Maxsus ta’lim vazirligi

Teorema. Yopilma operatori quyidagi hossalarga ega: (S01)   

(S02)
(S03)


A  A
A ∪ B  A ∪ B

(S04) A A
Isbot: (S01) va (S02) xossalar bevosita ta’rifdan kelib chiqadi, (S04) dan esa A to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.

A  B  A  B


dan A 


A ∪ B  A ∪ B
kelib chiqadi. Demak,

(1)

(S02) dan

A  A,

B  B
bo’lib, bunga ko’ra
A ∪ B  A ∪ B .

Oxirgi birlashma ikkita yopiq to’plamlarning birlashmasi uchun yopiq bo’ladi.
Bundan to’plam yopilmasi ta’rifiga ko’ra

ga ega bo’lamiz.
A ∪ B  A ∪ B
(2)

1. 
   va (2) dan (S03) munosabat kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
   

A  X to’plamning ichki qismi deb, A ga tegishli bo’lgan barcha ochiq to’plamlarning birlashmasiga aytiladi. Ya’ni A ga tegishli bo’lgan eng katta


¹ Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

ochiq to’plamdir. A to’plamning ichki qismi IntA orqali belgilanadi. Ravshanki,
to’plam ochiq bo’lsa, u holda o’zining ichki qismi bilan ustma-ust tushadi¹.

2. 
   Teorema. Ixtiyoriy o’rinli bo’ladi.
   

A  X
to’plam uchun

IntA  X \ X \ A

tenglik

Isbot. (S02) dan
X \ X \ A  X \ X \ A  A.


X \ A  X \ A
ga ega bo’lamiz. U holda

X \ X \ A
to’plam ochiq bo’lgani uchun


X \ X \ A  IntA

(3)

munosabat o’rinli.
A ga tegishli bo’lgan ixtiyoriy ochiq to’plam uchun


X \ A  X \U  X \U
bo’ladi.

U holda

X \ A  X \ U
yoki
U  X \ X \ A^.

Xususan,

IntA  X \ X \ A

bo’lib, bundan va (3) dan

IntA  X \ X \ A

kelib

chiqadi, isbotlandi.

3. 
   Teorema. Int operatori quyidagi hossalarga ega: (I01) IntX  X
   

(I02) IntA  A

(I03)
(I04)
^Int  ^{A  B} ^{ IntA  IntB Int} ^IntA ^{ IntA .}

1. 
   Misol. X – ihtiyoriy to’plam va O – X to’plamning barcha qism
   

to’plamlari to’plami. Ravshanki X ,O
topologik fazo bo’ladi, har bir
A  X

to’plam – yopiq. X ni o’z ichiga oluvchi har qanday to’plam uning atrofi bo’ladi.

X to’plamning barcha bir nuqtali qism to’plamlari oilasi X ,O
fazoning bazasi

bo’ladi. Bu baza X ,O
fazoning barcha bazalari ichida eng quvvatlisidir.

Shuning uchun X ,O fazoning salmog’i X to’plamning quvvatiga tengdir.

Ixtiyoriy
x  X
nuqta uchun bitta x
to’plamdan iborat oila (X,O) fazoning

¹ Энгелькинг Р. Общая топология. М. Наука. : 1986. -752 c.

x nuqtadagi bazasi bo’ladi. Bu esa (X,O) fazo sanoqlilik aksiomalaridan birinchisini qanoatlantirishini ko’rsatadi¹.

Har bir
A  X
to’plam o’zining yopilmasi va ichki qismi bilan ustma- ust

tushadi. Bu topologik fazo diskret fazo, O ga esa diskret topologiya deyiladi.

2. 
   Misol. X – ixtiyoriy cheksiz to’plam, x₀ - X dagi biror nuqta, O - x₀
   

ni o’z ichiga olmagan barcha qism to’plam va chelki to’ldiruvchiga ega bo’lgan qism to’plamlar oilasi. (X,O) – topologik fazo bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. X

to’plamning
bo’ladi.
x₀ dan tashqari barcha bir nuqtali to’plamlaro ochiq-yopiq to’plam

x₀  to’plam ochiq ham emas, yopiq ham emas. Bir nuqtali _x₀ : x  x_{0 }

to’plamlardan va X \ F , bunda F chekli to’plam ko’rinishidagi to’plamlardan

tuzilgan oila (X,O) fazoning bazasini hosil qiladi. Bu baza eng kichik quvvatga ega.
Shuning uchun (X,O) fazoning salmog’i X to’plamning quvvatiga teng.

