Maxsus ta’lim vazirligi

Теоrema. Аgar Х ni R ga yoki I ga akslantiruvchi f_i 

funksiyalar

ketma-ketligi, haqiqiy f funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holdа f – X ni R ga akslantiruvchi uzluksiz funksiya bo’ladi.

Isbot. Har qanday
x₀  X va
  0
son uchun x₀
nuqtaning shunday U

atrofi mavjudki, barcha ko’rsatamiz.
x^' U
lar uchun
f (x₀ )  f_i (x)  
tengsizlik bajarilishini

k butun sonni shunday topamizki:

f (x)  f_i (x)

 ^ , 2

x  X

va i  k

(1)

_
¹Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б .

f_k uzluksiz funksiya bo’lgani uchun x₀
nuqtaning shunday U atrofi

topiladiki
f_k (x₀
)  f_k


(x^' )  ^ ,
2
x^' U

2. 
   (2)
   

U аtrof talab qilinayotgan xossalarni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. x^U
bo’lsin. (1) va (2) dan

f (x₀

)  f (x^' ) 

f (x₀

)  f_k

(x₀ ) 


f_k (x₀

)  f_k

(x^' ) 



k
f (x^' )  f (x^' )
_  _  _ 
3 3 3

  .

2. 
   Teorema. Х to’plam, topologik fazolarning Y_s _sS oilasi, f_s _sS -
   

akslantirishlar oilasi, bunda
f_S : X  Y_S , berilgan bo’lsin. Barcha
f_S funksiyalar

uzluksiz bo’lgan Х dagi topologiyalar sinfida eng kuchsiz topologiya mavjud bo’ladi.

k
Bu 0 topologiya, ∩ ^f 1 ^{(V )}

ko’rinishidagi to’plamlardan tuzilgan baza

S_i i
i1

orqali hosil qilingan topologiya bo’ladi, bunda
s₁ , s₂ , s₃ ,..., s_k  S
va V_i  Y

S

i
fazoning ixtiyoriy ochiq qism to’plami, i  1,2,3,..., k .

Bunday 0 topologiya ^f_s ^_sS
topologiya deyiladi¹.
akslantirishlar oilasi bilan hosil qilingan

k
_∩ f ^1(V )

ko’rinishidagi to’plamlardan tuzilgan В оila (В1) - (В2)

S_i i
i1
shartlarni qanoatlantiradi.

'
Barcha f _S akslantirishlar В baza orqali hosil qilingan О topologiyaga

nisbatan uzluksiz. Agar barcha
f _S akslantirishlar Х dagi biror O
topologiyaga

nisbatan uzluksiz bo’lsa, u holda
B  O^'
bo’ladi. Bundan
O  O^'
munosabat O

ning O^' ga nisbatan kuchsizligini anglatadi.

2. 
   Теоrema. Х topologik fazo, topologiyasi ^f_s ^_sS
   

(bunda f _S

akslantirish Y ni Y_S
ga yoki
f_S : Y  Y_S ) akslantirishlar oilasi bilan hosil qilingan

¹ Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. -М.: Физматлит, 2006. -252 c.

Y fazoga akslantiruvchi f akslantirish, аgar
f _S f
kompozitsiya har bir
s  S da

uzluksiz bo’lsa va faqat shu holdagina uzluksiz bo’ladi.

Isbot. Аgar
f : X  Y
uzluksiz akslantirish bo’lsа, u holda
f _S f

akslantirish ikkita uzluksiz akslantirishning kompozitsiyasi bo’lgani uchun

uzluksiz bo’ladi.
f f : X  Y bo’lsin. Y fazoning f ^1(V )
ko’rinishidagi

S S S

to’plamlardan tuzilgan bazaoldini Р bilan belgilaymiz, bu yerdа V_S
ochiq to’plam.

• 
  Y_S
  

dagi

Теоremaga ko’ra Р dagi elementlarning asllari Х da ochiq ekanligini ko’rsatish

yetarli. Bu esa
_f 1
f ^1V    f f ^1 V
 tenglikdan kelib chiqadi. Teorema

isbotlandi.

S S S S

2. 
   Теоrema. Agar har bir
   

B  Y va
f ^1(B)
ni o’z ichiga oluvchi har bir

ochiq (yopiq)
A  X
to’plam uchun В ni o’z ichiga oluvchi ochiq (yopiq)

to’plam
C  Y
mavjud bo’lib,
f ^1(C)  A
bo’lsa, u holda
f : X  Y
uzluksiz

akslantirish yopiq (ochiq) bo’ladi.

Isbot.

f : X  Y
yopiq akslantirish,
B  Y
va А -
f ^1(B) ni o’z ichiga

oluvchi Х dagi ochiq to’plam bo’lsin.
oladi va Y da ochiq bo’ladi. Shuningdek:
C  Y \ f (X \ A)
to’plam В ni o’z ichiga

f ^1(C)  f ^1Y \ f (X \ A)  X \ f ^1
f (X \ A)  X \ (X \ A)  A

f yuqoridagi shartlarni qanoatlantirsin.
F  X
yopiq to’plamni olamiz.

A  X \ F
ochiq to’plam bo’ladi va har bir
B  Y \ f (F)
uchun

f ^1(B)  X \ f ^1 f (F)  X \ F  A.

Demak, shunday qilib
C  Y
to’plamosti mavjudki,
Y \ f (F)  C va

f ^1(C)  A , ya’ni
f ^1(C) ∩ F  
munosabatlar o’rinli. Oxirgi tenglikdan

f (C) ∩ F  , ya’ni
C  Y \ f (F)
ni yozib olamiz. Bundan
f (F)  Y \ C
kelib

chiqadi, bu esa
f (F )
ning yopiq ekanligini bildiradi.

