Mövzu matriSLƏr və onlar üZƏRİNDƏ ƏMƏLLƏR. Determinantin təRİFİ, xassəLƏRİ VƏ hesablanma qaydalari

3. -tərtibli determinantın tərifi

-tərtibli determinantın tərifini vermək üçün əvvəzləmələrə aid bəzi anlayışlar ilə tanış olmaq lazımdır.

Fərz edək ki, - dənə elementdən ibarət olan sonlu çoxluğu verilmişdir. Bizim öyrənəçəyimiz məsələ üçün çoxluğunun elementlərinin təbiətləri heç bir rol oynamayacaqlar. Ona görə sadəlik xatirinə biz çoxluğunun elementləri olaraq ilk sayda natural ədədlərini götürəcəyik. Bu sayda ədədləri artan sıra ilə normal düzülüşdən fərqli şəkildə də düzmək olar. ədədlərinin hər hansı bir qayda ilə olan hər bir düzülüşünə əvəzləmə deyilir. Asanlıqla göstərmək olar ki, sayda simvollardan düzəldilə bilən bütün mümkün müxtəlif əvəzləmələrin sayı qədərdir. kimi işarə olunur və faktorial kimi oxunur.

Əgər hər hansı bir əvəzləmədə ixtiyari 2 simvolun yerlərini dəyişib, qalan simvolları öz yerlərində saxlasaq, yeni əvəzləmə alarıq. Bu əməliyyata transpozisiya deyilir. Məsələn, (5 3 2 4 1) əvəzləməsində 3 və 1 elementlərinin yerlərini dəyişsək (bunu 3 1 kimi yazırlar), (5 1 2 4 3) əvəzləməsini alırıq.

Verilmiş əvəzləmədə olmaqla ədədi -dan əvvəldə durursa, deyirlər ki, və elementləri inversiya təşkil edirlər. Məsələn, 3 elemendən ibarət olan (2 1 3) əvəzləməsində olmasına baxmayaraq 2 elementi 1-dən qabaqda durur. Deməli, 1 və 2 elementləri inversiya təşkil edirlər. İnversiyanın ümumi sayı cüt ədəd olan əvəzləməyə cüt əvəzləmə, inversiyanın ümumi sayı tək ədəd olan əvəzləməyə tək əvəzləmə deyilir. Məsələn, (4 5 1 3 6 2) əvəzləməsində inversiyaların ümumi sayı 2+2+4=8 olduğu üçün bu cüt əvəzləmədir.

Qeyd edək ki, hər bir transpozisiya əvəzləmənin cütlüyünü dəyişir. Məsələn, (4 5 1 3 6 2) cüt əvəzləməsində 5 6 tranpozisiyasını aparaq. Onda (4 6 1 3 5 2) əvəzləməsi alınır. Bu əvəzləmədəki inversiyaların ümumi sayı 2+2+1+4=9 olduğundan tək əvəzləmədir. Göründüyü kimi, bir transpozisiya aparmaqla cüt əvəzləmə tək əvəzləməyə çevrildi.

İndi isə tərtibli determinantın tərifinə keçək. Fərz edək ki, tərtibli aşağıdakı kvadrat matris verilmişdir:

.

Bu matrisin hər sətrindən və hər sütunundan bir element götürməklə elementin hasilindən ibarət olan aşağıdakı şəkildə olan hasilə baxaq:

. (1)

(1)-dəki elementlərin ikinci indeksləri olan sayda ədədlərindən düzəldilmiş əvəzləmə təşkil edirlər: ( ). ədədləri -nın 1-ci, 2-ci və s. -ci sətirlərindən götürülmüş elementlərin sütun nömrələrini göstərir. Aydındır ki, belə əvəzləmələr ! saydadırlar. Bu o deməkdir ki, -nın hər sətir və hər sütunundan bir element götürməklə düzəldilə bilən (1) şəkilli müxtəlif hasillərin sayı ! qədərdir. (1)-dəki ikinci indekslərdən düzəldilmiş ( ) əvəzləməsi cüt olduqda bu hasilin qarşısında «+», tək əvəzləmə olduqda «-» işarəsi yazıb, ! sayda olan bütün belə hasillərin cəminə -tərtibli determinant deyəcəyik.

Qeyd edək ki, (1) yazılışındakı hasildə vuruqlar sətirlərin artma sayına görə düzülmüşdür. Əgər bu qaydaya əməl olunmayıb hasil

. (2)

şəklində yazılsaydı, onda (2) həddinin qarşısında qoyulan işarə ədədinin işarəsi ilə təyin olunardı. Burada ilə , ilə ( ) əvəzləməsindəki inversiyaların sayı işarə olunmuşdur.

İndi üç tərtibli determinantda bəzi hədlərin qarşısında «+», bəzilərinin qarşısında «-» işarəsi qoyulması səbəbini izah etmək olar.

üçtərtibli determinantının açılışında hasilinin qarsında «+» işarəsi ona görə qoyulub ki, ikinci indekslərdən düzəldilmiş (231) əvəzləməsindəki inversiyaların sayı 2 dənədir, yəni bu cüt əvəzləmədir. Bu determinantın açılmasındakı hasilinin qarşısında ona görə «-» işarəsi qoyulur ki, ikinci indekslərdən düzəldilmiş (213) əvəzləməsindəki inversiyaların sayı 1 dənə olduğundan bu tək əvəzləmədir.

3.