Moliya” fanidan O’quv-uslubiy majmua bilim sohalari

Bu erda:
R_n - i aktivi qaytimining n-chi mumkin bo‘lgan foizi P_n - i aktivining n qaytim foiziga erishish ehtimolligi N - qaytim foizi uchun mumkin bo‘lgan natijalar soni

Mumkin bo‘lgan natija	XYZ aktividagi qaytim(%)	ABC aktividagi qaytim(%)	Sodir bo‘lish ehtimolligi (%)	XYZ aktividagi qaytim * ehtimollik	ABC aktividagi qaytim * ehtimollik
1	12	21	18	0.0216	0.0378
2	10	14	24	0.0240	0.0336
3	8	9	29	0.0232	0.0261
4	4	4	16	0.0064	0.0064
5	-4	-3	13	-0.0052	-0.0039
Jami:			100	0.0700	0.1000
Kutilgan qaytim				7%	10%

Ushbu jadvalda ikkita o‘ylab topilgan aktivlar (aktiv XYZ va aktiv ABC) uchun ehtimolli taqsimlanishni ta’minladik. XYZ aktivi uchun kutilgan qaytim 7% va ABC aktivi uchun 10% ni tashkil qildi.
Investitsiya riskini hisoblash
Lug‘atlarda riskni “yuqotishga yoki jarohatlanishga olib kelaydigan, xavf yoki qo‘rqinch” deb tarjima qilishadi.Investitsiyalar orqali investorlar riskni tavsiflash uchun bir qancha so‘zlar o‘ylab topishdi. Markowitz risk tushunchasini bir qancha aralash statistic ko‘rsatkichlar orqali ifodaladi. U investitsiya riskini investitsiyalar farqlari va investitsiyalar o‘zgarishlari yig‘indisi sifatida ta’rifladi. Investitsiya riskini o‘lchash uchun investitsiyalar orasidagi o‘zaro ta’sir va o‘zgarish tushunchasini kiritilishi, investitsiyalar jamiyati tushunchalarini butunlay o‘zgartirib yubordi.
Tafovutlar va standard og‘ishlar risk o‘lchovi sifatida
Tasodifiy o‘zgaruvchining tafovuti bu kutilayotgan qiymat atrofidagi bo‘lishi mumkin bo‘lgan natijani o‘zgarishi yoki farqi tushuniladi. Aktivning qaytimi sifatida esa, tafovut bu kutilgan qiymat atrofidagi sodir bo‘lishi mumkin bo‘lgan
qaytim foizining o‘zgarishi hisoblanadi. i aktivining kutilgan qiymatidagi qayimining o‘zgarishi tenglamasi a²(R_i):
о² (Ri) = p1(r1-E(R₁))²+p2(r2-E(R₁))²+pN(rN-E(R₁))² (5)
N ta bo‘lishi mumkin bo‘lgan natijalar summasi orqali hisoblanadi. Buni boshqacha ko‘rinishi quyidagidek bo‘ladi:
N ²
°²(R,) = £P,-E(R,))
n=1
Tafovut, kutilgan qaytim va zarar taqsimlanishi orasidagi bog‘lanish bilan qaytim taqsimlanishi orasidagi bog‘liqlik orqali ham bog‘langan hisoblanadi. Markovitz ishonadiki bu tafovut investitsiyaning riksliligi yoki noaniqligi bilan ekvivalent hisoblanadi. Agar aktiv risksiz bo‘lsa, unda kutilgan qaytim farqi nolga teng degani. Boshqacha aytganda esa, qaytim kafolatlangan hisoblanadi.
Tafovut kvadrat kattalik bo‘lgani uchun, uni standart ko‘rinishdagi tenglamaga formulaga keltirish uchun kvadrat ildimiz olishimiz kerak bo‘ladi:
a(R,) = 4a²(R_t)
Biz XYZ aktiv qaytimidagi standard og‘ishni ushbu formula orqali 20.1- jadvalda(A-qismida) hisobladik va keltirib o‘tdik.
Investorlarning investitsiya qarorini qilish uchun o‘ylaydigan va qaraydigan faqat ikkita parametrlari bu kutilgan qaytim va ular orasidagi tafovut hisoblanadi. Markowitz formulasidagi investitsiya teoriyasi shuning uchun ham 2 parametrli yoki zarar-tafovut modeli deyiladi. Qolayversa bu erda ko‘plab qaytim taqsimlanishini qo‘shimcha ko‘rsatkichlarni inobatlarga olib investitsiyani tanlash uchun modellar bo‘lgan.
20.1-jadval
XYZ va ABC aktivlari uchun qaytimning standart og‘ishi

A. Aktiv XYZ
Bo‘lishi mumkin bo‘lgan natija	Kutilgan qaytimdan kam qaytim		Kvadrat og‘ish	Ehtimollik* kvadrat og‘ish
1	0.0500		0.0025	0.0005
2	0.0300		0.0009	0.0002
3	0.0100		0.0001	0.0000
4	-0.0300		0.0009	0.0001
5	-0.1100		0.0121	0.0016
		Tafovut=		0.0024
		Standart og‘ish		4.90%
B. Aktiv ABC
Bo‘lishi mumkin bo‘lgan natija	Kutilgan qaytimdan kam qaytim		Kvadrat og‘ish	Ehtimollik* kvadrat og‘ish
1	0.1100		0.0121	0.0022
2	0.0400		0.0016	0.0004
3	-0.0100		0.0001	0.0000
4	-0.0600		0.0036	0.0006
5	-0.1300		0.0169	0.0022
		Tafovut=		0.0054
		Standart og‘ish		7.32%

