Moliya” fanidan O’quv-uslubiy majmua bilim sohalari

cr²(R_p) = [0.5² *0.3²] + [0.5² *0.4²] + [2*0.5² *0.5² *cov(R,R_D)]
Ikkita aktivning o‘zaro bog‘lanishi va standart og‘ish tenglamasini ishlatgan holda (8),
Pcd = _(n)
^GC D
SHunday qilib,
^cov(RC , ^Rd ⁾ = ^g(Rc ^)g(Rd )P^(Rc , ^Rd ⁾
Л
YUqoridagini o (R_p)ga qoygan holda, biz quyidagiga ega bo‘lamiz: cr²(R) = [0.5² *0.3²] + [0.5² *0.4²] + [2*0.5² *0.5² *0.12p(R_c,R_D)]
SHu sababli,
²(R_p ) = 0.0225 + 0.04 + 0.06p(R_c, R_D )
Tafovutni ko‘paytirish va ildizga olishdan so‘ng:
_p ) = д/0.0625 + (0.06p(R, r_d ))
Bizning ikki-aktiv investitsiyamizni aktivlari qaytimlarini turli hil o‘zaro bog‘liqlikga ega deb hisoblaylik. p(R, R) uchun 3 ta alohida holatlar: +1.0, 0, va - 1.0. Ushbu uchtasini (11)-tenglamaga qoygan holda biz quyidagiga ega bo‘lamiz:

O‘zaro bog‘lanish	E(Rp)	^o(Rp^)
+1.0	15%	35%
0	15%	25%
-1.0	15%	5%
C va D aktivlari kuti	gan qaytimidagi o‘zaro bog‘liqlik +1.0, 0 va -1.0 ga

kamaygani sari, investitsiyaning kutilgan qaytimi standart og‘ishi ham 35% dan



5% ga tushdi. SHunga qaramay, investitsiyaning kutilgan qaytimi 15% da o‘zgarmadi.
Bu Markowitzning o‘zgarishiga misol hisoblanadi.Markowitz o‘zgarishining prinsipi shundaki, birlashtirilgan aktivlarning kutilgan qaytimidagi o‘zaro bog‘liqlik kamaysa, investitsiya qaytimining tafovuti ham kamayadi.
Riskli aktivlar investitsiyasini tanlash
Markowitz tomonidan taqdim etilgan o‘zgarish riskni darajasini saqlab qolgan holda, eng katta kutilgan qaytimga etaklaydi.Bunaqa investitsiyani biz samarali investitsiya deb ataymiz.Samarali investitsiyani yaratish uchun, ushbu teoriya investorlar tomonidan aktiv tanlashga doir bir qancha asosiy farazlarni taqdim etadi. Ushbu farazlar quyidagilardir:

1. 
   Investorning fikriga ta’sir ko‘rsataydigan faqat ikkita parametrlar mavjud, bular kutilgan qaytim va tafovut.(Bu degani, investorlar ikki parametrli, Markowitz tomonidan taqdim etilgan modelni qaror qabul qilishda ishlatadi).
   
2. 
   Investorlar riskdan qochuvchi. Bu degani, qachon ular bir hil kutilgan qaytimli va ikki xil riskli investitsiyani tanlash kerak bo‘lsa, riski kamini tanlaydi.
   
3. 
   Hamma investorlar berilgan risk darajasida eng katta kutilgan qaytimni qidirishadi.
   
4. 
   Hamma investorlarda barcha riskli aktivlar kutilgan qaytimi, tafovuti va o‘zaro tafovuti borasida bir xil ishonch mavjud. Ushbu ishonch bir turdagi ishonch farazi deyiladi.
   
