Mövzu 1: Ekonometrika fənninin predmeti, obyekti və həll edəcəyi məsələlər
Yüklə 0,55 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
predmetrini təşkil edir. Parametrik proqramlaşdırma məsələsi istehsalın
proqramlaşdırması məsələsinin öyrənilməsi ilə əlaqədar meydana gəlmişdir. Bu müxtəlif iqtisadi proseslərin riyazi modelinin qurulması ilə onu optimal planlaşdırmağa imkan verir.
Indi isə məqsəd funksiyası parametrik olan məsələyə baxaq. Tutaq ki, = Məqsəd funksiyasının əmsalları hər hansı − ` ; + ` aralığında dəyişir. Onda uyğunluq üçün məqsəd funksiyasının əmsalını ( ) =
` + " ilə əvəz edib tədqiq etmək məqsədə uyğundur. Harda ki, ` ,
hər hansı aralıqda dəyişən sabitlər, − isə
parametrdir. Bu halda riyai məsələ aşağıdakı şəkilə düşər. = ( ` +
" ) məqsəd funksiyası verilmişdir. Məhdudiyyət şərtləri = = 1, (2) ≥ 0 = 1, (3) Hər bir
− nın qiyməti üçün ≤ ≤ intervalında (harda ki, ə ixtiyari həqiqi ədədlərdir) elə mənfi olmayan = ( , , … , ) vektorunu tapmalı ki, (2) sistemini ödəsin və (1) funksiyasına minimum qiymət versin. Qoyulmuş məsələni parametrininin dəyişməsindən asılı olaraq araşdıraq. Nəticədə iki haldan birinə gələrik: – = üçün optimal plan mövcuddur ( halı); downloaded from KitabYurdu.org – = üçün məqsəd funksiyası məhdud deyil ( halı); Bu halların hər birinə nəzər yetirək: A – halı: Tutaq ki, = üçün optimal plan alınmışdır. Hansı ki, hər hansı bazisə uyğun gəlir. , , … , sistemindən ibarət olan m vektordan təşkil olunmuşdur. Planın optimallıq şərtinə görə onun qiymətləndirilməsi − ≤ 0 şərtini ödəməlidir. Belə ki, = `
" . Onda optimallıq şərti belə şəkil alır. − =∝ +
≤ 0 = 1, (4) Harda ki, ə − hər hansı həqiqi ədədlərdir. Burada daxil edilir ki, + ≤ 0, = 1, bərabərsizliklər sisemi birgədir və aşağıdakı həlli var: ≥ − ∝ ⁄ ü ü < 0 − üçü
≤ − ∝ ⁄ ü ü > 0 − üçü
Tutaq ki, = max(− ∝ ⁄ ) −∞ ə ə ≥ 0 ̅ =
min(− ∝ ⁄ ) +∞ ə ə ≤ 0 Onda = üçün məsələnin optimal həlli bu məsələnin optimal planı ilə üst – üstə düşür, bütün üçün,
≤ ≤ şərtini ödəyən. Bu halda [ ; ] intervalının sol ucu örtülmüşdür, yəni ≤ , onda məsələnin həlli üçün sağ ucu da örtmək zəruridir və yaxud ≥ məsələnin həlli olmadığını göstərmək lazımdır. Beləliklə, əgər sonludursa və ≥ , və yaxud = +∞, onda həll prosesi sona çatır. Bu prosesi davam etdirsək aşağıdakı teoremi isbat etmiş olarıq. Teorem: parametrinin heç olmazsa bir qiyməti üçün yeni bazis optimal plana uyğundur. B – halı: 1. Tutaq ki, aparılmış iberasiya nəticəsində hər bir vektoru üçün + > 0 qiymətləndirilməsi alınmışdır, ≤ 0. Onda əgər ≥ 0 olarsa ixtiyari üçün xətti funksiya aşağıdan məhdud deyil. 2. Əgər
< 0 olarsa. Onda + > 0 bərabərsizliyi bütün < ` = − . Buradan ixtiyari ≤ < `
Bu qayda ilə sərbəst hədlərdə parametr olan və məhdudiyyət sistemində parametr olan parametrik məsələlərə də baxılır. Məqsəd funksiyası = Məhdudiyyət şərtləri downloaded from KitabYurdu.org = ` + = 1,
≥ 0 = 1, Hər bir
≤ ≤ üçün harda ki, ə ixtiyari həqiqi ədədlərdir. Elə bir mənfi olmayan
= ( , , … , ) vektoru tapmalı ki, məhdudiyyət sistemini ödəsin və məqsəd funksiyasına minimum qiymət versin. downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 19: Kəsr – xəti proqramlaşdırma məsələsi Əgər qeyri xətti proqramlaşdırma məsələsində məhdudiyyət xətti ancaq məqsəd funksiyası kəsr – xətti olarsa, onda belə məsələni kəsr – xətt proqramlaşdırma məsələsi adlanır. Kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələsinin ümumi şəkli: ( ) = +
