Mövzu 9 Diferensial tənliklər Tərif

8.5. Birtərtibli xətti diferensial tənliklər


Tərif: Axtarılan funksiyaya və onun törəməsinə nəzərən xətti olan tənliyə birtərtibli xətti diferensial tənlik deyilir və aşağıdakı kimi yazılır
(1)
 0 olduqda alınan
(2)
tənliyinə (1) tənliyinə uyğun xətti bircins tənlik deyilir. ol­arsa (1) tənliyi xətti bircins olmayan diferensial tənlik adlanır. (1) tənliyini həll etmək üçün istifadə edilən üsullardan biri sabitin variasiyası üsuludur. Üsuldan istifadə etməklə əvvəlcə xətti bircins tənliyin ümumi həlli tapılır. Alınan tənlik dəyişənlərinə ayrılır


Sonuncu tənliyi inteqrallasaq

buradan isə (2) tənliyinin ümumi həllini alarıq:
(3)
İndi isə xətti bircins tənliyin (3) ümumi həllindəki ixtiyari C sabitini x-dən asılı funksiya qəbul edək:
(4)
y-in bu ifadəsini (1) tənliyində yerinə yazaraq sadə çevirmələrdən son­ra

alarıq.
Buradan isə, naməlum C(x) funksiyası tapılır

C(x)-in bu ifadəsini (4) bərabərliyində yerinə yazdıqda (1) tənliyinin ümumi həlli alınar:

Misal. diferensial tənliyini həll edək.
Həlli:
Əvvəlcə bircins olmayan
(5)
tənliyinin uyğun
(6)
bircins tənliyini həll edək.




Axırıncı bərabərlikdən verilmiş bircins diferensial tənliyin ümumi həllini

taparıq.
Burada C sabitini x-dən asılı funk­siyası hesab edək, onda
(7)
y-in bu ifadəsini (5) tənliyində yerinə yazsaq

alarıq.
Buradan , yaxud . Bu həlli (7) bərabərliyində yerinə yazdıqda (5) tənliyinin həllini

alarıq.