5. 
   Barcha investorlarda bir davrli, odatiy investitsiya gorizonti mavjud.
   

Samarali investitsiya yaratish
Katta aktivlar guruhidan samarali investitsiya yaratish tehnikasi bir qancha hisob kitoblarni talab qiladi.50 ta aktivdan tashkil topgan investitsiya uchun 1224ta o‘zaro tafovutlar hisoblanishi kerak.100ta uchun esa 4950 ta.Bundan tashqari, qaytimning har bir darajasi uchun investitsiya riskini echishga kvadrat dasturlash degan matematik tehnika ham ishlatiladi. Ushbu tehnikani uchbu bo‘limda tavsiflay olishimizga imkonimiz etmaydi. Lekin, oldingi ikki-aktiv, aktiv C va D dan tashkil topgan investitsiyamiz orqali samarali investitsiya yaratishni ko‘rsatishimiz mumkin.
Ushbu aktivlarni eslatib o‘tamiz,
E(Rc) = 12% va ct(Rc) = 30%
e(Rd) = 18% va ct(Rd) = 40%
Hozir esa p(R_C,R_D)=-0.5 deb qabul qilamiz. 5 -rasmda C va D dan turli xil qismda olingan 5ta investitsiya uchun kutilgan investitsiya qaytimi va standart og‘ishni keltirdik. 5-rasm Panel A da ko‘rganingizdek, C va D dan 50%dan olingan investitsiyada eng kichik standart og‘ish kuzatildi. Panel B da esa aktiv C va D ning turli hil aralashma qiymatida standart og‘ishni kuzatdik va eng kichik standart og‘ish aktiv C dan 60% va aktiv D dan 40% lar atrofida olganda ko‘rindi.

2. 
   rasm. Aktiv S va Dning turli xil ulushlaridan tashkil topgan sarmoyalar uchun kutilgan qaytim va standart og’ish
   

Amalga oshirish mumkin bo‘lgan va samarali investitsiyalar. Amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiya berilgan aktivlar orqali investor tuza olaydigan investitsiyadir. 20.2-rasmda berilgan investitsiyalarni hammasi amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyalardir. Ushbu investitsiyalar kollektsiyasi amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyalar kolleksiyasi deyiladi. Faqatgina ikkita aktivdan tashkil topgan investitsiyada ham amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyalar tizimi grafigi egri chiziq ko‘rinishida bo‘ladi va u turli xil kutilgan qaytim va standart og‘ish kombinatsiyalarini ko‘rsatadi ikkita aktivlar uchun. 20.2-rasmda biz aktiv C va D uchun amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyalar tizimini ko‘rsatdik.
Amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyaga solishtirganda, samarali investitsiya bu o‘sha amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyalar tizimidagi risk ko‘rsatkichida eng katta kutilgan qaytilga ega investitsiyadir. Samarali investitsiya kam-tafovutli investitsiya ham deyiladi. Har bir risk darajasida samarali investitsiya mavjud. Samarali investitsiyalar kolleksiyasi samarali tizim deyiladi.
20%


0% 10% 20% 30% 40%
18%
16%
14%
12%
£ 10%
>- 8% го
⁵⁷ 6%
I 4%
'§ 2%
0%
Standart og ish
20.3-rasm. Investitsiya samarasi
Yuqoridagi rasmda biz amalga oshirish mumkin bo‘lgan investitsiyalar ichidan samaralilarini ko‘rsatdik.C va D aktivlarining kombinatsiyalaridan tashkil topgan risk-qaytim tizimidagi samarali investitsiya 3-5 qismlarda ko‘rinadi. Ushbu investitsiyalar berilgan risk darajasida kattaroq kutilgan qaytimni beradi. E’tibor bering 1-2 lar samarali investitsiyalar tizimiga kiritlmadi. CHunki hattoki 3da ham ikkisidan ham ko‘p kutilgan qaytim va kam risk mavjud.
Biz ko‘rishimiz mumkinki 4-investitsiyada 1-dan ko‘ra kattaroq kutilgan qaytim va kamroq risk mavjud. Aniqki, egri chiziqning butun 1-3 qismi samarali emas. Barcha berilgan investitsiyalar kombinatsiyalarida 3-5 risk-qaytim tizimida kattaroq qaytim va teng risk, yoki teng qaytim kamroq risk kuzatildi, yoki ikkisi ham. Ba’zi investitsiyada risk kamroq yoki qaytim kattaroq, shuning uchun 3-5 investitsiyalar samaralidir va ular 1-2 ni birorta qiymat bo‘yicha kattalgidan foydaliroq. Masalan, 4-investitsiya 1-investitsiyadan va 3-investitsiya 1 va 2 investitsiyaning ikkisidan ham foydaliroq.

