Moswavlis biblioTeka j e m a L k I k n a z e

42

arqimedes aRmoCena

mTavari Tvisebebi. magram, cotam Tu icis, rom

man faqtiurad aRmoaCina meTodi, romelic

safuZvlad daedo maTematikis erT-erTi Tana-

medrove dargis _ integraluri aRricxvis

ganviTarebas! misi gamoyenebiT arqimedem gansaz-

Rvra paraboluri segmentis farTobi (parabo-

lis kvadratura), birTvis moculoba da sxv.

arqimedes saxelTan dakavSirebulia sxvadas-

xva legenda. magaliTad 

`legenda mefe hieronis

oqros gvirgvinis Sesaxeb

~, abazanidan amosvlis

Semdeg cnobili gamoTqma 

`heureka~ _ `evrika~

(vi pove).

Tqven ukve iciT, rom zogjer intuicia

gvRalatobs, magram xSir SemTxvevaSi igi udidesi

aRmoCenis wyaroa! swored fizikuri intuicia

udevs safuZvlad yvela drois erT-erT udides

maTematikur aRmoCenas _ arqimedes mier integ-

raluri aRricxvis aRmoCenas. igi ambobda:

`ramdenime maTematikuri amocana meqanikis

saSualebebiT gamovikvlie

~*.

arqimedes gadmocemiT demokritem gansazRvra

konusis moculoba: igi tolia im cilindris

moculobis erTi mesamedis, romlis simaRle da

fuZis farTobi igivea rac konusis. magram

araferia cnobili misi meTodis Sesaxeb. evdoksi

iyo pirveli vinc daamtkica demokrtes mosazreba.

Zveli  berZnebi garkveuli azriT 

`koordi-

natTa meTods

~ icnobdnen. isini sibrtyeze

wertilTa geometriuli adgilis SeswavlisaTvis,

moZravi wertilidan winaswar fiqsirebul aTvlis

or RerZamde manZils ganixilaven.

sur. 1-ze naCvenebia e.w. dekartes marTkuTxa

koordinatTa XOY sistema sibrtyeze. wertilTa

geometriuli adgili, romlebic akmayofileben

pirobas: 

2

2

2

R

)

(

)

(

=

−

+

−

b

y

a

x

 (piTagoras

Teorema), warmoadgens R radiusian wrewirs

O(a,b) centriT.

axla gavyveT arqimedes 

`azris jaWvs~ da

ganvixiloT rogori meTodiT gansazRvra birTvis

moculoba: sibrtyeze XOY marTkuTxa koordi-

natTa sistemaSi R radiusiani wrewiri exeba

koordinatTa O saTaves da misi O

1

 centri OX

RerZze mdebareobs. iqvea marTkuTxa samkuTxedi,

marTi kuTxiT O wertilSi, agreTve 2R da 4R

gverdebiani marTkuTxedi (sur. 2). arqimedem

warmoidgina wrewiris, samkuTxedis da marTkuT-

xedis brunva OX RerZis garSemo.  Sesabamisad

miiRo birTvi, konusi da cilindri. cxadia

konusis simaRle da fuZis wris radiusi igivea

rac cilindris da 2R udris (sur.2). Tanamedrove

aRniSvnebiT am wris gantolebas aqvs saxe:

x.

y

x

y

x

R

2

R

)

R

(

2

2

2

2

2

=

+

⇒

⇒

=

+

−

(1)

warmovidginoT nebismier A wertilze OX

RerZis marTobulad gatarebuli MN sibrtye.

igi gadakveTs ra birTvis, konuss da cilindrs

kveTaSi miiReba wreebi (sur. 2, marjvniv), romelTa

farTobebi Sesabamisad tolia:

2

2

,

x

y

π

π

 (radgan 

) da 

.