+ + … +
= ∑ ∑ (1) Funksiyasını Şərtləri daxilində maksimallaşdırmalı (minimallaşdırmalı) Simpleks metodu Bir sıra iqtisadi məsələlərdə məzmunu tələb edir ki; Məqsəd funksiyası ......................... şərtini ödəsin. Bu şərt daxilində kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələsinin simpleks metodla həll etmək olar. Yeni dəyişənlər daxil edək. ......................... ......................... Onda
(1) − (3) məsələsi aşağıdakı şəkil alar. .................................. .................................. .................................. ................................. Şərtləri daxilində downloaded from KitabYurdu.org
Nəticədə xətti proqramlaşdırma məsələsi alınır. Onu Simpleks metodla həll etdikdən sonra ( (4) −ü nəzərə almaqla) (1) − (2) məsələsinin optimal həllini taparıq. Dediklərimizi misal üzəridə aydınlaşdıraq. Misal 1: ............................... ............................... ............................... Həlli: Şərtə görə bütün dəyişənlər mənfi deyil. Onda (3) şərti 2 + 3 + 1 > 0 və, uyğun olaraq, əlavə məhdudiyyətlər ............................... .......................... Məsələ aşağıdakı şəkili alar: ............................... ............................... ............................... ............................... İkinci, üçüncü və dördüncü məhdudiyyətləri > 0 − a vurub yeni dəyişənlər daxil edək: = ;
= Nəticədə xətti proqramlaşdırma məsələsi alarıq: ........................... ........................... ........................... Bu məsələni Simpleks üsulla həll etsək, alarıq: ........................... Əvəzləməni nəzərə alsaq: = = 20 ; = = 12 downloaded from KitabYurdu.org Beləliklə, .............................. Kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələlərində məqsəd funksiyası ii xətti funksiya nisbəti şəklində verilməklə, məchulların mümkün dəyişmə oblastını müəyyən edən şərtlər həmçinin xətli olurlar. downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 20: Dinamik proqramlaşdırma məsələsi Dinamik proqramlaşdırma optimal həllin tapılması bir neçə etapın yolu ilə tapılmasına əsaslanır. Bu mövqe müxtəlif prinsiplərlə həyata keçirilir. Bir sıra məsələlərdə zaman periodu ilə, digərlərində isə idarəetmə obyektinə görə. Çox vaxt bölgü süni olaraq yerinə yetirilir. Dinamik proqramlaşdırmanın fundamental prinsipi onun mövqeyinin və məsələnin etaplara bölünməsi optimaldır. Belə yanaşma böyük həcmli məsələləri kiçik məsələlərə bölməkdən ibarətdir. Bu isə hesablamanın həcmini kifayət qədər ixtisar edir və idarə edici həllin tapılmasını sürətləndirir. Dinamik proqramlaşdırmada hesablama rekurrent aparılır, belə ki, hər hansı alt məsələnin optimal həlli növbəti məsələnin ilkin verilənləri kimi qəbul edilir. Misala baxaq. 1 – ci məntəqədən 10 – cu məntəqəyə verilmiş hərəkət marşrutuna görə optimal marşrutu tapmalı. .......................................... .......................................... .......................................... .......................................... Şək.1 Sxemdə göstərilmiş hər bir kvadrat məntəqələri göstərir. Özləridə nömrələnib. Bir məntəqədən digər məntəqəyə gediş haqqı, məsələn i məntəqəsindən İ məntəqəsinə gediş haqqı
