Mühazirə 2-3(mls) Layihələndirmənin aspektləri, stadiyaları və mərhələləri

Классификация математических моделей

1) По характеру отображаемых свойств объектаММ делятся наструктурныеифункциональ­ные.

СтруктурныеММ предназначены для отображе­ния структурных свойств объекта. Различают структур­ные ММтопологическиеигеометри­ческие.

В топологическихММ отображаютсясостав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размеще­ния деталей, трассировки соединений) или к относитель­ным моментам времени (например, при разработке рас­писаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь формуграфов,таблиц,спискови т. п.

В геометрическихММ отображаютсягеометрические свойстваобъек­тов — сведения оформеи взаимном расположении элементов.

ГеометрическиеММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алгебрологических соотношений, описывающих области, со­ставляющие тело объекта; графами и списками, отобра­жающими конструкции из типовых конструктивных эле­ментов, и т. п.

ГеометрическиеММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, для оформления конструк­торской документации. Использу­ют несколько типов геометрических ММ.

Для отображения геометрических свойств деталей с несложными поверхно­стями применяют ММ, представляемые ваналитическойформе. Это — уравнения поверхно­стей и линий, например уравнение плоскости имеет видax+by+cz+d = 0, а эллипсоида — вид (x/a)²+ (y/b)²+ (z/c)²+d= 0, гдеx,y,z— пространственные координа­ты;a,b,cиd— коэффициенты уравнений.

Для сложных поверхностей аналитические модели оказываются слишком громоздкими, их трудно получать и неудобно использовать. Область их применения обычно ограничивается поверхностями плос­кими и второго порядка.

Для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверх­но­стями применяют ММ каркасныеикинематические.

КаркасныеММ представляют собой каркасы — ко­нечные множества элементов, например точек или кри­вых, принадлежащих моделируемой поверхности.

Выбор каркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиению поверх­ности на отдельные участки. Кусочно-линейная аппрок­симацияна этой сетке устраняет главный недостаток ана­литических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлет­ворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряже­ний участков.

В кинематическихММ поверхности описывают как результат переме­ще­ния в трехмерном пространстве некоторой кри­вой, называемойобразующей, по некоторой направ­ляющей линии, или ее вращении.

Коэффициенты уравнений в рассмотренных моделях, как правило, не имеют простого геометрического смысла, что затрудняет работу с ними в интер­ак­тив­ном режиме. Этот недостаток устраняется вканоническихмоделях и вгеометрическихмакромоделях.

Канонические моделииспользуют в тех случаях, когда удается выделить параметры, однозначно определяющие геометрический объект и в то же время имеющие простую связь с его формой. Например, для плоского многоуголь­ника такими параметрами являются координаты вершин, для шара — радиус и координаты центра, для цилиндра — радиус и координаты центров его оснований.

Геометрические макромоделиявляются описаниями предварительно отобранныхтиповых геометрических фрагментов. Такими фрагментами могут быть типовые сборочные единицы, а их макромоделями — условные но­мера, габаритные и стыковочные размеры. При оформ­лении конструкторской документации макромодели ис­пользуют для описания типовых графических изображе­ний, например зубчатых колес, винтовых соединений, под­шипников и т. п.

ФункциональныеММ предназначены для ото­браженияфизическихилиинформационныхпроцессов, протекающих в объекте при его функциони­ровании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представля­ют собойсистемы уравнений, связывающих фазовые пе­ременные, внутренние, внешние и выходные параметры.

Деление описаний объектов на аспекты непосредственно касается математических моделей. Выделение аспектов описания приводит к выде­лению моделей электрических,механических,гидравли­ческих,оптических,химическихи т. п. Для каждого из указанных аспектов характерны свои способы описания, основанные на известных закономерностях.

2) В зависимости отместа в иерархии описанийматематические модели делятся на ММ, от­носящиеся кмикро-,макро- иметауровням.

Особенностью ММ на микроуровнеявляется от­ражение физических процессов, протекающих внепре­рывных пространстве и времени.

Типичные ММ на мик­роуровне—дифференциальные уравнения в частных про­изводных(ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С по­мощью этих уравнений рассчиты­ваются поля механиче­ских напряжений и деформаций, электрических потенци­а­лов, скоростей и давлений жидкостей и газов, температур и т. п.

Возможности примене­ния ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными элементами: расчет напряжений в детали, скоростей жидкости в межлопастных каналах рабочего колеса насоса, нагрева корпуса двигателя и т.д. Попытки анализировать с их помощью процессы в много­компонентных средах: узлах машин, гидравлических системах, электронных схемах и т.д. не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат вычислительных ресурсов.

На макроуровнеиспользуютукрупненную дис­кретизацию пространствапо функциональному призна­ку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде системобыкновенных дифференциальных уравне­ний(ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является времяt, а вектор зависимых переменныхVсо­ставляют фазовые переменные, характеризующие состоя­ниеукрупненных элементов дискретизированного про­странства. Такими перемен­ными являютсясилыискоро­стимеханических систем,напряженияисилы токаэлек­трических систем,давленияирасходыгидравлических и пневматических систем и т. п.

Системы ОДУ являются универсальными моделяминамакроуровне, пригодными для анализа какдинамических, так иустановившихсясостояний объектов. Модели для установившихся режи­мов можно также представить в виде системалгебраиче­ских уравнений. Например, характеристика трубопрово­да в установившемся режиме описывается алгебраическим уравнением, а в переходном (в момент пуска или останова насоса) — дифференциальным.

Порядоксистемы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок си­стемы приближается к 10³, то оперирование моделью ста­новится затруднительным и поэтому необходимо перехо­дить к представ­лениям наметауровне.

На метауровнев качестве элементов принима­ют достаточно сложныесовокупности деталей.