Barcha bir nuqtali x, x  x₀
to’plamlardan va
X \ x
ko’rinishidagi

to’plamlardan tuzilgan oila (X,O) fazoning oldbazasi bo’ladi. Har bir A  X uchun quyidagilarga egamiz:

_{A  } A, agar А chakli bo'lsa


_A
x_0
, аgar А cheksiz bo'lsa

_{int A  } A, agar X\А chekli bo'lsa


^_A \ _x _, agar X\А cheksiz bo'lsa
0

Bu esa X to’plamning ixtiyoriy yopiq cheksiz to’plamostisi bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega ekanligini ko’rsatadi.

3. 
   Misol. R – haqiqiy sonlar to’plami, barcha
   

x U
lar uchun shunday

  0
mavjud bo’lib x   , x     U
bo’ladigan
U  R
to’plam oilasini 0 bilan

belgilaymiz.
Ravshanki 0 oila (01)-(03) shartlarini qanoatlantiradi. Ketma-ketlik

limitining aniqlanishiga ko’ra, agar
A  R
to’plamga har qanday yaqinlashuvchi

ketma-ketlik bilan bir vaqtda uning limiti ham tegishli bo’lsa, bu to’plam yopiq bo’ladi. Chegaralari ratsional sonlar bo’lgan barcha ochiq intervallar oilasiR, O fazoning bazasini hosil qiladi. Bu baza eng kichik quvvatga ega bo’lgan baza

bo’ladi, shuning uchun R,O
fazo ikkinchi sanoqlilik aksiomasini

qanoatlantiradi, demak birinchi sanoqlilik aksiomasini ham qanoatlantiradi.
Yuqorida kiritilgan 0 topologiya R haqiqay sonlar to’plamidagi tabiiy topologiya deyiladi.

4. Misol.

I  0,1 - yopiq birlik kesma
O  I ∩U
ko’rinishidagi to’plamlar

oilasi bo’lib, bu yerda U  R to’plam R dagi tabiiy topologiyada ochiq. Demak,
^{I , O topologik fazo.} ^{r1, r2} ^{, [0, r2 ) ni (r1,1] ko’rinishidagi intervallar oilasi}

I , O
fazoning bazasini hosil qiladi, bu yerda
r₁ , r₂ ratsional sonlar va

0  r₁  r₂  1, oxirgi ikkita ko’rinishdagi intervallar bazaoldi hosil qiladi.

I , O
fazo birinchi va ikkinchi sanoqlilik aksiomalarini qanoatlantiradi.

A  I to’plamning I da yopiq bo’lishi uchun A ning R da yopiq bo’lishi zarur va
yetarlidir. Yuqorida keltirilgan O topologiya I ning tabiiy topologiyasi deyiladi.

Yuqoridagi misollardan ko’rinadiki, berilgan X to’plam uchun
( X ,O)

topologik fazo bo’ladigan O oilani turli usullar bilan tanlash mumkin ekan. O₁

va O₂
lar X dagi topologiyalar bo’lsin. Agar
O₂  O₁
munosabat o’rinli bo’lsa,

O₁ topologiya O₂
topologiyaga nisbatan kuchliroq deyiladi. X dagi eng kuchsiz

topologiya bu X va  dan tuzilgan topologiyalardir. X ceksiz top’lam, x₀ va x'

X dagi turli nuqtalar, 2 – misoldagi topologiya va
O^ x^
nuqta uchun xuddi

0
shunday aniqlangan topologiya bo’lsin. Bu holda O va O^ o’zaro taqqoslab bo’lmaydigan topologiyalar bo’ladi.

Topologik fazoning U qism to’plami uchun U  IntU

bo’lsa, u topologik ochiq to’plam deyiladi.
munosabat o’rinli

Topologik fazoning A  IntA

kanonik yopiq top’lam deyiladi.
shartni qanoatlantiruvchi A qism to’plami

Topologiya kiritish usullari

X – ixtiyoriy to’plam bo’lsin. X to’plamda topologiya kiritish deganda X to’plamning (01) – (03) shartlarini qanoatlantiruvchi qism to’plamlarining O oilaning tanlanishi tushunamiz. Topologiyalar ochiq to’plamlarni bevosita ko’rsatish bilan, baza orqali, atroflar sistemasi bilan, yopiq to’plamlar sistemasi bilan, yoki yopilma operatori, ikki qismini olish shartlari orqali kiritilishi mumkin.