ilə işarə edək (Bu qiymətlər sxemdə göstərilmişdir). Tələb olunur ki, 1 – ci məntəqədən 10 – cu məntəqəyə elə marşrutla getmək lazımdır ki, xərc mimimum olsun. Həlli: Belmanın rekurrent münasibətlər düsturuna görə .............................. Harda ki, N – həlldəki etapların sayıdır. ( ) − i məntəqəsindən olan yol üçn minimal xərcin strategiyasına cavab verən dəyərdir. Harda ki, əgər sonuncu məntəqəyə n addım qalıb. ( ) − ( ) tapmaq üçün həlldi. Sonuncu məntəqədən optimal marşrutun tapılması ilə başlayaq. ..................................... ...................................... ....................... ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ............................. Beləliklə, optimal yol təyin olundu. downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 21: Qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsinin ümumi qoyuluşu Əgər ( , , … , ) = , = 1, (1) Və = ( , , … , ) = (2) , harda ki, ə − məlum sabitlərdir. Onda həllin mənfi olmaması şərti ilə xətti proqramlaşdırma məsələsi alırıq. Riyazi proqramlaşdırmanın (1) − (2) şərtlərini ödəməyən istənilən məsələsinə qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsi deyilir. Qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsi sinfi xətti proqramlaşdırma məsələsi sinfindən genişdir. Qeyri – xətti proqramlaşdırmada əsas nəticələr elə məsələlərə baxarkən alınır ki, hansı ki, mədudiyyət sistemi xəttidir, ancaq məqsə funksiyası qeyri – xəttidir. Hətta belə məsələəlrin optimal həlli yalnız bir sinif məqsəd funksiyalar üçün tapıla bilər. Xüsusi bir sinif məqsəd funksiyalar üçün tapıla bilər. Xüsusi hallara baxaq. Əgər məqsəd funksiyası separabellidirsə ( − funksiyasının cəmidir) və ya kvadratikdir. Xətti proqramlaşdırma məsələsində ekstremum nöqtələri həllər çoxbucaqlısının təpə nöqtələrində olurdusa, biz elə misallara baxacayıq ki, qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsində qeyri – xətti məqsəd funksiyası oblastın daxilində ola bilər4 üzün tilində və ya çoxbucaqlının təpəsində ola bilər. Beləliklə, xətti proqramlaşdırma metodunun köməyi ilə, bir təpədən digərinə keçidihəyata keçirən, optimal həlli almaq olar, o şərt daxilində ki, məqsəd funksiyası əlavə məhdudiyyətləri ödəyir. Daha çox çətinlik qeyri – xətti məhdudiyyət olduqda meydana çıxır. Qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsinə baxılması klassik optimallaşdırma məsələsi ilə başlayır. Bu zaman (1) − də tənliklər olur, mənfi olmamaq şərti iştirak etmir və dəyişənlərin tam ədədli olması ( , , … , ) ə ( , , … , ) funksiyaları ikinci tərtibdən az olmayan xüsusi törəməyə malikdirlər və kəsilməzdirlər. İki dəyişənli qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsinin həllinə nəzər yetirək. Necə ki, xətti proqramlaşdırmada onlar ola bilsin ki, qrafik üsulla həll edilsin. Misal 1:
= ( − 4) + ( − 6) separabelli funksiyasının + ≥ 1 2 + 3 ≥ 12 ≥ 0,
≥ 0 Məhdudiyyət şərtləri daxilində maksimal və minimal qiymətini tapın. downloaded from KitabYurdu.org
Həlli: n Təyin oblastı çoxbucaqlısıdır (şək.1). yəni mümkün olan həllər oblastı − dir.
...........(şək. 1)............... Əgər
= ( > 0) götürsək, Onda ( − 4) + ( − 6) = çevrə tənliyini alarıq.
