Maxsus ta’lim vazirligi

Urison lemmasi. Ixtiyoriy normal X fazoning o‘zaro kesishmaydigan

yopiq A va B to‘plamlari uchun shunday uzluksiz
f : X  0,1
funksiya

mavjudki, uning uchun o‘rinlidir.
f / _A  0 ,
f / _B  1
va har bir
x  X
uchun shartlar

Isbot. X normal fazo, A va B lar uning ixtiyoriy yopiq to‘plamostilari va

A  B  
bo‘lsin. Har bir r 
n, k  0,1,..., 2ⁿ
ratsional songa shunday G_{(r )} ochiq

to‘plamni mos qo‘yamizki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1) А  G(0), X \ B  G(1);

2) Agar
rr^,
bo‘lsa, G(r)  G(r^,) .

Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi ochiq to‘plamlar sistemasini n – ko‘rsatkichga nisbatan induksiya metodi bilan ko‘ramiz.

n  0 bo‘lsin. Bu holda, X fazo normal bo‘lganligi tufayli A va B larning

U ( A)
va U (B)
kesishmaydigan ochiq atroflari mavjud bo‘ladi. Ularni

G(0)  U (A) va G(1)  X \ B qilib belgilaymiz.


k  n 1 uchun G_{(r )} ochiq to‘plamlar sistemasi qurilgan bo‘lsin.

Endi n uchun
G_(n) to‘plamni qurishimiz kerak.
2m / 2ⁿ  m / 2^n1
bo‘lganligi

sababli
G_{(r )} to‘plamni
r  k / 2ⁿ
n – toq son uchun ko‘rishimiz yetarli bo‘ladi.

Aytaylik,
k  2m 1
bo‘lsin, u holda
(k 1) / 2ⁿ  (m 1) / 2^n1 ,
(k 1) / 2ⁿ  m / 2^n1 va

induksiya shartiga ko‘ra,
G(k 1/ 2ⁿ ) G(k 1/ 2ⁿ )
ifodaga egamiz. Ravshanki,

G(k 1/ 2ⁿ ),
X  G(k 1/ 2ⁿ)
lar yopiq va kesishmaydi. X fazoning normalligi

tufayli
G(k 1/ 2ⁿ )
ning ochiq atrofi mavjudki, bu ochiq to‘plam
X  G(k 1/ 2ⁿ )

¹ Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

ning ochiq atrofi bilan kesishmaydi.
V  G(k / 2ⁿ )
belgilashni kiritamiz.

Aniqki,
G(k 1/ 2ⁿ ) G(k / 2ⁿ ) ,
G(k / 2ⁿ ) G(k 1/ 2ⁿ )
lar o‘rinli, shu bilan

induksiya tugaydi.

^G(r )
to‘plamlarning aniqlanish sohasini quyidagicha kengaytiramiz:


G(r)  ^{ ,}
X ,
^{agar r  0} _bo‘lsa:


agar r  1

 

Endi
 : Х  0,1
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: agar
x  G(0)
bo‘lsa

(х)  0,
va (x)  supr : x  G(r)X  G(r). Bu  funksiyaning uzluksizligini

0
ko‘rsatishimiz kerak. Shunga erishish maqsadida ixtiyoriy
х₀  Х
nuqta va
N  0

uchun
x₀ nuqtaning shunday
^ON ( x )
atrofini ko‘ramizki, u uchun

1
(х₀ ) (х)  _2N ,
x O_N
(x₀ )
o‘rinli bo‘lsin. Aytaylik,
r₀ son
k / 2ⁿ
ko‘rinishda

bo‘lib,
(x₀ )  r₀  (x₀ ) 
N 1
(1) shartni qanoatlantirsin. Belgilaymiz:

U_N (x₀ )  G(r₀ )\ G(r₀  ¹₂ N ) . Bu holda
x₀ U_n (x₀ ) , chunki
r₀  (x₀) va

r₀ 
N 1  (x₀) . Agar
x U_N (x₀ )
bo‘lsa, u holda
x  G(r₀ ) . Shu sababli

(x)  r₀ . Bundan tashqari,
x  X 
 X  G(r₀ 

14. 
    ) , shu sababli
    

r₀ 
N  (x). Demak,
r₀ 
N  (x)  r₀ .

1. 
   va (2) larni solishtirsak, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz:
   

(x₀ )  (x) 
N, x U_n (x₀ )

Bu  ning uzluksizligini ko‘rsatadi. Funksiyaning qurilishiga ko‘ra,

 |_A  0;  |_B  1 va 0  (x)  1.
Bunday qurilgan funksiya Urison funksiyasi deyiladi. Urisonning bu lemmasi quyidagiga ekvivalentdir.
Normal X fazoning ixtiyoriy kesishmaydigin va bo‘sh bo‘lmagan A va B

yopiq to‘plamlari uchun shunday
_а,в (х)
uzluksiz funksiya mavjud bo‘ladiki, u

В
quyidagi shartni qanoatlantiradi: _а,в (х) _А  а ;_а,в (х)  в;
а  _а,в (х)  в , х  Х
. Bu

yerda
a, b
(a  b)
ixtiyoriy haqiqiy sonlardir. Haqiqatan ham, agar _а,в (х)
Urison

funksiyasi bo‘lsa, u holda _а,в (х)  (в  а)(х)  а izlangan funksiya bo‘ladi.