)

R

2

(

2

π

(1) gantolebis orive mxare gavamravloT

π

R

2

-ze. davinaxavT, rom gardaqmnil gantolebaSi

gaCndeba ganxiluli farTobebi:

(*)

cxadia, radgan MN sibrtyis gatareba SeiZleba

nebismier wertilze, amitom x da y cvladi

sidideebia. maSasadame birTvisa da konusis kveTis

farTobebic cvladia, xolo cilindris _

mudmivi.

arqimedem gamoavlina genialuri azrovneba

da intuiciis araCveulebrivi unari: man (*)

gantolebaSi SeniSna Tavis mier aRmoCenili

berketis wonasworobis piroba (momentebis** wesi).

man dauSva, rom Wrilebi Zalian mcire h sisqis

erTi da igive masalisagan damzadebuli diskoebia,

e.i. sxvadasxva simZime aqvT. Tu Tanamedrove

ganmartebebs gamoviyenebT, masalis simkvrives 

ρ-

Ti aRvniSnavT, xolo simZimis Zalis aCqarebas g-

Ti maSin, (*) gantoleba ase gardaiqmneba:

*  Cp. The Method of Archimedes, edited dy Thomas L. Heath (arqimedes meTodi, tomas l. xitis gamocemuli),

Cambridge, 1912, P. 13. am patara wigns uwodeben 

`Method~  (`meTodi~). arqimedes es naSromi xeibergis mier

mxolod 1906 wels iqna aRmoCenili (ix. Ãåéáåðã È., Íîâîå ñî÷èíåíèå Àðõèìåäà, Îäåññà,

 

1909).

** berketi wonasworobaSia, Tu brunvis RerZis mimarT masze modebuli Zalebis momentebis algebruli jami nulis

tolia. Zalis momenti Zalis modulisa da misi mxaris namravlis tolia.

sur. 1

~

 43

arqimedes aRmoCena

gx.

h

g

h

y

g

h

x

ρ

π

=

ρ

π

+

ρ

π

2

2

2

)

R

2

(

)

(

R

2

 (2)

sadac 

g

h

y ρ

π

2

 sibrtyiT birTvis kveTis

Sesabamisi diskos simZimis Zalaa, 

g

h

x ρ

π

2

  _

konusis, xolo 

g

hρ

π

2

)

R

2

(

 _ cilindris. amitom

R

2

2

g

h

y ρ

π

,  

  d a  

Sesabamisi Zalebis momentebia O wertilis mimarT.

maSasadame (*) gantoleba gamoxatavs im faqts,

rom ori Zalis momenti gawonasworebulia

mesamiT. amitom arqimedem OX RerZi warmoidgina

rogorc uwono berketi da kveTaSi miRebuli

diskoebi ase gaanawila: cilindris ganivi WriliT

miRebuli disko Tavis adgilze datova, e.i. O

wertilidan x manZilze (B wertilSi), xolo

birTvisa da konusis Wrilebis diskoebi berketis

O wertilidan marcxniv 2R manZilze erTi da

igive  D wertilSi warmoidgina dakidebuli

(sur. 2).

cxadia, rodesac x icvleba 0-dan  2R-mde,

miiReba cilindris yvela ganivkveTi, romlebic

cilindrs mTlianad avseben. cilindris yovel

ganivkveTs Seesabameba ori ganivkveTi, romlebic

berketis  D wertilSia dakidebuli da isini

birTvsa da konuss avseben. amitom berketis D

wertilSi dakidebuli birTvi da konusi O

wertilis mimarT imyifebian wonasworobaSi

cilindrTan, ise rogorc maTi Sesabamisi kveTebi.

birTvis moculoba V-Ti aRvniSnoT da konusis

moculobasTan dakavSirebiT demokrates aRmoCena

gamoviyenoT. gadavideT diskoebis momentebidan

Sesabamisi sxeulebis momentebze, miviRebT:

,

R

2

)

R

2

(

R

V

3

R

2

)

R

2

(

R

2

2

2

π

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

π

    (**)

saidanac birTvis moculoba

.