Q (radiusun kvadratını) – nü azaltmaqla (artırmaqla) Z – in qiyməti uyğun olaraq azalır (artır). M – nöqtəsindən, çevrənin mərkəzi kimi müxtəlif radiuslu çevrələr çəksək alarıq: funksiyanın minimal qiyməti ( ) = 196/13 . (24/3 ; 36/15) nöqtəsində alır, hansı ki, çevrə həllər oblastına kəsir. D nöqtəsi künc deyil, onun koordinatları MD və CE düz xətlərinin tənlikləri sistemindən tapılır. Z funksiyasının iki lokal maksimumu var: ( ; 0) təpəsində ( ) = 45, (6; 0) − təpəsində ( ) = 40. Belə ki, ( ) > ( ) onda − təpəsi qlobal maksimum olar. Misal 2. Tutaq ki, fərz edilən həllər çoxluğu əvvəlki misaldakı kimidir. = ( − 4) + ( − 1) Bu funksiyanın minimum və maksimum qiymətini tapın. Həlli: Funksiya minimal qiymətini (4; 1) nöqtəsində alır. (şək.2) ( ) = 0
Z funksiyasının iki lokal maksimumu var: Təpələrdə isə (6; 0) − ( ) = 5 (0; 4) − ə ( ) = 25 Buna görə qlobal maksimumu C təpəsində alır. Misal 3.
= + funksiyasının + ≤ 4
+ ≥ 5
≤ 7 ≤ 6
≥ 0, ≥ 0 məhdudiyyət şərtlərini ödəyən maksimum və minimum qiymətlərini tapın. Həlli: Bu halda mümkün olan həllər çoxluğu iki ayrı – ayrı hissədən ibarətdir. Z funksiyası Z=17 (1; 4) ə (4; 1) – də alır. Z funksiyası iki lokal maksimuma malikdir. ( ; 6) nöqtəsində ( ) = – i (7; ) – də ( ) = 2417 49 M nöqtəsi qlobal maksimum nöqtəsidir. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli üçün Laqranj vuruqları üsuluna baxaq. Qeyri - xətti proqramlaşdırma nəzəriyyəsinin praktiki tətbiqi zamanı çox vaxt elə hallara downloaded from KitabYurdu.org təsadüf edilir ki, məsələnin riyazi qoyuluşunda məhdudiyyət şərtləri bərabərliklərdən ibarət olur, məhculların işarələri üzərinə isə heç bir məhdudiyyət qoyulmur. Bununla bərabər öz törəmələri ilə birlikdə keçilməz funksiyalar olurlar, yəni alırıq: Məqsəd fuksiyası Məhdudiyyət şərtləri – yə şərti ekstremum məsələsi yaxud klassik optimallaşdırma məsələsi deyilir.
Bu məsələnin Laqranj vuruqları üsulu ilə həlli aşağıdakı etaplardan ibarətdir. I. – Laqranj funksiyasının tərtib edilməsi. Bu məqsədlə Laqranj vuruqları adlanan dəyişənləri daxil edilməklə Laqranj fuksiyası tərtib edilir. II.
– nın dəyişənlərinə nəzərən xüsusi törəmələrinin tapılması III. Tənliklər sisteminin həlli IV. Optimal həllin təyini Ekstremumun kafilik əlamətinin vasitəsi ilə şübhəli nöqtələr içərisində elə nöqtə tapılır ki, burada Z(x) məqsəd funksiyası maksimum (minimum) qiymət alır. Bu isə (1), (2) məsələsinin optimal həlli olur. V. Z(x) – in ekstremum qiymətinin hesablanması Optimal həlli (1) ifadəsində nəzərə alınmaqla hesablanır. Misal. I.
downloaded from KitabYurdu.org III. IV. Ikinci tərtib xüsusi törəmələrdən istifadə etməklə asanlıqla göstərmək olar ki, alınan həlldə Z(x) minimum qiymət alır. Deməli, optimal həlldir. V. ) . downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 22: Qradiyent metodu və onun alqoritmi Qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsinin qradiyent metodu ilə həlli elə istənilən metod başa düşülür ki, məqsəd funksiyasının optimal nöqtəyə hərəkətinin istiqaməti bu funksiyanın qradiyentinin metodu lokal eksremum nöqtəsini məqsəd funksiyasının həllər oblastının qabarıqlığı (çöküklüyü) şərti ilə tapılmasını göstərir. Tutaq ki, məsqəd funksiyası verilmişdir. funksiyasının hər hansı nöqtəsində qradiyenti.