2.2.1.Teorema. Normal X fazoning ixtiyoriy yopiq A to‘plamida berilgan.

Ixtiyoriy chegaralangan
 : А  R
uzluksiz funksiya uchun shunday
Ф : Х  R

uzluksiz funksiya mavjudki, uning uchun quyidagi o‘rinli:

Ф _А   va
^sup^{Ф(x), x  X}  ^{ sup}^{(x), x  A} ^.

Isbot. Izlanayotgan uzluksiz limiti ko‘rinishida quramiz.
^F( x)
funksiyani funksiyalar ketma-ketligining

   va a  sup_(x) : x  A_ A  ^x : (x)   ^{a0 },




0 0 0 ^ 0 ₃ ^



x : (x)  ^a0

B
Aytaylik:
0 0 ₃
^{ } bo‘lsin

Ravshanki,
A₀ va B₀
to‘plamlar yopiq va o‘zaro kesishmaydi. Urison

lemmasiga ko‘ra, shunday uzluksiz funksiya shartlarni qanoatlantiradi:
g₀ : X  R
mavjudki, u quyidagi

_ ^a0
agar,
x  A bo‘lsa^

g (x)  ^a0 va g (x)  ^{ 3} 0 ^
_{0 3 0} _a 
^{ 0} ₃ agar, x  B₀ bo‘lsa^
 

Endi A to‘plamda ₁
funksiyani
₁(х)  ₀ (х)  g₀ (x)
ko‘rinishda

aniqlaymiz. U holda
 funksiya uzluksiz va a  sup (x) : x  A ² a
o‘rinli.

1 1 1 ₃ 0

Shunga o‘xshab, quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

A  ^x : (x)   ^{a1 }, B  ^x : (x)  ^{a1 }.

1 ^ 1
₃  ₁  _{1 3} 

   

Endi yana Urison funksiyasi qanoatlantiradi:
g₁ ni olamiz, u quyidagi shartlarni

_ ^a1
, agar х  А bo‘lsa^

g (x)  ^a1 va g (x)  ^{ 3} 1 ^
_{1 3 1} _a 

_ 1 _{3 ,}
agar х  В₁ bo‘lsa ^

 

A to‘plamda
₂ (x) , funksiyani
₂(х)  ₁(х)  g₁(x) ko‘rinishda ko‘ramiz va

a  sup(A){|  (x) |: x  A}  ² a
deb olamiz. Shu yo‘sinda A to‘plamda uzluksiz

2 2 ₃ 1

bo‘lgan funksiyalarning
₀  ; ₁; ₂; ..., _n , ...
ketma-ketligi va X da uzluksiz

g₀;
g₁;
g₂; ...,
g_n , ...
funksiyalar ketma-ketligiga ega bo‘lib, ular quyidagi shartni

qanoatlantiradi:

 (x)   (x)  g

(x),

g (x)  ^an ; a  ² a .

n1 n n
n ₃ n1 ₃ n

Bu yerda
a_n  sup__n (x) : x  A_


n  0, 1, 2, ...,
bundan

_n (x)

( ) a₀ ,


  ^{2 n}
_{ } 2 _n a
larga ega bo‘lamiz. Oxirgi tengsizliklardan _
g (x)

_n (x)

( ) .

0
3 3 3
n0

n
qator X da birorta uzluksiz funksiyaga absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Bu yig‘indini

Ф(х)  _ g_n (x)
n0
bilan belgilaymiz va quyidagi baholashga ega

bo‘lamiz:
Ф(х)  _( ²) ^a a
. Endi
x  A
bo‘lsin, u holda



ⁿ 0
n0 ^{3 3}

0
S_n (x)  g₀ (x) ...  g_n (x)
qismiy yig‘indi
_n1(x)
funksiyalarning qurilishiga ko‘ra

₀ (x)  _n (x)
ga teng. Lekin
_n (x)  0 , u holda har bir
х  А
uchun

Ф(х)  ₀ (х)  (х) . Demak, Ф(х)
izlangan funksiya ekan.

Natija. Normal X fazo ning ixtiyoriy yopiq A to‘plamostisida berilgan har

bir uzluksiz
 : А  I ⁿ
akslantirishni
Ф : Х  I ⁿ
akslantirishgacha uzluksiz

davomlashtirish mumkin.

2.