3

R

4

V

3

π

=

(3)

ganxilul msjelobaSi gadamwyvet nabijs (*)

gantolebidan (**) gantolebaze gadasvla

warmoadgens, e.i. 

ganivkveTebis mier mTeli

sxeulebis gavseba.

 maTematikuri simkacris

udidesi berZnuli tradiciebis warmomadgenelma

arqimedem Zalian kargad icoda, rom es mixvedra

iyo da ara damtkiceba. amis Sesaxeb igi aRniSnavda:

`faqti, romelTanac Cven mivediT, sinamdvileSi

gadmocemuli msjelobiT damtkicebuli araa.

magram am msjelobam mogvca Taviseburi miTiTeba,

rom Sedegi sworia

~. war-

modgenili idea ganxiluli

amocanis moTxovnebis saz-

Rvrebs scildeba da ganu-

zomlad didi gasaqani aqvs.

ganivWrilebidan mTlian

sxeulebze gadasvla Tanamed-

rove enaze aris usasrulo

mcire nawilebidan mTlian

sidideze _ diferencialidan

integralze gadasvla. udi-

desi moazrovne arqimede ase

afasebda Tavis meTods: 

`me

darwmunebuli var, rom es

meTodi arc Tu mcire sar-

geblobas moitans maTema-

tikaSi; saxeldobr me vxedav,

rom vinme axlandeli an

momavali mkvlevarebi, gaec-

nobian ra am meTods, misi daxmarebiT daaskvnian

sxva Teoremebs, romlebic me jer TavSi ar

momsvlia

~.

mogagonebT, rom arqimede Zv. w. III saukuneSi

cxovrobda, integraluri aRricxva ki q.S. XVII

saukuneSi Seiqmna, e.i. TiTqmis oci saukunis Semdeg.

es fati cxadyofs arqimedes geniis sidiades. igi

samarTlianad iTvleba statikisa da hidros-

tatikis fuZemdeblad. eWvgareSea, rom man mraval

gamogonebebTan erTad aago zusti meqanikis

`margaliti~ _ planetariumi, romelic Cvenamde

mouRwevel arqimedes erT-erT naSromSi iyo

aRwerili.

romaelma sardalma marcelma sirakuzis aRebis

Semdeg planetariumi, rogorc samxedro nadavli

romSi gadaitana. SemdegSi misgan markus talius

ciceroni (Zv. w. 106-43), Zveli romaeli poli-

tikuri moRvawe, oratori da mwerali  aRfrTo-

vanebuli iyo. cnobilia gadmocema romaelebis

sur. 2

44

arqimedes aRmoCena

Setevebisagan qalaq sirakuzis Tavdacvis Sesaxeb.

sirakuzelebi sami weli igeriebdnen marcelis

xelmZRvanelobiT romaelebis Tavdasxmebs. am

periodSi arqimede igonebda da agebda sxvadasxva

samxedro manqanebs, romlebic momxvdurT SiSis

zars scemdnen. magram sirakuzi mainc daeca.

legendis Tanaxmad romeliRac uxeSma romaelma

mebrZolma, marcelis brZanebis miuxedavad moxuci

arqimede mokla im momentSi, rodesac igi silaze

geometriul figurebs xatavda. Tu es epizodi

mogonilia, is mainc sakmaod damaxasiaTebelia.

arqimede Tavisi Sromebidan yvelaze mniSvne-

lovan miRwevad Tvlida Semdegs: birTvis mocu-

loba erTnaxevarjer naklebia masze Semoxazuli

cilindris moculobaze

(sur. 3), e.i.

cil

b

V

3

2

V =

     (4)

arqimedes anderZis

Tanaxmad misi saflavis

qvaze cilindrSi Caxa-

zuli birTvi iyo amok-

veTili. gardacvalebidan

TiTqmis saukune-naxevris

Semdeg swored am niSnis

mixedviT eZebda ciceroni geniosis saflavs,

romelic amJamad kvlav dakargulia.

1

 

 

  Seamowme arqimedes mtkicebis WeSmariteba, rom birTvis moculoba erTnax-

evarjer naklebia masze Semoxazuli cilindris moculobaze:   V

b

=2V

cil

/

3.

  

2

 

 

 sur. 4-ze gamosaxulia birTvi da

cilindri fuZeebTan ori toli konusuri  ZabriT.

cilindris simaRle da fuZis diametri birTvis

diametris tolia. vTqvaT es sxeulebi damzadebulia

erTnairi nivTierebisagan. romeli ufro mZime iqne-

ba?

sur. 3

sur. 4

 3.

 amocanebi

arqimedemde cnobili iyo 

`kavalieris principi~: Tu sivrceSi mocemulia

ori sxeuli da mocemuli sibrtyis paraleluri nebismieri sibrtye

am sxeulebis gadakveTisas qmnian or figuras, romelTa farTobebi

tolia: S

1

=S

2

 (am dros TiToeuli sxeulis kveTis farTobi sazoga-

dod cvladia), maSin am sxeulebis moculobebic tolia: V

1

=V

2

.

