Maxsus ta’lim vazirligi

Ta’rif. A va B to‘plamlarning barcha umumiy elementlardan tuzilgan C to‘plam shu to‘plamlarning kesishmasi deyiladi va

ko‘rinishida belgilanadi.

A  B

1.1.1.Misol.

^{A } ^{1, 3, 5, 7}^{,
B } ^{1, 2, 3, 4, 5, 6} ^{bo‘lsa, u holda}

^{A  B } ^{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ^{va
A  B } ^{1, 3, 5}
bo‘ladi.

1.1.7.Ta’rif. A to‘plamdan B to‘plamlarning ayirmasi deb A ga tegishli, lekin B ga tegishli bo‘lmagan barcha elementlardan tuzilgan to‘plamga
aytiladi va u A \ B ko‘rinishida belgilanadi.

2. Misol.

bo‘ladi.
^{A } ^{1, 3, 5, 7}^{,
B } ^{1, 2, 3, 4, 5, 6}
bo‘lsa, u holda
^{A \ B } ⁷

8. 
   Ta’rif. B to‘plam A ning qism to‘plami bo‘lganda A \ B to‘plam
   

B ni A gacha to‘ldiruvchi to‘plam deyiladi va u
C_AB orqali belgilanadi.

8. 
   Ta’rif. Har qanday to‘plamning xos qism to‘plami deb qaralmagan to‘plam universal to‘plam deyiladi va u U orqali belgilanadi.
   

U universal to‘plamning barcha qism to‘plamlari orasida ikkita xosmas qism to‘plam mavjud bo‘lib, ulardan biri U ning o‘zi, ikkinchisi esa bo‘sh to‘plam, qolganlari esa xos qism to‘plamlar bo‘ladi.
U universal to‘plam chekli bo‘lsa, uning barcha qism to‘plpmlari ham




¹ Р.Н. Назаров, Б.Т.Тошпўлатов, А.Д. Дўсумбетов. Алгебра ва сонлар назарияси. I қисм. Ўқитувчи. 1995.
– 271 б.

chekli bo‘ladi, U cheksiz bo‘lganda esa uning qism to‘plamlari chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin¹.
Biror U universal to‘plamning qism to‘plamlari uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:

1. 
   Istalgan ikkita A va B to‘plamlarning kesishma va ayirmasi kommutativ bo‘ladi, ya’ni
   

A  B  B  A
A  B  B  A

2. 
   Birlashma va kesishma amallari assotsiativdir:
   

_ A  B_  C  A _B  C _
 A  B_  C  A _B  C _
(1)
(2)
(3)

(4)

3. 
   va (4) tengliklarni istalgan chekli sondagi to‘plamlar uchun ham yozish mumkin.
   

3. 
   Uchta A , B va C to‘plamlar ustida kesishma va birlashma
   

amallari uchun distributivlik qonuni bajariladi:

A _B  C _  _ A  B_ _ A  C _
A _B  C _  _ A  B_ _ A  C _
(5)

(6)

Oxirgi munosabatlar istalgan chekli sondagi to‘plamlar uchun ham bajariladi, ya’ni


A ^



A ^



(7)
(8)

Bitta universal to‘plamning barcha qism to‘plamlari uchun quyidagi ayniyatlar ham o‘rinli bo‘ladi:
4. Idempotentlik qonunlari:

A  A  A A  A  A
(9)
(10)

5. Yutilish qonunlari:

A  A  B  A		(11)
A  A  B  A		(12)
6. De – Morgan qonunlari:
A  B  A  B		(13)
A  B  A  B 1.1.10.Ta’rif. Ikkiti X va	Y	(14) to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar ma’lum

bir qoida bo‘yicha X to‘plamning har bir elementiga Y to‘plamning birgina elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, X to‘plam Y ga aks ettirilgan deyiladi va bu munosabat
f : X  Y

ko‘rinishida yoziladi. Bu aks ettirishni X to‘plamda aniqlangan va qiymatlari Y

da bo‘lgan funksiya (yoki moslik) deb ham ataladi. Jumladan, Y deb haqiqiy

sonlar to‘plamini olsak, u holda
f : X  Y
aks ettirishni X to‘plamdagi

haqiqiy funksiya (ba’zan funksional) deyiladi.