Ikki-aktiv investitsiyaning investitsiya riskini hisoblash. (5) - tenglamada, biz yakka aktivning qaytimidagi tafovutni keltirib o‘tdik. Ikkita aktivdan iborat investitsiyaning tafovutini hisoblash biroz qiyinroq. Buni hisbolash nafaqat ikkita aktivning tafovutlariga bog‘liq, balki bir aktivning qaytimi ikkinchi aktivga qanchalik yaqinligiga ham bog‘liq. Bu formula
cr^{2 (}R_p ⁾ = af + w²cr² + 2w_lw_J cov(^Ri, Rj^{) (6)}
Bu erda cov(Ri,Rj) i va j aktivlar orasidagi o‘zaro tafovut. Boshqa so‘z bilan aytganda, investitsiya qaytimi tafovuti, har bir investitsiyaning tafovuti kvadratlari va 2ta investitsiyaning o‘zaro tafovutining 2ga ko‘paytirilganiga teng. Biz ushbu formulani ikkitadan ko‘p bo‘lgan aktivlar uchun ham o‘zgartirib qo‘llay olamiz.
O‘ zaro tafovut. Tafovut tushunchasiga o‘xshab, o‘zaro tafovutning ham aniq matematik tarjimasi mavjuddir.Buning praktik ma’nosi, ikkita aktivning qaytimini bir biriga ta’siridir. O‘zaro tafovut bu umumiylashgan tushuncha bo‘lib, bir necha aktivlar tafovutida ishlatiladi. Ikkita qaytim orasidagi pozitiv o‘zaro tafovut bo‘lsa, demak ikkita aktiv bir xil yunalishda o‘zgaradi degani, agar negativ bo‘lsa turli xil yunalishda o‘zgaradi degani. Hoxlagan ikkita i va j aktivlar uchun o‘zaro tafovut ushbu formula orqali hisoblanadi:
cov(Ri, Rj) = Pi [(r_n - E(Ri У)(г_л - E(R_J))]
+ p₂[(r_l2 -E(R,))(rj2 -E(Rj))] +... (7)
+ p_N [(r_iN - E(R, ))(r_]N - E(Rj))]
Bu erda:
r_in- i aktivi uchun n-chi mumkin bo‘lgan qaytim foizi r_in-j aktivi uchun n-chi mumkin bo‘lgan qaytim foizi p_n- i va j aktivlari uchun n qaytim foizi sodir bo‘lish ehtimolligi N - qaytim foizlari sodir bo‘lishi mumkin bo‘lgan natijalar soni i va j aktivlari qaytimlari o‘zaro bog‘lanishi p_Uj kabi belgilanadi va ikkita
aktivning o‘zaro tafovutini, ularning o‘zaro og‘ishi ko‘paytmasiga nisbatiga teng:
P = (8)
^CTCTj
20.2-jadval
I va J aktivlari uchun o‘zaro tafovut va o‘zaro munosabat hisobi.

Bo‘lishi mumkin natijalar	Ehti mollik %	XYZ aktivlari uchun og‘ish ^(^riXYZ ^- E(RXYZ ^)^)	XYZ aktivlari uchun og‘ish ^(^riABC ^- E(RABC ^)^)	Og‘ish va ehtimollik ko‘paytmasi
1	18	0.0500	0.1100	0.0010
2	24	0.0300	0.0400	0.0003
3	29	0.0100	0.0100	0.0000
4	16	-0.0300	-0.0600	0.0003
5	13	-0.1100	-0.1300	0.0019
			O‘zaro tafovut	0.0034
			O‘zaro bog‘lanish	0.9441

+1.0 dan boshlanaydigan o‘zaro bog‘lanish koeffietsienti juda yahshi bir tomonga o‘zgarishni ko‘rsatsa, -1.0dan boshlanaydigani juda yahshi o‘zaro teskari o‘zgarishni ko‘rsatadi. Standart og‘ishlar faqat musbat bo‘lishi tufayli, agar o‘zaro ta’sir manfiy bo‘lsa, o‘zaro munosabat ham manfiy bo‘ladi. Agar o‘zaro munosabat kattaligi 0 ga teng bo‘lsa, demak qaytimlar o‘zaro bog‘liqmas.
O‘zaro ta’sir va o‘zaro bog‘lanish ma’no jihatdan bir hil, lekin hisoblash jihatdan turli hildir. Ikkita tasodifiy o‘zgaruvchi orasidagi o‘zaro bog‘lanish bu o‘zaro tafovutning standart og‘ishlar ko‘paytmasiga nisbatiga teng. O‘zaro bog‘lanish standartizatsiyalangan sonligi tufayli(qaytimning standart og‘ishi farqlari uchun tog‘irlangan), har xil aktivlar orasidagi o‘zaro munosabatni taqqoslasa bo‘ladi.
XYZ va ABC aktivlari qaytimlari orasidagi o‘zaro bog‘liqlik 0.9441 ga teng. Buni detallarini 20.2- jadvalda keltirib o‘tdik.
Ikkitadan ko‘p aktivdan tashkil topgan investitsiya uchun riskni hisoblash. Sal oldinroq biz ikkita aktivdan tashkil topgan investitsiya riskini topdik. Bu 3ta aktiv i, j, k uchun quyidagicha hisoblanadi:
&²(Rp) = wfa² (R )+w^a² (R)+w²_ka²(R_k) + cov(RR ) + 2w_tw_k cow(R_tR_k) + 2w^^_k cov(RjR_k)
(9)
So‘z bilan aytganda, investitsiya qaytimi tafovuti, har bir investitsiyaning o‘z qaytim tafovutlari va ularning juftlikdagi o‘zaro tafovutlari qo‘shilmasi yig‘indisiga teng. Umumiylashtiraydigan bo‘lsak, quyida G ta aktivdan tashkil topgan investitsiya uchun investitsiya qaytimi tafovuti paydo bo‘ladi: