Mövzu 9 Diferensial tənliklər Tərif

Misal 1. (4)
tənliyini həll edək.
Həlli.
Birinci hala görə və götürək. Onda (4) tənliyi

şəklinə düşər.
Buradan:
1) p=0 yəni y=C
2) yəni və
Potensiallasaq




Burada C₁və C₂– ixtiyari sabitlərdir.
Misal 2. x=1 olduqda və başlanğıc şərtləri ödəyən
(5)
tənliyinin həllini tapaq.
Həlli:
(5) tənliyində və götürək. Onda

yaxud
(6)
Alınan tənlik bircins tənlik olduğundan əvəzləməsi qəbul edək, nəticədə

olar.
Əvəzləməni (6) tənliyində yerinə yazsaq



alarıq.
Sonuncu ifadəni inteqrallasaq




olar.
ixtiyari sabitini müəyyən etmək üçün verilmiş başlanğıc şərtləri (x₌1olduqda ) nəzərə alaq: 1=1+ , yəni ₌ 0 olar.
Onda


(7)
olar.
C₂ sabiti başlanğıc şərtlərdən tapılır. (7) düsturunda x₌1 və götürsək

alarıq və nəticədə, axtarılan xüsusi həll olar.
8.7. İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins tənliklər
Tutaq ki, ikitərtibli xətti bircins
y_{+ p}y₊ qy₌0 (1)
tənliyi verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlərdir. Bu tənliyin həlli şəklində axtarmaq lazımdır, burada k axtarılan sabit ədəddir. Onda


Törəmələrin bu qiymətlərini (1) tənliyində yerinə yazmaqla
e^kx(k²₊pk₊q)₌0
(burada e^kx0)
(2)
alınır.
(2) tənliyinə (1) diferensial tənliyinin xarakteristik tənliyi deyilir. Bu tənlikdən k- nı tapaq
(3)
Burada aşağıdakı hallar mümkündür.
1. Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k₁ və k₂ kökləri həqiqi və müxtəlifdirsə, onda və funksiyaları xüsusi həllərdir. Deməli, (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunur:
y ₌C₁ +C₂ (4)
2. Əgər (2) xarakteristik tənliyinin kökləri həqiqi və bərabərdirsə (k_{1 =}k₂ ), onda (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunar:
(5)
3. Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k₁ və k₂ kökləri kompleks olarsa ( k_{1 =}₊i , k₂₌ –i), onda (1) tənliyinin ümumi həlli
(6)

şəklində olur.