MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 7. Bərabərliyin doğruluğunu göstərin:



Həlli. a) olduqda bərabərlik doğrudur:

b) olduqda bərabərliyin doğruluğunu qəbul edək, yəni

olduqda göstərək ki, .

Yaza bilərik:

Misal 8. Kvadrat köklərin sayının olduğunu bilərək ifadəsinin qiymətini tapın.

Həlli. işarə edək.

,

Prosesi bu qayda ilə davam etdirərək fərz etmək (hökm etmək yox!) olar ki,

İndi isə bu bərabərliyin doğruluğunu riyazi induksiya üsulu ilə isbat edək.

a) olduqda olduğundan hökm doğrudur.

b) olduqda hökmün doğruluğunu qəbul edək, yəni

və olduqda bərabərliyin doğruluğunu isbat edək.

Beləliklə hökm edə bilərik ki,

Misal 9. Bərabərsizliyi isbat edin:



Həlli. Əvvala, qeyd edək ki, baxılan bərabərsizliyin hər tərəfini dərəcədən qüvvətə yüksəltsək onu şəklinə gətirmək olar. Bu bərabərsizlik isə qiymətində doğrudur: .

olduqda bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edərək qiymətində də doğru olduğunu göstərək. Yəni olduqda isbat edək ki,

Doğru bərabərliyi nəzərə alaraq yaza bilərik:

Nəticə olaraq hökm edə bilərik ki,

Misal 10. Tutaq ki, elə müsbət ədədlərdir ki, . İsbat etməli ki, və ya , yəni hasili vahidə bərabər olan müsbət ədədlərin ədədi ortası vahiddən kiçik deyil.

Həlli. a) olduqda və deməli , yəni hökm doğrudur.

b) Fərz edək ki, hökm sayda ədəd üçün doğrudur. Hökmün doğruluğunu

şərtini ödəyən sayda ədədləri üçün isbat edək.

Burada iki hal ola bilər: ya bütün ədədlər 1-ə bərabərdir və bu halda onların cəmi olur və bərabərsizliyin doğruluğu isbat edilir, ya da ədədlər içərisində heç olmasa biri vahiddən fərqlidir. Sonuncu halda digər, heç olmasa, bir ədəd də olmalıdır ki, o da vahiddən fərqli olsun, bununla belə, verilmiş şərtin ödənməsi üçün, məsələn, onlardan biri vahiddən kiçikdirsə, digəri vahiddən böyük olmalıdır. Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, və .

İndi sayda

ədədlərinə baxaq. Onların hasili vahidə bərabərdir və qəbul edilmiş fərziyyəyə görə

Sonuncu bərabərsizliyi nəzərə alaraq yaza bilərik:

Beləliklə, üçün hökmün doğru olmasından onun qiymətində doğruluğu alınır. Deməli, ümumiyyətlə, hökm doğrudur.

Qeyd edək ki, isbatdan görünür ki, bərabərlik yalnız o vaxt doğrudur ki, olsun.

Nəticə olaraq isbat etmək olar ki, ixtiyari müsbət ədədlər olarsa onların ədədi ortası həndəsi ortasından kiçik deyil, yəni

Bunun üçün yuxarıda isbat edilmiş bərabərlikdə

götürmək kifayətdir.

Xüsusi halda olarsa tapırıq ki, və ya

Həmçinin olarsa və burada götürsək məlum bərabərsizliklərini alırıq.