Maxsus ta’lim vazirligi

3.1.1. Misol. X to‘plam haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plamda topologiyani, ya’ni ochiq to‘plamlarni quyidagicha aniqlaymiz:

  ___R__; x_: x  R_
bo‘ladi.
(X , )
fazoda ixtiyoriy to‘plam bog‘lamli

Bu jumlani isbotlash uchun ixtiyoriy
S  X
to‘plamni olamiz. Faraz

qilaylik, F to‘plam S ning bo‘sh bo‘lmagan ochiq va yopiq to‘plamostisi

bo‘lsin. Bu holda F to‘plamni
F  U  S  C  S
ko‘rinishda ifodalash mumkin.

Bu yerda U to‘plam X da ochiq, S to‘plam esa X da yopiq to‘plamdir. Ya’ni,

U  (,b),
b  R,
C  a, ,
a  R,
F  U  S  C  S tengliklar o‘rinli.

Yuqoridagilar o‘rinli bo‘lganligi sababli ixtiyoriy lar ham o‘rinli bo‘ladi.
x  S
uchun
хb va
х  а

Agar shunday
х  b
topilsa, u holda
C  S  U  S . Shunga o‘xshab,

¹ Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б.

shunday
xa
topilsa, u holda U  S  C  S . Shunday qilib,
S  a,b va F=S. Bu

S to‘plamning bog‘lamli ekanligini anglatadi. Demak, bu topologiyada ixtiyoriy
S  X bog‘lamli ekan. Endi shu haqiqiy sonlar to‘plami R da  topologiyani
quyidagicha aniqlaymiz.

Agar ixtiyoriy
s  S
uchun shunday t >S topilsa va S,t  S
bo‘lsagina,

S  dir. Bu topologiya bilan aniqlangan fazoda yagona bog‘lamli bo‘sh
bo‘lmagan to‘plam faqat nuqtadan iboratdir. Bu jumlani isbotlash uchun X da ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan bog‘lamli T to‘plamostini olaylik va  nuqta T ga

tegishli bo‘lsin. Ma’lumki, х, х   
to‘plam ixtiyoriy ε >0 uchun X fazoda ham

ochiq, ham yopiq to‘plamdir. U holda х, х    Т
— kesishma ham ochiq, ham

yopiq to‘plam bo‘ladi. T ning bog‘lamli ekanligidan va х, х   Т  
shartdan

ko‘rinadiki, ixtiyoriy ε >0 uchun х, х   Т  
o‘rinli bo‘ladi. Bu esa T

to‘plamning faqat
Т  х
shartidagina bo‘lishini ko‘rsatadi. Demak, bu fazoda

faqat bir nuqtadan iborat bo‘lgan to‘plamlargina bog‘lamli to‘plam bo‘lar ekan.

1. 
   Teorema. X topologik fazo bog‘lamli bo‘lishi uchun uni ikki ayri bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlar birlashmasi sifatida ifodalash mumkin bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.
   

Zarurligi. X bog‘lamli bo‘lsin va
Х  А  В
bo‘lib, A va B lar bo‘sh

bo‘lmagan ayri to‘plamlar bo‘lsin. U holda, bir tomondan aniqki, C  СВ  А ;

ikkinchi tomondan,
А  B   . Ma’lumki,
А  СВ , shu sababli
А  СВ . Shunga

o‘xshab, amin bo‘lamizki, В  СА . Bundan ko‘rinadiki, yopiq to‘plamlarning
to‘ldiruvchi to‘plamlari bo‘lganligi sababli A ham, V ham ochiq to‘plamlardir. Bu X ning bog‘lamli ekanligiga ziddir.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, X bog‘lamsiz bo‘lsin. U holda Х  F₁  F₂, F₁

yopiq, F₂
yopiq,
F₁  , F₂   ва
F₁  F₂   , bundan ko‘rinadiki,
F₁ va F₂

to‘plamlar ayri to‘plamlardir, chunki bu to‘plamlar uchun F₁  F₂  F₁  F₂ ,

F₁  F₂  F₁  F₂ ,
F₁  F₂   va
F₁  F₂   tengliklar o‘rinlidir.

