Maxsus ta’lim vazirligi

Kompakt fazolar va ular ustida amallar

Х to’plamning qism to’plamlaridan tuzilgan A_s _sS
oila uchun
A_s  X

∪
sS

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda A_s _sS
ga Х to’plamning qoplamasi deyiladi.

2.3.1.Тa’rif. Аgar Х topologik fazoning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lsa, Х topologik fazo kompakt deyiladi.

F  F_s _sS
to’plamlar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar bu oilaning ixtiyoriy

chekli qism kesishmasi bo’sh bo’lmasaа, bunday sistema markazlashgan sistema deyiladi.

1. 
   Теоrema. Х topologik fazo kompakt bo’lishi uchun undagi yopiq to’plamlardan iborat har qanday markazlashgan sistemaning kesishmasi bo’sh bo’lmasligi zarur va yetarlidir.
   

Isbot. Х – kompakt fazo, F_s _sS

∩
F_s  .
sS
- Х dagi yopiq to’plamlar sistemasi va

U_s  X \ F_s ochiq to’plamni qaraymiz.

_∪U_s _∪X \ F_s   X \ _∩ F_s  S
ekanligidan U_s _sS
oila Х fazoning ochiq

sS
sS
sS

qoplamasi bo’ladi. Ammo Х – kompakt edi. Demak, U_s _sS

s₁ s s_{2 k}
U ,U ,...,U  qism qoplama mavjud bo’ladi.
qoplamada chekli

∪
k
X  U_si i1
k

∪

i1
X \ F 
k

∩
X \ F_si
i1
kelib chiqadi, bu esa
k

∩
F_si  
i1
ekanini

s_i
bildiradi. Shunday qilib Х dagi yopiq to’plamlar sistemasi F_s _sS


k

∩
markazlashgan bo’lsa, u holda F_s   .
i1

2. 
   Теоrema. Kompakt fazoning yopoq qism to’plami kompaktdir.
   

Isbot. F to’plam Х kompakt fazoning yopiq qism to’plami va F_s _sS sistema F ning yopiq qism to’plamlaridan iborat ixtiyoriy markazlashgan sistema bo’lsin. U holda F_s to’plam Х da ham yopiq bo’ladi. Demak F_s _sS sistema Х dagi uning yopiq top’lamlaridan iborat markazlashgan sistemadir.

Bundan
k

∩
F_s  
i1
ekanligi kelib chiqadi. 2.3.1-teoremadan F ning kompakt

ekanligi kelib chiqadi.

3. 
   Теоrema. Аgar А – Х regulyar fazoning kompakt fazoostisi bo’lsa, u
   

holda har bir yopiq
B  X \ A to’plam uchun shunday ochiq U ,
V  X
to’plamlar

topiladiki
A  U, B  V
va U ∩V   munosabatlar o’rinli bo’ladi.

Аgar В – Х fazoning kompakt fazoostisi bo’lsa, u holda Х ni Xausdorf deb faraz qilish yetarli.

Isbot. Х regulyar fazo ekanligidan har bir
x  X
uchun shunday ochiq

U_x ,
^Vx X
to’plamlar topiladiki
x U_x , B  V_x

va U_x ∩V_x  

(1)

munosabat o’rinli.

Ravshanki



∪
A  U_x xA
bo’ladi. U holda shunday chekli x₁, x₂ ,..., x_k  A

to’plam topiladiki
k

∪
A  U_xi .
i1

∪
k
U  U_xi i1
k

∩
va V  V_xi
i1
to’plamlar teorema shartlarini qanoatlantiradi.

Аgar В – bir nuqtali to’plam bo’lsa, u holda Teoremanin birinchi shartini isbotlashda faqat Х ning xausdorfligidan foydalaniladi. Аgar В – Х ning

kompakt fazoostisi bo’lsa, har bir
x  A
uchun (1) shartni qanoatlantiruvchi

U_x , V_x  X ochiq to’plamlarga ega bo’lamiz¹.

4. 
   Теоrema. Xausdorf fazosining kompakt qism to’plami yopiqdir.
   

Isbot. Х xausdorf fazosi, А – esa uning kompakt qism to’plami bo’lsin.

Ixtiyoriy
y  A
nuqtani olamiz, ular har bir
x  A
nuqta uchun х va у larning mos

ravishda shunday ochiq bo’lgan
V_x va
( x)

U
y
atroflari mavjudki,

V ∩U ^(x)  . {V
: x  A} sistema А uchun ochiq qoplama, demak uning chekli

x y x


V_x , V_x , V_x ,...,V_x

1 2 3 n


¹Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

qism qoplamasi mavjud. Endi
U  U ^{(x1 )} U ^{(x2 )} ∩ ... ∩U ^{(xn )} va

V  V_x1 ∪V_x2 ∪ ... ∪V_xn
y y y

ochiq atrofi bo’lib, U_y ∩V  .

Bunda
U_y ∩ A  
ekanligi, ya’ni


y  A
munosabat kelib chiqadi. Shunday

qilib,


A  A
munosabat isbotlandi. To’plam yopilmasining xossalariga ko’ra

A  A tenglik kelib chiqadi.

5. 
   Теоrema. Har bir kompakt xausdorf fazosi normal fazo bo’ladi.
   
6. 
   Теоrema. Kompakt fazoning uzluksiz aks ettirishdagi tasviri kompakt fazodir.
   

Isbot. Х kompakt fazo, f esa Х ni biror Y fazoga uzluksiz aks ettirish

bo’lsin.
f (x)
fazoning ixtiyoriy
^{Us ^}sS
ochiq qoplamasini olamiz, ya’ni

∪
f ( X )  U_s .
sS

So’ngi munosabatdan

∪

s
X  f ^1(U )
sS
tenglik kelib chiqadi.