am principis gamoyenebiT daasabuTe arqimedes formulis: V

b

=2V

cil

/3

WeSmariteba.

miTiTeba:

 R radiusian wrewirze SemoxazeT kvadrati (sur. 5) gaatare diagonalebi. warmoidgine

am nakvTebis brunva vertikaluri AB RerZis garSemo. miiReb R radiusian birTvs, masze

Semoxazul cilindrs, cilindrSi 

`ormag~ wriul konuss wveroebiT birTvis centrSi.

sur. 5

sur. 6

45 

arqimedes aRmoCena

daamtkice

sur. 7

sur. 8

6

   

`meTodis~ me-9 winadadeba: sferuli segmentis simZimis cen-

tri mdebareobs mis RerZze da mas yofs ise, rom wverosTan 

mimdebare nawili ise efardeba danarCen nawils, rogorc 

segmentis simaRlisa da damatebiTi segmentis simaRlis gaoTxkecebeli jami Seefar 

deba 

segmentis simaRlisa da damatebiTi segmentis gaorkecebl jams:

 

4(2 R

) .

2(2 R

+

−

=

+

−

x

h

h

h - x

h

h)

 x  sferuli segmentis simZimis centris abscisa,   _ sferuli  

 segmentis 

simaRle, 

R _ segmentis radiusi.

7

   

samyaroSi Cvengan yvelaze ufro daSorebul obieqtebamde, kvazarebamde, manZili 5-13 

miliardi sinaTlis weliwadia. sayrdeni wertili rom hqonoda, SeZlebda arqimede 

dedamiwis `awevas~ berketiT? dedamiwis masaa 6.10

24

kg, radiusi _ 6400 km, s. 

w. aris 

manZili, romelsac sinaTle gaivlis erT weliwadSi. sinaTlis siCqarea 300 000 km/wm, 

g≈10 m/wm

2

.

ujredovani gumbaTi da fulerenebi

cnobilma amerikelma arqi 

teq-

torma da inJinerma riCard bakmin ster 

fulerma daamuSava msubuqi da magari 

`geode ziuri TaRebi~, kun struqciebi 

foladis swori Rero 

ebi 

sagan. am 

meTodiT man moskovSi, sokol 

nikebSi 

1959 wels aago saga mofeno pavilioni.

igi aris `}jqon-67~ pavi-

lionis ujredovani gumbaTis av tori. 

mas burTis forma aqvs.

80-iani wlebis Sua periodSi 

mecnierebma aRmoaCines naxSir 

badis 

giganturi molekulebi.

gumbaTis avtorma gamoiyena igive 

princi pebi, romlis safuZ 

velzec 

`aigeba~ es giganturi mo 

le 

kulebi. 

yvelaze cnobil molekulas C

60

 

aRmoCenis avto 

rebma Searqves bakmin-

sterfu 

le 

reni (futbolino), xolo 

nax 

Sirbadis giganturi mole 

kulebis 

mTel klass _ fule 

renebi.

dReisaTvis bevri mecnieri am 

molekulebis intensiur kvlevas ewe va 

da yovelwliurad aTasobiT sta 

tia 

ibeWdeba maT Sesaxeb. 

4

   

  `meTodis~ me-7 winadadeba: birTvuli segmentis moculoba ise Seef-

ardeba imave fuZis farTobisa da simaRlis mqone konusis moculobas, 

rogorc birTvis radusisa da damatebiTi segmentis simaRlis jami 

Seefardeba damatebiTi segmentis simaRles:

5

   

 `meTodis~ me-6 winadadeba: 

naxevarbirTvis simZimis centri (O) 

mdebareobs mis RerZze da am RerZs yofs ise, rom naxevarbirTvis 

wverosTan mimdebare nawili (a) danarCen nawils (b) Seefardeba 

ise, rogorc 5:3 (sur. 8).

bs

k

V

R (2 R

) .