2. 
   Misol. _а,b_ kesma bog‘lamlidir.
   

Eslatma. Keltirilgan misollardan ma’lum bo‘lmoqdaki, fazoning yoki fazoostining bog‘lamli bo‘lishi yoki bo‘lmasligi unda qaralayotgan topologiyaga bog‘liq ekan.

2. 
   Teorema. Uzluksiz akslantirishlarda bog‘lamlilik saqlanadi. Ya’ni, uzluksiz akslantirishda bog‘lamli fazo aksi (obrazi) bog‘lamli bo‘ladi.
   

Isbot.
f : X  Y
uzluksiz akslantirish berilgan bo‘lsin. X bog‘lamli fazo

bo‘lsin. Biz bu yerda f akslantirishni syurektiv deb olishimiz mumkin, ya’ni

ixtiyoriy
у У
nuqta uchun
f ^1( y)   . Agar U to‘plam Y ning ochiq va yopiq

to‘plami bo‘lsa, u holda
f ^1 (U )
to‘plam X ning ochiq va yopiq to‘plami bo‘ladi.

Bu holda
f ^1(U )  
yoki
f ^1(U )  X , qolaversa,
U  
yoki U  U
bo‘lishi

mumkin. Bu Y fazoning bog‘lamli ekanligini ko‘rsatadi.

Endi
f (t)  (cos 2t; sin 2t)  S¹  R²
formula orqali aniqlangan
f : 0,1 S¹

akslantirishni olaylik, bu yerda S ¹ ─ aylana. Bu akslantirish syurektiv va
uzluksizdir. Bundan ko‘rinadiki, aylana S ¹ bog‘lamlidir.
Natija. Agar X va U gomeomorf topologik fazolar bo‘lsa, X fazo bog‘lamli bo‘lishi uchun U ning bog‘lamli bo‘lishi zarur va yetarlidir.

2. 
   Teorema. X fazoning bog‘lamli to‘plamostilari oilasi А_ :   J
   

berilgan bo‘lib, bu oilaning ixtiyoriy ikki elementi o‘zaro ayri bo‘lmasa,

∪
С  А_

to‘plam X fazoda bog‘lamlidir.

Isbot. Buning aksini faraz qilamiz, ya’ni
С  С₁ С₂ ,
С₁ С ₂   ,
С₁, С₂

to‘plamlar bo‘sh emas va S da yopiq to‘plamlardir.

А_ to‘plamlarning bog‘lamli ekanligidan har bir А_
to‘plam S₁
yoki S₂

ning qismi bo‘ladi. S₁
yoki S₂
larning bo‘sh to‘plam emasligidan shunday

^{A , A }^{A :  J}
topiladiki,
A_  C₁, A_  C₂ . C₁ va C₂ larning yopiq C da

1 2

yopiq ekanligidan,



1



2
A va A
1 2

to‘plamlarning C dagi yopig‘i mos ravishda C₁

va C₂ da yotadi.

Bu quyidagilarga ekvivalentdir:

^A <sup> C  C ,


A</sup>₂
 C  C₂
. Bu yerda


^A₁
^{va A}
lar
А va


1
А larning X


2

¹ 1

2
dagi yopig‘idir. Shu sababli quyidagi ikki tenglikka ega bo‘lamiz.

( А_ С)  А_   , А_ ( А_
 С)  . Lekin,

1 1 1 2


( А_ С)  А_  А_ (С  А_ )  А_  А_
1 1 1 2 1 2


А_ (А_ С)  (А_ С)  А_  А_  А_ .
1 2 1 2 1 2

Bundan


А_  А_   , А_  А_   o‘rinlidir. Bu А_ va А_
to‘plamlarning

1 2 1 2 1 2
ayri ekanligini bildiradi. Bu ziddiyat teorema o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Bog‘lamli fazolarning maxsus chiziqli bog‘lamli sinfi ham mavjud. Yuqoridagi teorema shu chiziqli bog‘lamli fazolar sinfi shartlarini qanoatlantiradi.