vektorudur. vektoru səthinin normalı istiqamətindədir. funksiyasının şərtsiz ekstremum tapılması üçün qradiyent metodunun tətbiqinə baxaq. Yəni məhdudiyyət iştirak etmir. Həll prosesi iterasiyalıdır. başlanğıc nöqtəsi götürülür və yerdəyişmə addımı ( vuruğu ilə xarakterizə olunan) götürülür, belə ki, funksiyasına ən böyük dəyişmə təmin etsin. harda ki, yeni nöqtə vuruğu in ektrmumu şərtinin zəruriliyinə görə olan Çətindən tapılır. – dən nı tapıb
müəyyən edirik. Əgər yeni nöqtədə olarsa həll sona çatır. Belə halda qradiyent üzrə həll mümkün olunur. Əgər olarsa nöqtəsi başlanğıc nöqtə qəbul edilir və proses o vaxta kimi davam etdirilir ki, hələlik sıfır qradiyent alınmışdır. Çox vaxt həllin nəticəsi başlanğıc nöqtənin seçilməsindən asılı olur, hansı ki, optimal həllə yaxınlaşma başlayır. Tutaq ki, bizə qabarıq proqramlaşdır məsələsi verilmişdir. Qradiyent metodunun alqoritmi. 1. Funksiyanın qradiyentini tapmalı və tənliyini həll etməli. şərtlərini (sistemini) stasionar nöqtələri təyin etməli və bu nöqtələrdə funksiyasını hesablamalı. 2. funksiyasının qradiyentinin tapmalı və stasionar nöqtələrini təyin etməli onları ki, oblastın uyğun – sərhədində yerləşsin. bunun üçün aşağıdakı sistemi həll etməli. sisteminin həllindən eləsi götürürük ki, ü və şərtini ödəsin. Məqsəd funksiyasının bu nöqtələrdə qiymətini hesablayırıq. downloaded from KitabYurdu.org 3. Bütün sərhəd hiper müstəvilərin kəsişməsini tapırıq. Bunun üçün aşağıdakı sistemi həll edirik. Harda ki, və həllərindən götürürük və bu həllərdə in qiymətini hesablayırıq. Bu halda, əgər olarsa, həllər çoxbucaqlısının bucaq nöqtələrini tapmaq kafidir və bu nöqtələrdə məqsəd funksiyasının qiymətini hesablayırıq. 4. Məqsəd funksiyasının qiymətlərinin bütün nöqtələrdə müqayisə edirik və və götürürük. Misal: funksiyasının qradiyent metoduilə maksimumunu tapmalı. İterasiya prosesinin nöqtəsindən başlamalı
nöqtəsində funksiyanın qradiyent təyin edirik. nöqtəsini götürürük. Həmin nöqtədə funksiyanın qradiyentini tapırıq. Sıfır qradiyent alırıq. Deməli nöqtəsi stasionar nöqtədir. Məqsəd funksiyası qabarıqdır. və qabarıq funksiyaların cəmidir). Onda tapılan nöqtədə Cavab: downloaded from KitabYurdu.org Mövzu 23: Qrafalar nəzəriyyəsi Boş olmayan çoxluğu və münasibətlər çoxluğu qraf adlanır. ( , ) ilə işarə olunur. Əgər çoxluğu sonludursa, onda qraf sonlu adlanır. ( , ) qrafı həndəsi nöqteyi nəzərdən sonları verilmiş nöqtələr çoxluğuna daxil olan boş olmayan nöqtələr çoxluğunu (təpələri) və parçalar çoxluğunu (tillər) göstərir. Qrafın heç bir tilində yerləşməyən təpələrə izoləedilmiş deyirlər. Tillə birləşdirilmiş (əlaqələnmiş) təpələrə qonşu təpələr adlanır. əgər iki müxtəlif til ümumi (ortaq təpəyə malikdirsə onda onlar qonşa tillər adlanırlar. Til və onun istənilən təpəsi insindent adlanır. ( , ) qrafın başlanğıc və son təpələri üst – üstə düşərsə o ilgək adlanır. və
təpələrini birləşdirən tillərin sayına bərabər olan elementlərindən ibarət olan matrisə ( −ə) qonşuluq matrisi deyilir. Əgər təpəsi
tilinə insindentdirsə və əks halda sıfıra bərabərdirsə elementləri 1 olur, bu elementlərdən təşkil olunmuş − matrisinə insindent matris deyilir.