2. 
   Теоrema. Аgar har bir
   

y Y
nuqta va
f ^1( y) ni o’z ichiga oluvchi

ochiq to’plam uchun Y to’plamda
f ^1(V )  U
shartni qanoatlantiruvchi у

nuqtaning V аtrofi topilsa va faqat shu holdagina uzluksiz yopiq bo’ladi.
f : X  Y
akslantirish

Isbot. Теоremaga ko’ra agar f yuqoridagi shartlarni qanoatlantirsa, u
holda f ni yopiq ekanligini ko’rsatish yetarli.

B  Y
biror to’plam vа
A  X ,
f ^1(B)  A
shartni qanoatlantiruvchi ochiq

to’plam bo’lsin. Har bir
y  B
uchun у nuqtaning
f ^1(V )  A
bo’ladigan
V_y  Y

y
аtrofni tanlaymiz.
C  V_y yB
ochiq to’plam uchun
B  C va
f ^1(C)  A . Demak

18. 
    
    ∪
    tеоremaga ko’ra f yopiq. Teorema isbotlandi.
    

2. 
   Теоremа. Аgar Х fazoda shunday В baza mavjud bo’lsaki, har bir
   

U  B
uchun
f (U )
Y dа ochiq bo’lsa va faqat shundagina uzluksiz
f : X  Y

akslantirish ochiq bo’ladi.

5. Мisol.

r : R  I
akslantirish

^{0, аgar x  0}


r(x)  ^x, аgar 0  x  1


^1, аgar x  1

fo’rmula bilan aniqlansin. Bu akslantirish yopiq, ammo ochiq emas.

5. Мisol.

f : L  R
akslantirish Nemitskiy tekisligidagi
(x, y)
nuqta

uchun absissasi
x  R
ni mos qo’yuvchi akslantirish bo’lsa, bu akslantirish

ochiq, ammo yopiq emas.

5. Мisol.

g : K  D
akslantirish Zorgenfrey to’g’ri chizig’ini ikki nuqtali

to’plam
^{D } ^0,1 ^ga




g(x)  ^0,
_1,
аgar x  0
аgar x  0

fo’rmula bilan akslantiradi, bu akslantirish ochiq-yopiq bo’ladi.

5. Мisol.

X  R
- haqiqiy sonlar to’g’ri chizig’i va
Y  R \ N ∪y₀

bo’lsin. Bunda N - musbat butun sonlar to’plami va nuqtaga
y₀  R . Har bir

10. 
     X
    

_{f (x)  }x, аgar x  X \ N
^ y , аgar x  N
 0
nuqtani mos qo’yamiz.

Y to’plamda
  _A  Y : f ^1( A) to ' plam Х da yopiq_
yopiq to’plamlar oilasi

bilan hosil qilingan topologiyani qaraymiz. Bunda
f : X  Y
yopiq bo’lib, y₀

ning Y dagi atrofi U \ N ∪y₀ 
ochiq va N o’z ichida saqlaydi.
ko’rinishida bo’ladi, bu yerda U to’plam Х da

U₁ \ N ∪y₀ ,U₂ \ N ∪y₀ ,... - y₀
nuqtaning ixtoyoriy atroflari ketma-

ketligi bo’lsin. Har bir
i  1,2,3,...
uchun

10. 
     i
    

tengsizlik o’rinli bo’ladigan

x_i U_i \ N
nuqtani tanlaymiz.
U  X \ x₁, x₂, x₃,...
to’plam Х da ochiq va N

to’plamni o’z ichiga oladi. Shunday qilib, V  U \ N ∪y₀ to’plam
y₀ nuqtaning

atrofi bo’ladi. Yuqoridagi ketma-ketliklardan birontasi ham V ga tegishli
bo’lmagani uchun Y fazo y₀ nuqtada sanoqli bazaga ega emas. Bulardan,

w(x)  (x)  ₀
bo’lganda ham
( y)  ₀ va
w( y)  ₀
ekanligi kelib chiqadi.

Аgar Х ni Y ga akslantiruvchi f akslantirish uzluksiz, o’zaro bir qiymatli

bo’lib, Y ni Х ga akslantiruvchi f ^1 akslantirish ham uzluksiz bo’lsa, u holda

f : X  Y akslantirish gomeomorfizm deyiladi. Аgar Х ni Y ga gomeomorf

akslantirish mavjud bo’lsa, u holda Х va Y topologik fazolar gomeomorf deyiladi.

Har bir Х fazo uchun ayniy akslantirish
id _X : X  X
gomeomorfizm

bo’ladi. Agar f gomeomorfizm bo’lsа, u holda teskari akslantirish
_f 1
ham

gomeomorfizm bo’ladi. Ikkita gomeomorfizmlar f va g ning kompozitsiyasi

fg ham gomeomorfizm bo’ladi¹.

8. 
   Теоrema. f - Х topologik fazoni Y topologik fazoga o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lsin. U holda quyidagi shartlar o’zaro tengkuchli:
   

¹ Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. -М.: Физматлит, 2006. -252 с.

1. 
   f - gomeomorfizm;
   
2. 
   f - yopiq;
   
3. 
   f - ochiq;
   

4. 
   

da yopiq.
f ( A)
to’plam, А to’plam Х da yopiq bo’lganda va faqat shu holdagina Y

5. 
   

f ^1(B)
to’plam В to’plam Y da yopiq bo’lganda va faqat shu holdagina

Х da yopiq bo’ladi.

6. 
   

f ( A)
to’plam А to’plam Х da ochiq bo’lganda va faqat shu holdagina Y

da ochiq bo’ladi.

7. 
   f B to’plam, В to’plam Y da ochiq bo’lganda va faqat shu holdagina
   

Х da ochiq bo’ladi.