V

2 R

+

−

=

−

h

h

46

magiuri kvadratebi

magiuri kvadratebi

magiuri kvadratebi

magiuri kvadratebi

magiuri kvadratebi

ujredebiani rveulis furcelze daxaze

kvadrati  (3×

××××3 = 9). gamoyofili kvadratis

ujredebSi TanmimdevrobiT Cawere ricxvebi 1-

dan 9-is CaTvliT (sur. 1). kuTxeebSi ganlagebul

ricxvebs adgilebi Seucvale ise, rogorc sur. 2-

zea naCvenebi. axla am kvadrats forma ise

Seucvale, rom ricxvebi 2, 5, 8 da 4, 5, 6 diagona-

lebze ganlagdes (sur. 3) miRebuli kvadrati

moabrune saaTis isris moZraobis (an sawinaaR-

mdego) mimarTulebiT 45

0

-iani kuTxiT da Sen

miiReb e.w. mesame rigis magiur kvadrats (sur. 4).

amboben, rom is pirvelad gamoCnda CineTSi daax-

loebiT 2800 wlis win Cvens welTaRricxvamde

saxelwodebiT 

`lox-Su~. is dRemde gamoiyeneba

rogorc Tilisma da gamoxatulia amuletze ise,

rogorc sur. 5-zea naCvenebi.

sityva 

`rigi~ am SemTxvevaSi aRniSnavs kvad-

ratis erT gverdze ujredebis raodenobas. bu-

nebrivad dagebadeba kiTxva: riT aris saintereso

magiuri kvadrati? aba, daakvirdi mTavar diago-

nalebze, TiToeul horizontalur da vertika-

lur mwkrivebze ganlagebul ricxvebs, maTi jami

erTi da igivea da udris 15. mas mesame rigis

magiuri kvadratis mudmiva ewodeba (mudmiva aqvs

yvela magiur kvadrats). meore rigis magiuri

kvadrati ar arsebobs, xolo mesame rigis _

erTaderTia (Tu ar CavTvliT im 7 magiur

kvadrats, romlebic miiRebian ganxilulisagan

mobrunebiT da arekvliT).

axla scade meoTxe rigis (4×

××××4 = 16  _

gverdSi oTxi ujra) magiuri kvadratis Sedgena.

Tu zemoT ganxilul wess gamoiyeneb, ufro

advilad miiReb erT-erTi saxis meoTxe rigis

magiur kvadrats (damtkicebulia, rom maTi

ricxvia  880!). magram, Tu mainc gagiWirdeba,

daakvirdi didi germaneli mxatvris albrext

diureris mier 1514 wels Seqmnili graviuris*

ilustracias (sur. 6).

mis marjvena zeda kuTxeSi warmodgenilia erT-

erTi meoTxe rigis simetriuli magiuri kvadrati.

mas diureris magiur kvadrats uwodeben

(aRsaniSnavia, rom diureri maTematikiTac iyo

gatacebuli). Tu Sen mas kargad da guldasmiT

gaecnobi aRmoaCen, rom ara marto nebismier hori-

sur. 1

sur. 4

sur. 5

sur. 6. albrext diureri.

 

`melanqolia~.

graviura spilenZze. 1514.

sur. 2

sur. 3

* graviura (frang.  gravure) _ 1. raime magari masalis (liTonis, xis, qvis, minis da sxv.) gluv zedapirze amokveTili

an amoWrili naxati. 2. aseTi naxatis anabeWdi qaRaldze.

 47

magiuri kvadratebi

zontalur, ver-

tikalur da mTavar

diagonalur mwkri-

vebSi ganlagebuli

c i f r e b i s   j a m i

udris  34-s (mud-

miva), aramed kvad-

ratis SigniT kidev

ramdenime patara

kvadratSi da ara

marto maTSi!

sainteresoa, rom zemoT ganxiluli wesiT

miRebul meoTxe rigis simetriul magiur kvad-

rats diurerma meore da mesame vertikalur

mwkrivebs adgilebi Seucvala (sur. 7) magram amiT

simetriuli magiuri kvadrati ar Secvlila

(mudmiva _ 34 igive darCa). daakvirdi qveda

horizontaluri mwkrivis or SuaTana ricxvs

da Sen advilad mixvdebi am Secvlis mizans.

