Misal 8. Ardıcıllıqların monoton artan ardıcıllığını göstərin.
1) ;
olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
.
olduğundan, buradan alırıq ki, istənilən n üçün . Yəni baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
2) ;
Göründüyü kimi,
. Onda, .
olduğundan, və deməli, , yaxud . Yəni ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
3) ;
və olduğunu nəzərə alsaq yaza bilərik:
Digər tərəfdən, Bernulli bərabərsizliyində (bax § 1.2, Misal 11) götürsək,
.
Bu qiymətləndirməni yuxarıda nəzərə alaq. Onda
olduğundan, alırıq ki, ixtiyari üçün . Deməli, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
4) ;
fərqini qiymətləndirək. olduğundan, və ya istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq monoton artandır.
5) ; ;
Əvvəlcə, induksiyaya əsaslanaraq göstərək ki, .
olduqda . olduqda olduğunu fərz edək.
Buradan, və hər tərəfə 2 əlavə etsək, . Deməli, Bu isə onu göstərir ki, ardıcıllığın bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir. İndi isə ardıcıllığın monotonluğunu göstərək. Verilənləri və ardıcıllığın hədlərinin vahiddən kiçik olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:
, yəni bütün n-lər üçün . Başqa sözlə, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.
Bu ardıcıllığın monoton artan olduğunu başqa cür də müəyyən etmək olar. Belə ki, induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 4) ardıcıllığının ümumi həddi şəklindədir, bu isə artan ardıcıllıqdır.
Dostları ilə paylaş: |