Tilləri birləşdirən və ya hər bir təpə üçün qonşu təpələr çoxluğunun verilməsi üçn qrafları təpələr (cütləri) kimi vermək olar. Qrafaların xarakteristikası Əgər iki müxtəlif təpə yalnız və yalnız bir tillə əlaqələndirilibsə onda G(X,T) qapalı tam adlanır. Tam qrafalarda hər bir təpə bir til üzərində yerləşir, belə ki, o yerdə qalan təpələrdə birləşdirilmişdir. Tam qrafı vermək üçün onun təpələrinin sayını bilmək kifayətdir. Tam olmayan qrafları tamamlamaq olar, yenilənmiş tillərin əlavə olunması ilə Tilə insindent, qrafın tillərinin sayına bərabər olan ədədinə ( , ) qrafının təpəsinin dərəcəsi deyilir. Əgər dərəcə cüt (tək) – dürsə - təpə cüt(tək) adlanır. Teorem 1: Əgər sonlu G(X,T) (ilgəksiz) qrafı n təpə və m tilə malikdirsə, onda = 2 Teorem 2: (İstənilən) Tək (sayda) təpəli qrafların sayı cütdür. Teorem 3: İstənilən ( > 2) təpəli qrafda kiçik ölçüdə, iki eyni dərəcəli təpə həmişə tapılır. Teorem 4: Əgər ( > 2) təpəli qrafda dəqiqliklə iki təpə eyni dərəcəlidirsə onda bu qrafda ya “0” dərəcəli təpə ya da ( − 1) dərəcəli bir təpə həmişə tapılır. Qrafda yol və tsikl − dən − a yol qrafın elə tillər ardıcıllığıdır ki, aparıcı və − dur, hansı ki, iki qonşu til ortaq təpəyə malikdir və heç bir tillər iki dəfə görüşmür. Yolun uzunluğu bu yolun tillərinin sayı adlanır. − dən
− yol əgər bi təpədən bir dəfədən artıq keçmirsə o sadə adlanır. downloaded from KitabYurdu.org
Tsikl – elə yol adlanır ki, başlanğıc və son təpələr üst – üstə düşür. Tsikldə olan tillərin sayına onun uzunluğu deyilir. Əgər bir təpədən bir dəfədən artıq olmayaraq keçərsə, onda o sadə tsikl adlanır. Teorem 5: Əgər ( , ) qrafında bütün sadə tsikllər cüt uzunluğa malikdirsə, onda qraf heç bir tək uzunluğa malik tskli yoxdur. Qrafın əlaqəsi, ağaclar Qrafın iki təpəsi əlaqəlidir, əgər qrafda sonları bu təpələrdə olan yol mövcuddursa, əks halda əlaqəli deyil. Əgər ixtiyari iki təpə əlaqəlidirsə, onda qraf əlaqəlidir, əks halda əlaqəli deyil. Teorem 6: ( , ) qrafı yalnız və yalnız o vaxt sadə tsikldir ki, onun hər bir təpəsinin qüvvəti 2 – yə bərabərdir. ( , ) − də ( , ) tili körpü adlanır o vaxt ki, bu tildə ləğv etdikdə və təpələri əlaqəli deyil. Əlaqəli və tsiklsiz qraf ağac adlanır. Dərəcəsi 1 - ə malik olan təpə..................... adlanır. Müstəvi qraflar ( , ) − müstəvi qraf adlanır o vaxt ki, onu müstəvi üzərində elə təsvir etmək olsun ki, onun heç bir iki tili orta nöqtəyə malik olmasın, yalnız onların ümumi təpəsindən başqa. Heç bir iki kəsişməyən qrafın sxemi qrafın müstəvi görüşü adlanır. Müstəvi görünüşü yalnız müstəvi olur və tərsinə. ( , ) qrafının müstəvi görünüşünün üzü müstəvisinin elə hissəsidir ki, digər tsiklləri saxlamayan sadə tsikllərlə məhdudlaşan. Müstəvinin qrafın müstəvi görünüşünün (şəklində verilməsinin) kənarında yerləşən Yüklə 0,55 Mb. Dostları ilə paylaş:
|