2. Ta’rif.

^{S :}^0,1 ^{ X ,}
S(0)  a,
S(1)  b
shartlarni qanoatlantiruvchi

uzluksiz S akslantirish X topologik fazoning a va b nuqtalarini tutashtiruvchi yo‘l deyiladi.

Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, 0,1
kesmaning S akslantirishdagi obrazi a va b

nuqtalarni tutashtiruvchi bog‘lamli to‘plam ekan.

2. 
   Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki nuqtasini yo‘l orqali tutashtirish mumkin bo‘lsa, X fazo chiziqli bog‘lamli fazo deyiladi.
   

Ta’rifdan ma’lum bo‘ladiki, ixtiyoriy chiziqli bog‘lamli fazo bog‘lamlidir. Lekin buning aksi doimo ham o‘rinli bo‘lavermaydi. Bunga quyidagi ikki misolni keltiramiz.

3. 
   Misol. Tekislikda, ya’ni R ² fazoda quyidagi to‘plamostini ko‘raylik:
   

 _A  _{ }
A_n
B_{n }

X  ^ A
¹ _{ } 1 1 _ 1 1

_(0, 0);(1, 0) _{ }( _n , 0),( _n ,1)_ (0,1);
bu yerda А(0, 0),
А₁(1, 0),
А_n ( _n , 0),
B_n ( _n ,1)

_{ } n1 _{ }

^{tekislik nuqtalardir,}  ^{A, A1}^,  ^{An, Bn} 
kesmalar, (0,1) interval.

Bu X to‘plam bog‘lamli bo‘ladi. Lekin chiziqli bog‘lamli emas, chunki

S(0,1)
emas¹.
nuqtani X ning boshqa nuqtalari bilan yo‘l orqali tutashtirish mumkin

3. 
   Misol. R ² tekislikda M to‘plam sifatida ordinatalar o‘qida uchlari
   

A(0, 1) va


B(0,1)
nuqtada bo‘lgan А, В

kesma va

у  sin ¹
x


(0  x  2 )

funksiya

grafigi Gr f dan tashkil topgan to‘plamni olaylik.

Bu M to‘plam bog‘lamli to‘plamni tashkil qiladi, lekin chiziqli bog‘lamli

bo‘lmaydi. Chunki А, В
kesma nuqtalari bilan M ning boshqa nuqtalarini

¹ Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б.

tutashtiruvchi yo‘l mavjud emas. Haqiqatan ham, M to‘plam А, В
kesma va

T f grafikdan iborat, ya’ni
М  А, В F_f . F_f
grafikni olsak, bu bog‘lamli

to‘plamdir. А, В
kesmaning har bir nuqtasi M to‘plam uchun tegish nuqta

bo‘lmoqda, ya’ni ixtiyoriy
0(х₀   )
atrofi bilan M va F_f
ning kesishmasi bo‘sh

emas. Demak, to‘plamdir.

F_f  F_f
A, B  M . Bu xulosaga ko‘ra, M to‘plam bog‘lamli

Bog‘lamli to‘plamlarning (fazolarning) to‘g‘ri ko‘paytmasi va Tixonov ko‘paytmalarining bog‘lamli bo‘lishi haqidagi jumlalarni keltiramiz.

4. 
   Teorema. Bog‘lamli fazolarning ko‘paytmasi X Y
   

fazodir.
bog‘lamli

4. 
   Teorema. Ixtiyoriy sondagi bog‘lamli fazolarning Tixonov ko‘paytmasi _ X_ bog‘lamli fazo bo‘ladi.
   

А

4. 
   Teorema. X topologik fazo kompakt kengaytmaga ega bo’lishi uchun uning Tixonov kengaytmasi bo’lishi zarur va yetarlidir.
   

4. 
   Теоrema. Аgar
   

f (x)
funksiya Х kompakt to’plamda uzluksiz bo’lsa,

funksiya Х da tekis uzluksiz bo’ladi.

4.