2. 
   Misollar. 1. Agar R haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsa, u holda
   

funksiya R ni R ga aks ettiradi.

2. 
   Dirixle funksiyasi
   

y  f _ x_  x³

^0, аgаr
_{y    x  }1, agar



x ratsionalson bo'lsa,

x  irratsionalson bo'lsa

haqiqiy sonlar to‘plamini 0 va 1 sonlardan iborat to‘plamga aks ettiradi.

2. 
   Agar
   

X  R²
ikki o‘lchamli fazo va Y  R
bir o‘lchamli fazo bo‘lsa,

u holda R²
fazoni ^R fazoga har qanday aks ettirish bu, ikki argumentli

funksiyadir. Masalan,


f _ x,


y_  x³  y³.

2. 
   Agar X  R
   

bir o‘lchamli fazo va Y  R²
ikki o‘lchamli fazo bo‘lsa,

u holda ^R fazoni ^R2
fazoga har qanday aks ettirish bu ikkita bir argumentli

funksiyadir. Masalan, ushbu
 _ x_  _ f _ x_,
g _ x_  _x³, 2x_
juftlik.

2. 
   Agar
   

^C ^{a, b}
orqali ^{a, b}
segmentdagi barcha uzluksiz funksiyalar

to‘plamini belgilasak, u holda


b
f _ x_  _ f _ x_dx
a

moslik
^C ^a,
b ni ^R ga aks ettiradi.

^X to‘plamning ^Y to‘plamga barcha aks ettirishlarining o‘zi to‘plam

hosil qiladi. Bu to‘plam ^Y X
bilan belgilanadi.

Endi ikkita chekli A va B to‘plamlar berilgan bo‘lib, ularni son jihatdan solishtirish kerak bo‘lsin. Bu masalani quyidagi ikki usul bilan hal qilish mumkin:

1. 
   Bu to‘plamlar elementlarining sonini hisoblab chiqib, chiqqan sonlarni solishtirish;
   
2. 
   Agar shunday bir qoida mavjud bo‘lsaki, bu qoidaga muvofiq A
   

to‘plamning har bir elementiga B to‘plamdan birgina elementi mos keltirilganda B to‘plamning har bir elementiga A _{to‘plamda ham birgina} element mos kelsa, ya’ni ^A va ^B to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lsa, u holda bu to‘plamlar elementlarining soni jihatidan bir xil bo‘ladi.
1.1.11.Ta’rif. Agar ^A va ^B to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lsa, u holda bu to‘plamlar ekvivalent yoki teng quvvatli to‘plamlar deyiladi va
A
ko‘rinishida yoziladi.

^{Odatda A} to‘plamga ekvivalent bo‘lgan to‘plamlar sinfi ^A bilan

belgilanadi va ^A ni ^A to‘plamning quvvati yoki kardinal soni deb ataladi. Chekli to‘plamning quvvati (kardinal soni) sifatida odatda bu to‘plam elementlarining soni olinadi.

1.1.12.Ta’rif. ^{0, 1}
segmentdagi nuqtalar to‘plamiga ekvivalent bo‘lgan

to‘plamlarni kontinuum quvvatli to‘plamlar deyiladi.

Tabiiyki, kontinuum quvvatga ega bo‘lgan har qanday to‘plam sanoqsiz to‘plamdir.
Endi ixtiyoriy to‘plamlar sistemasi uchun Dekart ko‘paytmasining ta’rifini

beramiz.
^{H } ^Ax^,
x  X
to‘plamlar sistemasining Dekart ko‘paytmasi
 ^Ax
xX

deb, aniqlanish sohasi ^X to‘plamdan iborat shunday ^f funksiyalar to‘plamiga

aytiladiki, har bir ^{x  X}
uchun
^f  ^x^{ Ax}
munosabat bajariladi.

