MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 11. eyni işarəyə malik olub -1-dən böyük olan ədədlər olduqda

Bernulli bərabərsizliyinin doğruluğunu göstərin.

Həlli. olduqda bərabərsizliyin doğruluğu aydınıdr. Tutaq ki, olduqda bərabərsizlik doğrudur və göstərək ki, o olduqda da ödənir. olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

Burada nəzərə alınmışdır ki, eyni işarəyə malik olduqlarından

Xüsusi halda olduqda

bərabərsizliyini alırıq

Misal 12.

Həlli. olduqda bərabərsizlik doğrudur:

üçün bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edərək üçün yaza bilərik:




MÜHAZİRƏ 2
Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər
Çoxluq ilkin anlayış olduğundan ona tərif verilmir. Çoxluq dedikdə müəyyən xassə və ya əlamətə əsasən seçilmiş obyektlərin küllisi (toplusu) başa düşülür. Çoxluğu təşkil edən obyektlər onun elementləri adlanır a elementi A çoxluğuna daxildirsə bu , əks halda kimi yazılır. Heç bir elementi olmayan çoxluğa boş çoxluq deyilir və kimi işarə olunur.

Tərif 1. A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğuna daxil olarsa A - ya B - nin alt çoxluğu deyilir (şək. 1.1a) və bu (və ya ) kimi yazılır.

Hesab edilir ki, hər bir çoxluq özünün, boş çoxluq isə hər bir çoxluğun alt çoxluğudur.

və həm də olarsa A və B çoxluqları bərabər çoxluqlar adlanır və bu belə yazılır: .

Tərif 2. İki çoxluqdan heç olmasa birinə daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların birləşməsi deyilir (şək. 1.1b):

və ya

Tərif 3. Hər iki çoxluğa daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların kəsişməsi deyilir (şək. 1.1c):

və ya

Qeyd edək ki, istənilən sayda çoxluğun birləşməsi və kəsişməsindən danışmaq olar:

<sub>{ x: elə var ki,

{ x: ixtiyar üçün</sub>

Tərif 4. A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğa A və B çoxluqlarının fərqi deyilir (şək. 1. 2a):

və

Tərif 5. A və B çoxluqlarının ortaq olmayan elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların simmetrik fərqi deyilir (şək. 1. 2c):

yaxud
Tərif 6. və elementlərindən təşkil olunmuş bütün mümkün nizamlanmış cütlər çoxluğuna və çoxluqlarının Dekart hasili deyilir və kimi işarə olunur:

Qeyd edək ki, istənilən sayda çoxluğun da Dekart hasilindən danışmaq olar.

Çoxluqlar üzərində yuxarıda təyin olunan əməllər aşağıdakı əsas xassələrə malikdir:

1) (yerdəyişmə)

2) (qruplaşdırma)

3) (paylanma)

4)

5)

6) olarsa

7)

8)

9)

Misal 13. olduğunu göstərin.

Həlli. və işarə edək. İxtiyari götürək. Onda, və və ya və və və ya və və ya , yəni . Deməli, .

İndi isə olduğunu göstərək. Bunun üçün ixtiyari götürək. Onda, və və ya və və ya və və , yəni . Deməli, həm də, . Başqa sözlə, .

Misal 14. olduğunu göstərin.

Həlli. 3) və 4) xassələrinə əsasən yaza bilərik:

İndi isə olduğunu göstərək. və . Deməli, .

Digər tərəfdən, Deməli, . Hər iki nəticədən hökmün doğruluğu alınır.

Misal 15. olduğunu göstərin.

Həlli. və işarə edək. İxtiyari olsun. Onda, buradan alınır ki, və və və və . Yəni və deməli, .

İndi isə götürək və və və və , yəni və deməli, həm də . Hər iki nəticədən alınır.

Misal 16. olduğunu göstərin.

Həlli. və və ya və və və ya və və və ya və ya və və ya və .

Misal 17. olduğunu göstərin.

Həlli. Verilmiş bərabərliyin sol tərəfindəki çoxluğa daxil olan ixtiyari cütü götürək. və və və və və və və və .