( X )
bo’ladi.

Bizga X fazoning C₁X va C₂ X kompakt kengaytmalari berilgan bo’lsin.

Agar
f : C₁ X  C₂ X
gomeomorf akslantirish mavjud bo’lib,

C X ^f  C X
1 2
c₁   c₂

2d
X  X
x

diogrammaning kommunikativligi bajarilsa, ya’ni,

x  X uchun fC₁(X )  C₂ (X ) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bunday kompakt

kengaytmalarning ekvivalentligi ekvivalentlik munosabati bo’lishi kelib chiqadi. Kelgusida CX bilan X fazoning ekvivalent kompaktifikatsiyalaridan ihtiyoriysini belgilaymiz.

Bu yerda quyidagi Teorema o’rinli bo’ladi:




¹ Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

12. 
    Teorema. X fazoning ixtiyoriy Y kompakt kengaytmasi uchun
    

(Y )  exp d( X ) va
Y  expexp d ( X )
munosabatlar o’rinli bo’ladi.

Demak, X fazoning barcha kompakt kengaytmalari
^{I exp d ( X )} tixonov

kubining qism fazolari bo’lar ekan. Bundan
_I exp d ( X )
tixonov kubining qism

fazolaridan tuzilgan X fazoning barcha ekvivalent kompakt kengaytmalari oilasi

( X )
ni qarash mumkinligi kelib chiqadi.

Endi, ^{( X )} to’plamda ефкеши tushunchasini kiritaylik. Agar
fC  C

shartni qanoatlantiruvchi

f : C₁ X
1 2


^{ C}₂ ^X uzluksiz akslantirish mavjud bo’lsa,

u holda
C₂ X
 C₁ X
deymiz. U holda
C₂ X
^{ C1X} tengsizlikdan
^C1X ni

^{C2 X} ga shunday akslantirish mumkinki, unda
^C₁ ^X va
^{C2 X} fazoning qism

fazosi sifatida qaralayotgan X fazoning ixtiyoriy nuqtasi o’ziga o’tadi. Demak,

agar
C₁ X
 C₂ X
va ^{C2 X
 C3 X} bo’lsa, u holda
C₁ X
^{ C3 X} bo’ladi.

Ushbu  munosabatning oilada o’rinli bo’lishi quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

12. 
    Teorema. X fazoning
    

^C1X va
^{C2 X} kompakt kengaytmalari

ekvivalent bo’lishi uchun yetarlidir.
C₁ X
^{ C2 X} va
C₂ X
 C₁ X
bajarilishi zarur va

Quyidagi teorema kompakt kengaytmalarning ekvivalentliligining yana bir
zaruriy va yetarli shartini ifodalaydi:

12. 
    Teorema. X fazoning ^C1X va kompakt kengaytmalari ekvivalent
    

bo’lishi uchun ekvivalent bo’lishi uchun, X fazoning ixtiyoriy A va B yopiq qism

to’plamlari uchun


^{C1A C1A    C2 (A) C2 (B)  }ekvibalentlik

munosabati bajarilishi zarur va yetarlidir.
Bizga X topologik fazoning ixtiyoriy CX kompakt kengaytmasi berilgan

bo’lsin. CX ning C(X) dan farq qiluvchu nuqtalari to’plami
CX \ C( X )
ga CX

kompakt kengaytmaning to’ldiruvchisi deyiladi. Quyidagi Teoremada to’ldiruvchining muhim hossasi bayon qilingan:

12. 
    Teorema. Agar
    

^C₁ ^X va
^{C2 X} lar X fazoning kompakt

kengaytmalari va
f : C₁ X
^{ C}₂ ^X akslantirish uchun
fC₁  C₂
bo’lsa, u holda

^{f (C1( X ))  C2 ( X )} va
bo’ladi.
^{f (C}₁ ^{X \ C}₁ ^{(X ))  C}₂ ^{X \ C}₂ ^{(X )} munosabat o’rinli

Quyidagi Teorema ixtiyoriy X fazoning kompakt kengaytmalari oilasining muhim hossalarini bayon etadi.

12. 
    Teorema. X fazoning kompakt kengaytmalari oilasi
    

( X )
ning

istalgan bo’sh bo’lmagan qism

₀ ( X )

fazosi
^{( X )} dagi ^ tartib

munosabatiga nisbatan aniq yuqori chegaraga ega.
Ushbu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi:
Natija. Har qanday X fazoning kompakt kengaytmalari tartib munosabatga nisbatan eng kata element mavjud.
^{( X )} oilada ^

X topologik fazoning kompakt kengaytmalari
^{( X )} oilaning eng katta

elementi X fazoning eng kata kompakt kengaytmasi yoki Stoun-Chex kompakt

kengaytmasi deyiladi va
^{ X} kabi belgilanadi.

Demak, biz X fazoning istalgan CX kompakt kengaytmaga aynan joylashtirish mumkin deb qarashimiz mumkin. X fazoni CX kompakt kengaytmasiga aynan joylashtiruvchi akslantirish berilgan bo’lsa, uni X fazoning kompakt kengaytmasiga aynan joylashtiruvchi akslantirish berilgan bo’lsa, uni X fazoning kompakt kengaytmasigacha davom ettirish mumkinligi quyidagi Teoremada bayon etilgan:

12. 
    Teorema. Har qanday X tixonov fazosini istalgan Z kompakt
    

fazoga akslantiruvchi ihtiyoriy uzluksiz
f : X
^{ Z} akslantirishni,
F :  X  Z

uzluksiz akslantirishgacha davom ettirish mumkin.

Agar X tixonov fazosini kompakt fazoga akslantiruvchi har qanday

uzluksiz akslantirishni X fazoning biror
^{ X} kompakt kengaytmasigacha

uzluksiz davom ettirish mumkun bo’lsa, u holda ^{ X}
kompakt kengaytma X

fazoning stoun-chex kompakt kengaytmasiga ekvivalent bo’ladi.