2. Topologik fazolar va ularning berilish usullari

Bizga bo’sh bo’lmagan X to’plam berilgan bo’lsin.
1.2.1.Ta’rif. X to’plamdagi topologiya deb X ning qism to’plamlaridan iborat va quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi O oilaga aytiladi:

(01)

 O
va X  O

2. 
   Agar U₁  O va U₂  O bo'lsa, u holda U₁ U₂  O
   

3. Agar А  О bo'lsa, u holda  А O

 ^{X , O}
juftlik topologik fazo deb ataladi.

X ning O oilaga tegishli berilgan qism to’plamlari ochiq to’plamlar deb ataladi. Topologik fazoni berish – bu biror X to’plamni olib, unda O topologiyani kiritish, ya’ni X ning ochiq to’plam deyiladigan qism to’plamlarini aniqlash demakdir. Topologik fazoning elementlari uning nuqtalari deb ataladi¹.
Ochiq to’plamlar oilasining (01)-(03) xossalarini quyidagicha ham ifodalash mumkin:

1. 
   bo’sh to’plam va butun fazo ochiq to’plamdir;
   
2. 
   ikkita ochiq to’plamning kesishmasi ochiq to’plam;
   
3. 
   ihtiyoriy ochiq to’plamlarning birlashmasi ochiq top’lam.
   

2. 
   dan ihtiyoriy cheklita ochiq to’plamlarning kesishmasi ochiq to’plam bo’lishi kelib chiqadi.
   

Agar biror
x  X va qandaydir U  X
ochiq to’plam uchun
x U
bo’lsa, U

ga x nuqtaning atrofi deyiladi. Agar har bir
x V
nuqta uchun x nuqtaning V da

yotuvchi U_x
atrofi mavjud bo’lsa va faqat shu holdagina
V  X
to’plam ochiq

bo’ladi. Bu shart bajarilsa, u holda (03) ga asosan
V  U_x x X
ochiq to’plam

∪
bo’ladi. Agar X fazoning har qanday bo’sh bo’lmagan ochiq to’plamostisini biror B oilaga tegishli to’plamlarning birlashmasi shaklida yozish mumkin

bo’lsa, u holda
B  O
oila X ,O topologik fazoning bazasi deyiladi.

¹ Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

Har bir
x  X
nuqta va bu nuqtaning har qanday V atrofi uchun
x U  V

shartni qanoatlantiruvchi
U  B
mavjud bo’lsa va faqar shu holdagina B oila

X ,O topologik fazoning bazasi deyiladi.
Topologik fazo bir nechta bazalarga ega bo’lishi mumkin. Har qanday baza quyidagi hossalarga ega:

(V1) ihtiyoriy
U₁,U₂  B va ihtiyoriy
x U₁ ∩U₂
nuqta uchun
x U  U₁ ∩U₂

shartni qanoatlantiruvchi U  B element mavjud.

(V2) har qanday
x  X
uchun
x U
bo’ladigan U  B
element mavjud.

B – X ,O
topologik fazoning bazasi bo’lganda
| B |
ko’rinishdagi kardinal

sonlar to’plami eng kichik elementga ega. Bu kichik kardinal son (X,O)

topologik fazoning salmog’i deyiladi va
W ( X , O)
ko’rinishida belgilanadi.

P  O oila elementlarining
U₁ ∩U₂ ∩ ... ∩U_k , U₁  P, i  1,2,3,...,k
chekli

kesishmalari baza hosil qilsa, u holda R oila (X,O) fazoning bazaoldi deyiladi.

Agar X ,O
topologik fazoning x nuqtasini har qanday V atrofi uchun

shunday U  B(x)
element topilib,
x U  V
bo’lsa, u holda x ning atroflari oilasi

berilgan B(x) ga, x nuqtadagi baza deyiladi.

Agar B – X ,O
topologik fazoning bazasi bo’lsa, u holda x ni o’z ichiga

oluvchi B ning elementlaridan tuzilgan
Bx
oila fazoning x nuqtadagi bazasi

deyiladi. Ikkinchi tomondan agar
Bx, X ,O
fazoning x nuqtadagi bazasi

bo’lsa, u holda
B  B(x)

∪
xX
birlashma (X,O) fazoning bazasi bo’ladi¹.