4. 
   Teorema. X to’plam va (V1) – (V2) shartlarni qanoatlantiruvchi uning qism to’plamlarining B oilasi berilgan bo’lsin. O to’plam B oilaning qism oilalarining birlashmasidan iborat bo’lgan, qism to’plamlari (X ning) oilasi
   

bo’lsin. Ya’ni U O
 U  ∪B₀,
B₀  B .

O oila (01) – (03) shartlarni qanoatlantiradi.
V oila (X,O) topologik fazoning bazasi bo’ladi.
O topologiyaga V baza orqali hosil qilingan topologiya deyiladi.

Isbot. (01) shart bajariladi, chunki
 
Bo’lsin. U holda
B₀   da

U₁ 
U_s va
U₂ 
U_t , bunda U_s ,U_t  B,
s  S
va t T _.

sS tT

U₁ ∩U₂ 



∪
U_s ∩U_t sS ,tT
bo’lgani uchun (02) shart bajarilishini isbotlash uchun,

U_s ∩U_t ning V ga tegishli qism to’plamlarning birlashmasidan iborat ekanligini

ko’rsatish yetarli.
(V1) ga ko’ra har bir


x U_s ∩U_t
uchun shunday
U (x)  B
topiladiki,

x U (x)  U_s ∩U_t
^B₀ ^^{U (x) : x U}_s
bajariladi. Bundan
^U_t ^.
U_s ∩U_t  ∪B₀ , bundan

(03) shart O oilaning aniqlanishiga ko’ra bajariladi. Demak, V – (X,O)

fazoning bazasi bo’ladi.

4. 
   Misol. K – birga haqiqiy sonlar to’plami, V- [x,r) ko’rinishidagi
   

intervallar oilasi bo’lib, bu yerda (V2) shartlarni qanoatlantiradi.
x, r  K,
x  r
va r
- ratsional son V oila (V1)-

V oilaning elementlari V baza hosil qilgan topologiyaga nisbatan ochiq-

yopiq to’plamlar bo’ladi, ravshanki | B | c . W K   c
ekanligini ko’rsatamiz.

    C bo’lgan K dagi ochiq to’plamostilar oilasi bo’lsin. U holda

shunday
x₀  K
nuqta topiladiki, bu nuqta  oilaning har qanday elementining

quyi chegarasi bo’la olmaydi. Ochiq [x₀, x₀ 1) to’plamni  oilaga tegishli qism

oilalarning birlashmasi ko’rinishida yozib bo’lmaydi. Demak,  oila K to’plam uchun baza bo’la olmaydi.

Yuqoridagi K fazo Zorgenfrey to’g’ri chizig’i deyiladi.

5. 
   Teorema. X to’plam va uning (VR1) – (VR3) shartlarni
   

qanoatlantiruvchi qism to’plamlar oilasi B(x)_xX
^{berilgan bo’lsin. O oila} B(x)

∪
xX

oilaning qism oilalarining birlashmasidan iborat oila bo’lsin. U holda O oila (01)-(03) shartlarni qanoatlantiradi.

B(x)_xX
ga (X,O) topologik fazoning atroflar sistemasi deyiladi.

O topologiyaga B(x)_xX
deyiladi.
atroflar sistemasi orqali hosil qilingan topologiya

5. 
   Misol. L - tekislikning,
   

y  0
shartni, qanoatlantiruvchi qism, ya’ni

yuqoridan yopiq yarim tekislik.
y  0
to’g’ri chiziqni
L₁ bilan belgilaymiz va

L₂  L \ L₁
belgilash kiritamiz. Har bir
x  L₁va r  0
uchun
U(x, r)
orqali L

to’plamning, L₁ ga x nuqtada urinuvchi, radiusi r ga teng doira ichida yotuvchi

nuqtalar to’plamini belgilaymiz.
U (x)  U ^ x, ^1 ∪x,
i  1,2,3,... deb olamiz. Har

i
_i  
 

bir
x  L₂
va r  0
uchun U x, r orqali L to’plamning markazi x nuqtada bo’lib,

radiusi r ga teng doira ichida yotuvchi nuqtalar to’plamini belgilaymiz.

Bunda
U (x)  U ^ x, ^1 ∪x,

i  1,2,3,... .
B(x)  U (x)^

oila (VR1)-(VR3)

i
_i  
 


ⁱ i1

shartlarni qanoatlantiradi.

B(x)_xX
bo’ladi.
atroflar oilasi hosil qilgan topologiyaga nisbatan
L₁ to’plam yopiq

^L fazo Nemitskiy tekisligi deyiladi.

6. 
   Teorema. X to’plam va uning (S1) - (S3) shartlarni qanoatlantituvchi yopiq to’plamlar oilasi E berilgan bo’lsin. U holda O  X \ F : F  E oila (01) - (03) shartlarni qanoatlantiradi.
   