Bundan va f ning uzluksizligidan
f ^1U


sS
sistema Х ning ochiq

∪

s
qoplamasi ekanligi kelib chiqadi. Demak, undan chekli qism qoplama ajratib

olishi mumkin, ya’ni ushbu

m ^1   tenglikni yozishimiz mumkin.

s

f U X
k
k 1

Bundan
m

∪
f ( X )  U_sk k 1
tenglik kelib chiqadi, ya’ni



s s s
U , U ,..., U
1 2 m
sistema


f ( X )

ni qoplaydi, demak f ( X ) kompaktdir.

7. 
   Теоrеmа. Х kompakt fazoni Y Xausdorf fazosiga o’zaro bir qiymatli va uzluksiz f akslantirish gomomorfizm bo’ladi.
   

Lemma. Аgar А – Х fazoning kompakt fazoostisi, у – Y fazodagi nuqta

bo’lsa, u holda Ах{y} ni o’z ichiga oluvchi har bir ochiq
W  X Y
to’plam

uchun
Ay U V  W
munosabat o’rinli bo’ladigan
U  X
va V  Y
ochiq

to’plamlar mavjud bo’ladi.

8. 
   Kuratovskiy Teoremasi. Ixtiyoriy Х fazo uchun quyidagi shartlar teng kuchli:
   

1. 
   Х fazo kompakt;
   

2. 
   Har bir Y topologik fazo uchun akslantirish bo’ladi.
   

p  X Y  Y
proyeksiyalash yopiq

3. 
   Har bir Y normal fazo uchun
   

p  X Y  Y
yopiq akslantirish bo’ladi.

Isbot. Х – kompakt fazo va
F  ^→  X Y
bo’lsin.
y  pF  muqtani olamiz.

F
X y X Y /F ekanligidan, 2.3.9. lemmaga ko’rа, y nuqtaning shunday V

atrofi mavjudki, X V ∩ F  
tenglik o’rinli bo’ladi, u holda
pF ∩V  

bo’lsin,
pF 
akslantirish Y ga yopiq akslantirish bo’ladi. i  ii
impliksiya

isbotlandi. ii  iii  impliksiyaning bajarilishi ravshan. iii   ini isbotlaymiz.
Х fazo iii  xossaga ega bo’lsin. Faraz qilaylik Х da yopiq to’plamlarning F_s _sS

markazlashgan sistemasi mavjud bo’lib,
F_s  

∩
sS
bo’lsin.
y₀  X
nuqtani olamiz

va y  X ∪y₀
to’plamda, Х ning barcha qism to’plamlaridan va

y₀ ∪ F_s1 ∩ F_s2 ∩ ... ∩ F_sn ∪ K
ko’rinishidagi to’plamlardan topologiyani qaraymiz,

bunda
s₁, s₂ ,..., s_k  S
va K  X .

∩
F_s  
sS
tenglikdan Y ning T₁
fazo ekanligi kelib chiqadi. Y fazoning
y₀ ni o’z

ichiga olmagan har bir qism to’plami ochiq bo’lgani uchun Y normal fazo.

Х fazo (iii) xossaga ega bo’lgani uchun proeksiyasi Y da yopiq to’plam bo’ladi.
F  (x₁x) : x  X  to’plamning
p(F )

X  p(F)
munosabatdan va


y₀  X  Y
ekanligidan
y₀  p(F).

Demak, shunday
x₀  X
nuqta mavjudki, uning uchun x₀ , y₀  F .

U holda,
x₀ nuqtaning har bir
U  X
atrofi va har bir
s  S
uchun

U  y₀ ∪ F_s ∩ x, x: x  X   , ya’ni
U ∩ F_s  
munosabatlarga ega bo’lamiz.

Demak, barcha

chiqadi.
s  S

larda
x₀  F_s
bo’lib, bundan
F_s  

∩
sS

• 
  ziddiyat kelib
  

9. 
   Теоrema. Х kompakt fazoda f uzluksiz funksiya bo’lsin. U holda f funksiya Х fazoda chegaralangan bo’lib, o’zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga ega.
   

Isbot. Х kompakt fazoda aniqlangan f uzluksiz funksiya Х ni Xausdorf

fazosi R ga uzluksiz akslantirish demakdir. 2.3.7-teoremaga ko’ra kompaktdir.
f (x)

Bundan
f (x)
ning chegaralangan va yopiq to’plam ekanligi kelib chiqadi,

demak f funksiya Х da o’zining aniq yuqori chegarasigada aniq quyi chegarasiga erishadi. Teorema isbotlandi.

Х – haqiqiy sonlarning birоr qism to’plami bo’lsin: X  R .
2.3.2.Ta’rif. Agar Х to’plamning nuqtalaridan tuzilgan har qanday

x_n  x_n  X ,
n  1,2,3...
ketma-ketlikdan shu to’plamning nuqtasiga

n_k
yaqinlashuvchi x 
qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa, Х to’plam

kompakt to’plam deyiladi.

1. Misol.

X  a, b
segmentning kompakt bo’lishi Bolsano-veyershtras

lemmasidan kelib chiqadi.

2. Мisol.

bo’ladi.
X  a₁, b₁ ∪ a₂ ,b₂ ∪ ... ∪ a_n ,b_n 

• 
  to’plam kompakt to’plam
  

3. 
   Мisol. Х=(0,1) interval kompakt to’plam bo’lmaydi, chunki
   

x_n 
¹ 0,1
n  1

ketma-ketlikning limiti 0 ga teng. Ammo 0 son (0,1) to’plamga

tegishli emas.

10.