Моделларни куришга иерархик ёндашув

3. Kuch sarflanishini hisobga olish. Qaralayotgan sistemada ishqalanish kuchi hech bo‘lmaganda ikkita sababga ko‘ra paydo bo‘ladi. Birinchisi – sharik sirti va u harakatlanayotgan tekislikning idealmasligi. Bu holda ishqalanish kuchi ga teng, bu yerda – ishqalanish koeffitsiyenti, – sharik og‘irligi. U hamisha sharik harakatiga teskari yo‘nalgan, uning ishorasi har doim sharik tezligi ishorasiga qarama-qarshidir, ya’ni . Sharik harakati ushbu
, (6)
tenglamaga buysunadi va bu tenglamada kuch o‘zgarmas bo‘lsa, uning ko‘rinishi (2) tenglamaga o‘xshaydi. Ammo (6) da kuch ishorasining o‘zgarib turishidan uni tebranishning standart tenglamasiga keltirib bo‘lmaydi, bu esa (1) va (6) tenglamalar turli jarayonlarni tavsiflashini ko‘rsatadi. Xususan, sharik tebranishning amplitudasi, oxirgi holda, vaqt o‘tishi bilan kamayadi. Buni tekshirib ko‘rish qiyin emas. Buning uchun (6) tenglamani

ko‘rinishda yozib, ikkala tomonni ga ko‘paytiramiz:

ekanligidan

tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglama ushbu
(7)
tenglamaga teng kuchli. Uning chap qismida hosila belgisi ostida sistema kinetik va potensial energiyalari yig‘indisi turganligi, o‘ng qismida esa da manfiy ekanligidan

ga ega bo‘lamiz, ya’ni vaqt o‘tishi bilan sistema to‘la energiyasi kamaya boradi. Sharik maksimal amplitudaga erishgan vaqtda uning tezligi (va kinetik energiyasi) nolga teng bo‘lganligi uchun va kamayuvchi ekanligidan amplituda kamayuvchi funksiya ekan.
Endi sharik harakatlanayotgan muhit qarshiligi (havo, suv va h.k.) natijasida paydo bo‘lgan ishqalanish kuchi ta’siri natijasini qarab chiqamiz. Bu holda ishqalanish kuchi o‘zgaruvchan, bu ayniqsa harakat tezligidan bog‘liq bo‘ladi. Bu bog‘liqlik Stoks formulasi yordamida ifodalaniladi:

bu yerda koeffitsiyent sharik o‘lchami, zichligi, yopishqoqligi bilan aniqlanadi. Yopishqoq muhitda harakat tenglamasi ko‘rinishi
(8)
Birinchi hosilali haddan qutilgan holda (8) tenglama umumiy yechimini topamiz. almashtirish olsak,

Unda ko‘paytuvchini qisqartirib, belgilash olib, quyidagi tenglamaga kelamiz:
(9)
Yuqorida qaralgan (1) tenglamadan farqli ravishda (9) ning o‘ng qismidagi birinchi ko‘paytuvchi sistemaning parametrlaridan bog‘liq ravishda ishorasini o‘zgartirib turishi mumkin. bu esа bog‘liqlik tufayli standart holdan sezilarli farq qiluvchi tenglamaga olib keladi.
Nisbatan kichik yopishqoqlikda, ya’ni да yechim formula bilan beriladi va yechim uchun

ifodani olamiz, bu yerda va konstantalar va lar orqali topiladi. Sistema vaqt o‘tishi bilan chastotali tebranish so‘nishi yuz beradi.
Agar bo‘lsa kattalik o‘zgarmas yoki . Boshlang‘ich shartlarda

Bu holda yopishqoq ishqalanish kuchi ta’sirida tebranish mavjud emas. Sistema faqat bir marta nuqtadan o‘tishi mumkin, buning uchun ёки shartlarning bajarilishi zarur va yetarli, ya’ni sharikning boshlang‘ich tezligi yetarlicha katta va nuqtaga yo‘nalgan bo‘lishi kerak. Bunda aniqki, sharik tezligi faqat bir marta o‘z ishorasini o‘zgartirishi mumkin.
Va nihoyat, kuchli yopishqoqlikda ishqalanish kuchi ta’siri shu qadar kattaki, ixtiyoriy , larda sharik nuqtadan o‘tmasdan, muhitda «qolib ketadi», faqatgina unga da bir tomonlama yaqinlashadi. Haqiqatan ham, да (9) tenglamaning yechimi o‘zgarmas, binobarin, kattalik ham o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi. funksiyaning dagi holatini (9) tenglama birinchi integralining xossalaridan bilish mumkin:
(10)
Bu tenglik (9) tenglamaning ikala tomonini ga ko‘paytirish va bo‘yicha bir marta integrallash orqali hosil qilindi. ёки farazlar (10) tenglikka zid. Faqatgina yagona variant да qoladi, demak shunday qilib, , .
Demak, sistemaning yopishqoq muhitdagi harakati ideal holatdagidan katta farq qiladi va barcha hollarda harakat so‘nuvchan bo‘ladi.