Mövzu 9 Diferensial tənliklər Tərif

Koşi məsələsi. (1) diferensial tənliyinin başlanğıc şərti ödəyən, yəni arqumentin qiymətində verilmiş qiymətini alan həllinin tapılmasına Koşi məsələsi deyilir.
8.3. Dəyişənlərinə ayrılan tənliklər

1. Tutaq ki, M(x) və funksiyaları uyğun olaraq (a,b) və (c,d ) intervalında kəsilməz funksiyalardır. Bu halda

(1)
tənliyinə dəyişənlərinə ayrılmış diferensial tənlik deyilir. (1) tənliyində dx-in əmsalı ancaq x-dən, dy-in əmsalı ancaq y-dən asılıdır.
Bərabərliyin hər iki tərəfini inteqralladıqda
(2)
münasibəti alınar, burada C ixtiyari sabitdir. Buradan aydındır ki, (2) tənliyi (1) tənliyinin bütün həllərini təyin edir. (2) münasibətinə (1) tənliyinin ümumi inteqralı deyilir.
2. Fərz edək ki, M₁(x), M₂(x), N₁(y), N₂(y) funksiyaları kəsilməzdir. Bu halda
(3)
tənliyinə dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi həll etmək üçün onun hər iki tərəfini N₁(y) M₂(x) ^0 hasilinə bölək:

Dəyişənlərinə ayrılmış bu tənliyin ümumi inteqralı
(4)
olar. (3) tənliyinin (4) ümumi inteqralından alınmayan başqa həlləri də ola bilər. Belə həllər N₁(y) M₂(x) ₌ 0 bərabərliyinin ödənildiyi nöqtələr içərisində olar (N₁(y) ₌ 0, M₂(x) ₌ 0).
Misal 1. diferensial tənliyinin x₌ 5, y₌ 1 başlanğıc şərtini ödəyən həllini tapmalı.
Həlli:
olduğundan
(x – 1)dx ₊ ( y ₊ 2)dy ₌ 0

( ) (5)
(5) bərabərliyi mərkəzi O(1,–2) nöqtəsində olan çevrələri ifadə edir. Xüsusi həlli tapmaq üçün x ₌ 5, y₌ 1 başlanğıc şərtlərdən istifadə edək:
(burada )
Axtarılan xüsusi həll
çevrəsini müəyyən edir.