sur. 8-ze naCvenebia XVIII saukuneSi didi

maTematikosis leonard eileris mier Sedgenili

me-8 rigis naxevrad

magiuri kvadrati,

yoveli horizon-

taluri an verti-

kaluri mwkrivis

ricxvebi jamSi

260-s iZleva (dia-

gonalebis gaswvriv

ara, amitomaa naxev-

rad magiuri), xo-

lo mwkrivis na-

xevari _ 130-s.

warmoidgine,

rom es kvadrati saWadrako dafaa da mxedari

iwyebs moZraobas ujredidan, romelSic weria

ricxvi 1. igi agrZelebs moZraobas. ra xdeba am

dros? Tu am kiTxvas upasuxe da miageni raime

kanonzomierebas, gamoiyene igi da aage me-8 rigis

sxva naxevrad magiuri kvadrati. ramdenia aseTi?

aravin icis (Zalian bevria). dReisaTvis isic ki ar

aris cnobili ramdeni me-5 rigis magiuri kvadrati

arsebobs, Tumca zogierTi SefasebiT is 13

milions aWarbebs!

magiuri kvadratebi arseboben yvela rigis,

4-ze meti, im luwi rigebis garda, romlebic ar

iyofian 4-ze. magaliTad, meeqvse rigis magiuri

kvadrati ar arsebobs. aseve ar arseboben me-10,

me-14 da a.S. rigis magiuri kvadratebi (isini

SeiZleba naxevrad magiuri iyos).

magiuri kvadratis rigi aRvniSnoT n-iT (maSin

kvadratis ujredebis ricxvi toli iqneba:

n

×××××

n = n

2

. am ujredebSi ricxvebi unda Caiweros

1-dan  n

2

-is CaTvliT TanmimdevrobiT), xolo

mudmiva _ C-Ti. zemoT ganxiluli magaliTebidan

Cans, rom roca n = 3, maSin C = 15. xolo, roca

n = 4, maSin C = 34. agreTve cnobilia roca n = 5,

maSin C = 65.

mexuTe rigis magiuri kvadratis ageba

imoqmede Semdegi ganawesiT

(algoriTmiT):

1. gamoyavi kvadrati

5

×××××5 = 25;

2. nebismier ujraSi Cawere

ricxvi 1;

3. am ujridan gaakeTe

saWadrako mxedris verti-

kaluri svla (erTi ujra

marjvniv da ori ujra zeviT)

da dasvi ricxvi 2;

4. gaimeore mesame punqtis

miTiTeba da dasvi ricxvi 3.

da ase Semdeg dasvi ricxvebi

zrdis rigis mixedviT, sanam

ar Seavseb mTel kvadrats,

5. Tu mxedris svlas

gamoyavxar kvadratis zeda

napiris gareT, dabrundi

qveviT da Seavse mxedris daw-

yebuli svla. dasvi momdevno

ricxvi (4);

6. Tu ki svlas gamoyavxar

marjvena napiris gareT,

dabrundi marcxniv da kvlav

Seavse mxedris svla. dasvi

momdevno ricxvi (5);

7. Tuki ujra dakavebulia,

daubrundi wina daweril

ricxvs da pirdapir mis qveviT

dawere momdevno ricxvi (6);

es moqmedebebi unda Seas-

rulo kvadratis srul

Sevsebamde. sur. 9-ze naCvenebia

am algoriTmis Sesabamisi

svlebi.

sur. 7

sur. 8

sur. 9

1

2

3

4

5

6

7

48

magiuri kvadratebi

1

 

L 

  rogorc aRvniSneT, meoTxe rigis (n = 4) magiuri kvadratebis ricxvia 880,

xolo mexuTe rigis (n = 5) _ camet milionze meti. sainteresoa Sen ramdenis

povnas SeZleb?

2

 

L 

  daadgine, rogori Tanafardoba iqneba n-sa da C-s Soris (e.i. maT Soris kavSiri warmoad-

gine formuliT). Tu Sen amas SeZleb, maSin advilad mixvdebi, ratom aris me-8 rigis

naxevrad magiuri kvadratis mudmiva 260. ufro metic, Sen SeZleb nebismieri magiuri

kvadratis mudmivas gansazRvras Sedgenis garaSe.