Maxsus ta’lim vazirligi

To‘plamlarning chegarasi, zichligi va hech qayerda zich bo‘lmagan to‘plamlar

X topologik fazoning ixtiyoriy A qism to’plami uchun A to’plamning chegarasini quyidagicha aniqlaymiz.

FrA 
^{A } ^{X
\ A} ^


A \ IntA

X to’plamning
FrA
chegaraga tegishli bo’lishi uchun x nuqtadagi

biror B(x) bazaning har bir U elementi uchunU ∩ A    U \ A
bo’lishi kerak¹.
munosabat o’rinli

1. 
   Teorema. To’plam chegarasi FrA quyidagi xossalarga ega:
   

1. 
   A  A  FrA;
   
2. 
   ^Fr  ^{A  B} ^{ FrA  FrB ;}
   
3. 
   ^Fr  ^{A I B} ^{Ì FrAU FrB ;}
   
4. 
   ^Fr  ^{X \ A} ^{ FrA;}
   
5. 
   ^{X  IntA  FrA  Int}  ^{X \ A} ^;
   

6. 
   Fr A  FrA;
   
7. 
   FrIntA  FrA ;
   

1. 
   A ochiq bo’ladi faqat va faqat shu holdaki, qachonki, bo’lsa;
   

FrA  A \ A

2. 
   A yopiq bo’ladi, qachonki FrA  A \ IntA bo’lsa;
   

3. 
   A ochiq-yopiq bo’ladi faqar va faqat shu holdaki, qachonki bo’lsa.
   

FrA  

Isbot. Keltirilgan (i) – (xi) xossalardan (i) va (iii) larni isbotlaymiz.
Qolganlari ham shularga o’xshab isbotlanadi.
A \ FrA  A \ A ∩ X \ A A \ A∪ Z \ X \ A A \ X \ A  A IntA  IntA _;
FrAA ∪ B  A ∪ B ∩ X \ A ∪ B  A ∪ B∩ X \ A∩ X \ B 
 A ∪ B∩ X \ A ∩ X \ B  A ∩ X \ A∪ B ∩ X \ B FrA ∪ FrB
_
¹Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б .

Teorema isbotlandi.
X topologik fazoning x nuqtasi A  X

to’plami uchun

x  A \ x


bo’lsa, x

nuqta A to’plamning quyuqlanish nuqtasi (limit nuqtasi) deyiladi.
A to’plamning quyuqlanish nuqtalari to’plami A to’plamning hosilaviy
to’plami deyiladi va A^d ko’rinishida belgilanadi.

Agar x nuqtadagi
B(x)
bazaning har bir U elementi A to’plamning x dan

farqli kamida bitta elementini o’z ichida saqlasa va faqat shu holdagina x nuqta

A^d ga tegishli bo’ladi.

A \ A^d
to’plamning nuqtalari A to’plamning yakkalangan nuqtalari deyiladi.

Agar bir nuqtali x
to’plam ochiq bo’lsa va faqat shu holdagina x nuqta X

fazoning yakkalangan nuqtasi bo’ladi.

Haqiqatdan x
ochiq bo’ladi.
to’plam x X \ X \ x bo’lganda, ya’ni
x  X \ x
dagina

2. 
   Teorema. Hosilaviy to’plam quyidagi xossalarga ega:
   

1. 
   A  A ∪ A^d ;
   

2. 
   agar
   

A  B bo’lsa, u holda
A^d  B^d
bo’ladi;

3. 
   A ∪ B^d
   

 A^d ∪ B^d ;

 d

4. 
   (iv)
   

_{∪ A}d
 _∪ A  ^.

s
sS
 ^s 
 sS 

Agar

A  X
tenglik o’rinli bo’lsa
A  X
to’plam X ning hamma yerida

zich deyiladi.

Agar
X \ A
to’plam X ning hamma yerida zich bo’lsa,
A  X
to’plam X da

kozich deyiladi.
Agar A kozich bo’lsa deyiladi.
A  X
to’plam X da hech qayerda zich emas

Agar
A  A^d
bo’lsa,
A  X
to’plam o’zida zich deyiladi.

3. 
   Teorema. Agar X to’plamning ihtiyoriy ochiq qism to’plami A to’plam nuqtalarini o’zida saqlasa va faqat shu holdagina A to’plam X ning hamma yerida zich bo’ladi.
   

4. 
   Teorema. Agar A to’plam X ning hamma yerida zich bo’lsa, u holda
   

ixtiyoriy U  X
ochiq to’plam uchun U  U ∩ A o’rinli bo’ladi.

Isbot. Ixtiyoriy x U
nuqta va uning har qanday W atrofi uchun
W ∩ U

kesishma ochiq va bo’sh emas. U holda oldingi Teoremaga asosan
W ∩U ∩ A  .

Bundan
x U ∩ A . Shunday qilib
U  U ∩ A
munosabat o’rinli.