4. 
   rasmda 2tadan ko‘p bo‘lgan aktivlardan tashkil topgan amalga oshirsa bo‘laydigan va samarali investitsiyalar tizimini keltirib o‘tdik. Bunda, amalga oshirsa bo‘laydigan investitsiya tizimi egri chiziq emas, balkim yuzadir. CHunki 2ta aktivli investitsiya tizimidan farqli o‘laroq, ko‘p aktivli investitsiya tizimida risk- qaytim tizimini bir necha egri chiziqdan ko‘ra bitta belgilangan yuzada tasvirlasa bo‘ladi. SHunga qaramasdan, samarali investitsiya tizimi II va III egri chiziqlarda berilgan. Ushbu rasmdan belgilangan yuzadagi investitsiya tizimidan ko‘ra samarali investitsiya tizimini ustunligini ko‘rish juda oson.
   

Risk

4. 
   rasm. Ikki va undan ortiq aktivdan tashkil topgan amalga oshirsa bo’ladigan va samarali sarmoyalar
   

Ba’zida biz samarali investitsiya tizimini investitsiya chegarasi deb ham ataymiz, buning sababi esa maksimal kutilgan qaytimga ega bo‘lgan investitsiyalar tizimi amalga oshirsa bo‘laydigan investitsiyalar chegarasida yotadi. Barcha risk- qaytim tizimidagi samarali chegaralarni amalga oshirib bo‘lmaydi, lekin shunga qaramasdan chegaradagi investitsiyalar ustun turadi belgilangan yuzadagidan.
Samarali investitsiya tizimidan optimal investitsiya tanlash
Biz samarali investitsiya tizimini yaratdik, endigi maqsad esa uni ichidan optimal bo‘lganini tanlash hisoblanadi.
Samarali tizimdagi barcha investitsiyalar juda katta kutilgan qaytim ko‘rsatkichiga ega va investor uning ichidan bittasini tanlashi kerak. SHuni yodda tutish kerakki, uchbu investitsiyalar risk va qaytim borasida balansni taqdim etadi. Uchbu chegaradan chapga yoki o‘ngga siljisak risk kattaradi demak kutilgan qaytim ko‘rsatkichi ham.Muammo shundaki, qaysi investitsiyani investor tanlashi kerak?Samara chegarasidagi eng yahshi sarmoy bu optimal investitsiyadir. Sezganingizdek, optimal investitsiya bu investor tomonidan risk-qaytim tizimidagi balansni o‘rganib chiqgan holda samara chegarasidan tanlangan investitsiyadir.Ushbu afzallik foydalilik funksiyasi terminlar orqali ham ifodalanishi mumkin.

4. 
   rasmda biz foydalilik funksiyasini taqdim etaydigan 3ta egri chiziq va samara chegarasini bitta diagrammada joylashtirdik. Ushbu egri chiziqlar bir xil foydalilik darajasini saqlagan holda turli hil kutilgan qaytim va risk ko‘rsatkichlarini ko‘rsatadi. Qo‘shimchasiga gorizontal o‘q bo‘yicha yuqorida turgan egri chiziqlar katta foydalilikni ko‘rsatadi.
   

4. 
   rasmdan biz uchbu egri chiziqlardan investor uchun optimal investitsiyani aniqlay olamiz.SHuni yodda tutingki, berilgan samara chegarasidan investor eng katta egri chiziqni hohlaydi.SHundan kelib chiqib, optimal investitsiya sifatida samara chegarasiga urinmani oldik. 20.5-rasmda ushbu investitsiya keltirilgan.