(X,O) topologik fazoning x nuqtadagi V(x) bazalari quvvatlarining eng

kichik quvvatiga x nuqtaning xarakteri deyiladi va belgilanadi, demak
x, X , O
ko’rinishida

 _x,_ X ,O_  min_ B(x) : B(x) ( X ,O) fazoning х nuqtadagi bazasi_.

x, X , O
kardinal sonlarning eng kattasiga (X,O) topologik fazoning

harakteri deyiladi va
X ,O ko’rinishida belgilanadi.

1

Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

Agar
x, X ,O  ₀
bo’lsa, u holda (X,O) fazo birinchi sanoqlilik

aksiomasini qanoatlantiradi deyiladi, bu esa har bir
mavjudligini anglatadi.
x  X
nuqtada sanoqli baza

Agar
W X ,O ₀
bo’lsa, u holda X ,O
fazo ikkinchi sanoqlilik

aksiomasini qanoatlantiradi deyiladi, ya’ni X ,O fazo sanoqli bazaga ega.

X ,O
– topologik fazo va har bir
x  X
uchun X ,O
fazoning


B(x)
bazasi

berilgan bo’lsin. B(x)_xX
oilagaX ,O
topologik fazoning atroflar sistemasi

deyiladi.
Har bir B(x)_xX
atroflar sistemasi quyidagi hossalarga ega:

(VR1). Har qanday
B(x)  
va ixtiyoriy U  B(x) uchun
x U .

(VR2). Agar
x  B( y)
bo’lsa, u holda shunday V  B(x)
topiladiki, V  U
bo’ladi.

(VR3). Ixtiyoriy
U₁,U₂  B(x)
uchun shunday
U  B(x)
topiladiki
U  U₁ ∩U₂

o’rinli bo’ladi.

X ,O
topologik fazoda
F  X
to’plamning to’ldiruvchisi
X \ F
ochiq

to’plam bo’lsa, u holda F to’plam yopiq to’plam deyiladi. De – Morgan qonunlari va ochiq to’plamning (01)-(03) xossalaridan, yopiq to’plamlar oilasi E ning quyidagi xossalarini yozishimiz mumkin:

(S1)
X  E
va  E

(S2) Agar
А₁  E va
F₂  E
bo’lsa,
F₁ ∪ F₂  E

(S3) Agar
A  E
bo’lsa u holda
∩ A  E .

Bu xossalardan, masalan (S3) ni isbotlaymiz.

^{Fs }sS
- yopiq top’lamlar oilasi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra, to’ldiruvchi

U_s  X \ F_s
to’plam har bir
s  S
uchun ochiq to’plam bo’ladi.

_∩F_s  _∩X \ U_s   X \ _∪U_s ^{munosabat va} _∪U_s
birlashmaning ochiqligidan

sS
sS
sS
sS

2. 
   ga ko’ra kesishma yopiq ekanligi kelib chiqadi.
   

Bir vaqtda ochiq va yopiq bo’lgan to’plam ochiq-yopiq to’plam deyiladi.

A  X
to’plamni o’z ichiga oluvchi yopiq to’plamlar oilasini
E_A orqali

belgilaymiz, u holda kelib chiqadi.
^{E  } . (S3) dan

A  ∩E_A
kesishmaning yopiq ekanligi

A to’plam A ni o’z ichiga oluvchi eng kichik yopiq to’plam bo’ladi, A ga A
to’plamning yopilmasi deyiladi. Ravshanki, to’plamning yopiq bo’lishi uchun uning o’z yopilmasi bilan ustma-ust tushishi zarur va yetarli.

X fazoning ikkita A, B to’plamastilari uchun, agar
A  B
bo’lsa, u holda

A  B
bo’ladi. Haqiqatdan ham A  B
munosabatdan
E_B  E_A
munosabat kelib

chiqadi, bu esa A  B .

1.