Ravshanki
U ∩ A  U . Demak
U  U ∩ A .

X fazoning zichligi deb A ko’rinishidagi kardinal sonlarning eng kichigiga

aytiladi, bundan A – X ning hamma yerida zich qism to’plami. X fazoning

zichligi
d X  orqali belgilanadi. Agar
d X   ₀
bo’lsa, X fazoga separabel fazo

deyiladi.

5. 
   Teorema. Har bir X topologik fazo uchun o’rinli.
   

dX   wx

tengsizlik

Isbot.

B  U_s _sS
- X fazoning bo’sh bo’lmagan to’plamlardan tuzilgan

va S
 w(x)
bo’lgan bazasi bo’lsin. Har bir
s  S
uchun biror
a_s U_s
nuqtani

tanlaymiz.
A  a_s : s  S
to’plamning X da hamma yerda zich ekanligini

ko’rsatamiz.
Haqiqatdan ham X ning bir bo’sh bo’lmagan ochiq to’plami biror


U_s  B ni

o’zida saqlaydi. Demak u a_s  A
nuqtani ham o’z ichida saqlaydi.
A  S  m

ekanligidan
dX   w(x)
tengsizlikka ega bo’lamiz. Teorema isbotlandi.

Natija. Ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiruvchi har qanday topologik fazo separabel bo’ladi.
1.3.1.Misol. Diskret fazodagi ixtiyoriy to’plamning chegarasi va urinish nuqtalari to’plami bo’sh bo’ladi, hamda bu fazodagi hamma yerda zich to’plam faqat shu fazoning o’zi bo’ladi. Ratsional sonlar to’plami va irratsional sonlar to’plami haqiqiy sonlar to’g’ri chizig’ida va Zorgenfrey to’g’ri chizig’ida
hamma yerda zich bo’ladi. L₂ to’plam Nemitskiy tekisligida hamma yerda zich

bo’ladi,
L₁ to’plam esa L da hech qayerda zich emas.
L₁ to’plamning urinish

nuqtalari to’plami bo’sh to’plam, to’plam o’zida zich. 2-misolda x₀ nuqta X


fazoning yagona quyuqlanish nuqtasi bo’ladi, fazoning boshqa nuqtalari esa yakkalangan nuqta bo’ladi. Haqiqiy sonlar to’g’ri chizig’i R , interval I , Zorgenfray to’g’ri chizig’i K va Nemistkiy tekisligi L lar hammasi separabel

bo’ladi.Diskret fazo faqat
X  ₀
shartdagina separabel bo’ladi¹.

1
Жўраев Т.Ф.Топологияга кириш. Ўлчамлар, функторлар, чизиқлар. -Т.: 2012. -187 б.

I bob bo’yicha xulosa

Bu bobda topologiyaning asosiy obyektlari va topologik fazo ta’rifi berildi, topologik fazoning asosiy tushunchalarining mohiyati yoritildi. Topologiya asosini to’plamlar tashkil qilgani uchun birinchi paragrafi to’plamlar nazariyasiga bag’ishlandi. Bunda to’plam, uning elementlari, ikkita to’plamning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi, qism to’plam, to’plam to’ldiruvchisi tushunchalariga ta’riflar berilib misollar ko’rsatilgan, teoremalar keltirilgan. Shu bilan birga to’plamlarning quvvati, ixtiyori to’plamlar sistemasi uchun Dekart ko’paytma va funksiya tushunchalari keltirib o’tilgan.
Ikkinchi paragrafda topologik fazoning tarifi keltirilda va misollar ko’rsatildi. Topologik fazoning asosiy tushunchalari: ochiq to’plam, yopiq to’plam, topologik fazo bazasi, salmog’i, harakteriga ta’rif berilib misollar orqali tushuntirilgan, ularga oid teoremalar ko’rsatilib isbotlangan. Topologiya kiritishning ochiq to’plamlarini bevosita ko’rsatish orqali, baza orqali, atroflar sistemasi bilan, yopiq to’plamlar sistemasi bilan, yoki yopilma operatori, ikki qismini olish shartlari orqali kiritish usullari ko’rsatildi.
Qisqasi, bu bobda topologiya va topologik fazolarning asosiy tushunchalari o’rganildi.

^{X ,O va} ^{Y , O}

II bob. Kompakt fazolar

1. Uzluksiz akslantirishlar

topologik fazolar berilgan bo’lsin.

2.1.1.Ta’rif. Аgar har qanday
U O^'
uchun
f ^1(U ) O
bo’lsa, u holda Х

fazoni Y fazoga akslantiruvchi f akslantirish uzliksiz deyiladi va ko’rinishida belgilanadi.
f : X  Y

Ta’rifdan ko’rinadiki, аgar Y ning ixtiyoriy ochiq to’plamostisining asli Х
ning ochiq to’plamostisi bo’lsa f - uzliksiz akslantirish bo’ladi.