Bundan O topologiyaga E - yopiq to’plamlar oilasi bilan hosil qilingan topologiya deyiladi.

6. 
   Misol. X – ixtiyoriy cheksiz to’plam va E - X to’plamning barcha chekli to’plam ostilaridan va X ning o’zidan tuzilgan oila bo’lsin.
   

E oila (S1) – (S3) shartlarni qanoatlantiradi.
E - yopiq to’plamlar oilasi hosil qilgan topologiyaga nisbatan X da, chekli to’plamlarning to’ldiruvchilari va bo’sh to’plam ochiq bo’ladi.

7. 
   Teorema. X to’plam va har bir
   

A  X
to’plamga (S01) – (S04) shartni

qanoatlantiruvchi

A  X
to’plamni mos qo’yuvchi biror operator berilgan

bo’lsin. U holda O  X \ A : A  A oila (01) – (03) shartlarni qanoatlantiradi.

Har bir
A  X
uchun A uning X ,O fazodagi yopilmasi bo’lsin.

Bunday O topologiya yopilma operatori bilan hosil qilingan topologiya deyiladi.
Isbot. Teoremaning birinchi qismini isbotlash uchun   A : A  A oilaning

(S1) – (S3) shartlarni qanoatlantirishini ko’rsatish yetarli. Har bir
A  X
uchun

A  X
bo’lgani uchun va xususan

X  X
ekanligidan (S02) ga ko’ra    .

Shunday qilib  oila (S1) shartni qanoatlantiradi.  ga tegishli F₁ va F₂

larni tanlaymiz. U holda
F₁  F₁ va F₂  F₂
bo’lib, (S03) ga asosan

F₁ ∪ F₂  F₁ ∪ F₂  F₁ ∪ F₂
bo’ladi. Shuning uchun
F₁ ∪ F₂  . Demak,  oila uchun

(S2) shart bajariladi. (S03) ga ko’ra, agar
A  B
bo’lsa, u holda
A ∪ B  B va

A ∪ B  B  A  B .  ga tegishli F_s _sS
^{oilani qaraymiz. U holda} F_s  F_s

∩
sS

munosabat o’rinli ekanligidan
_∩F_s  F_s  F_s  _∩F_s  _∩F_s . Oxirgi munosabat

sS
sS
sS

va (S02) dan _∩ F_s  _∩ F_s . Demak,  uchun (S3) bajariladi¹.

sS sS

7. 
   Misol. X – bittadan ko’p nuqtaga ega bo’lgan to’plam va x₀ nuqta X
   

ga tegishli biror nuqta bo’lsin. Har bir bo’sh bo’lmagan


A  X
uchun
A  A ∪x₀ 

va    deb olamiz. Yuqoridagidek aniqlangan yopilma operatori (S01) –
(S04) shartlarni qanoatlantiradi.
Yopilma operatori bilan hosil qilingan bu topologiyaga nisbatan X da yopiq bo’lgan bir nuqtali to’plam faqatgina x₀ bo’ladi. Qolgan bir nuqtali to’plamlar bu topologiyaga nisbatan ochiq bo’ladi, ammo yopiq emas¹.

8. 
   Teorema. X to’plam va har bir
   

A  X
to’plamga (I01) – (I04)

shartlarni qanoatlantiruvchi
IntA  X
to’plamni mos qo’yuvchi biror operator

berilgan bo’lsin.
O  A : A  IntA oila (01) – (03) shartlarni qanoatlantiradi. Har

bir
A  X
uchun
IntA
to’plam A to’plamning X ,O
topologik fazodagi ichki

qismi bo’ladi.
Bunday hosil qilingan O topologiyaga Int ichki qismini olish operatori bilan hosil qilingan topologiya deyiladi.

8. 
   Misol. X – bittadan ko’p nuqtaga ega bo’lgan to’plam, X ₀  X -
   

shunday to’plamostiki, bunda
X \ X ₀

• 
  1. X ning har qanday hos qism to’plami
  

A  X
uchun
IntA  A ∩ X ₀
deb olamiz va
IntX  X . Bu usulda aniqlangan ichki

qismini olish operatori (I01) – (I04) shartlarni qanoatlantiradi. Bu
topologiyada X ₀ to’plamning barcha qism to’plamostilari va butun fazo – X

fazoning yagona qism to’plami, ochiq bo’ladi. Agar
X antidiskret fazo bo’ladi.
X ₀ bo’sh to’plam bo’lsa,

¹Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б .

2.