Метауровень характеризуется большим разнообразием типов использу­емых ММ. Для многих объектов ММ на метауров­не по-прежнему представля­ются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для эле­ментов фазовые переменные, а фигурируют только фазо­вые перемен­ные, относящиеся к взаимным связям эле­ментов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существен­но более сложных объектов, чем на макроуровне.

3) По степени детализации описанияв пределах каждого иерархичес­кого уровня выделяютполныеММ имакромодели.

ПолнаяММ — модель, в которой фигурируют фа­зовые переменные, характеризующие состояния всех име­ющихся межэлементных связей (т. е. сос­то­яния всех эле­ментов проектируемого объекта).

Макромодель— ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укруп­ненном выделении элементов.

4) По способу представления свойств объектафункциональные ММ делятся нааналитиче­ские,алгоритмическиеиимитационнные.

АналитическиеММ представляют собой явные выражения выходных параметров какфункций входных и внутренних параметров, т. е. имеют видY =f(X,Q). Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, однако получить их удается лишь в отдельных част­ных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужа­ющих область адекватности модели.

АлгоритмическиеММ выражаютсвязивыход­ных параметров с пара­метрами внутренними и внешними в формеалгоритма. Типичной алгоритми­ческой ММ является система уравненийLV(Z) =φ(Z), дополненная алгорит­мом выбранного численного метода решения и алгорит­мом вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системы уравненийV(Z).

ИмитационнаяММ — алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во време­ни при задании внешних воздействий на объект. Приме­рами имитационных ММ могут служить модели динами­ческих объектов в виде систем ОДУ и модели систем мас­сового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

5) По способу получения модели. Для получения ММ используют методынеформальныеиформальные.

Неформальныеметоды применяют на раз­личных иерархических уровнях для получения ММэле­ментов. Эти методы включают изучение закономер­ностей процессов и явлений, связанных с моделируемым объек­том, выделение существенных факторов, принятие раз­личного рода допущений и их обосно­ва­ние, математиче­скую интерпретацию имеющихся сведений и т. п.

Для вы­полнения этих операций в общем случае отсутствуют фор­маль­ные методы, в то же время от результата этих опе­раций существенно зависят показатели эффективности ММ — степень универсальности, точность, эконо­мичность. Поэтому построение ММ элементов, как правило, осуще­ствляется квалифицированными специалистами, получив­шими подготовку как в соответ­ствующей предметной об­ласти, так и в вопросах математического моделиро­вания на ЭВМ.

Применение неформальных методов возможно для синтеза ММ теорети­ческихиэмпирических.Теоретиче­скиеММ создаются в результате исследо­вания процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому клас­су объектов и явлений;эмпирическиеММ — в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с по­мощьюизмеренийфазовых переменных на внешних вхо­дах и выходах и обработки результатов измерений.

Решение задач моделирования элементов облегчается благодаря тому, что для построения большинства техни­ческих объектов используются типовые элементы. Поэтому разра­ботка ММ элементов производится сравнительно редко. Единожды созданные ММ элементов в дальнейшем мно­гократно применяют при разработке разнообразных си­стем из этих элементов.

Примерами таких ММ на мик­роуровнеслужат описания конечных элементов для ана­лиза напряженно-деформированного состояния деталей; намакроуровне— ММ асинхронного электродвигателя, насоса, радиодеталей.

Формальныеметоды применяют для получе­ния ММ систем при извес­тных математических моделях элементов.

Таким образом, в программах автоматизированного анализа, использу­е­мых в САПР, получение ММ проекти­руемых объектов обеспечивается реали­зацией ММ типовых эле­ментов и методов формирования ММ систем.

4. Постановка и решение задач анализа

   1. Требования к методам и алгоритмам анализа

При выборе или разработке метода (алгоритма) анализа прежде всего устанавливается область его применения. Чем шире круг задач и ММ, которые объявлены как до­пустимые для решения данным методом, тем этот метод универсальней.

В большинстве случаев четкая форму­лировка ограниченийна примене­ние метода затрудни­тельна. Возможны ситуации, когда формально применить метод возможно, однако удов­летворительное решение задачи не получается. Следова­тельно,вероятностьРуспешного применения методав некотором классе задач меньше единицы. Эта вероятность является количественной оценкой важного свойства методов и алгоритмов, называемогонадеж­ностью.

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо­димости итераци­онного процесса, в превышении предельно допустимых значенийпогреш­но­стейи т. п. Так, итерации по методу Ньютона при решении систем нелинейных алгебраиче­ских уравнений сходятся только в случае выбора началь­ного значе­ния в достаточно малой окрестности корня.

В САПР должны применяться надежныеметоды и алгоритмы. Для повы­шения надежности часто применя­юткомбинированиеразличных методов,автоматическую параметрическую настройкуметодов и т. п., добиваясь значенийР, равных или близких к единице. Применение методов сР< 1 хотя и нежелатель­но, но допускается в отдельных частных случаях при обязательном условии, чтонекорректное решение распознаетсяи отсутствует опасность принять такое решение за правильное.

К методам и алгоритмам анализа, как и к ММ, предъявляют требования точностииэкономичности.Точностьхарактеризуется степенью совпадения точного решения уравнений модели и приближенного решения, полученного с помощью оцениваемого метода, аэкономичность— затратами вычисли­тель­ных ресурсов на реализацию метода (алгоритма).

Оценки точности и экономичности могут быть теоре­тическимииэкспе­ри­­ментальными.

Теоретические оценкипогрешностей трудоемки и обычно выполняются при принятии ряда упрощающих предположений о характере ММ: о гладкости или линейности функциональных зависимос­тей, некоррелированности парамет­ров и т. п. Несмотря на приближенность теоретических оценок, они представ­ляют значительную ценность, так как обычно характери­зуют эффективность применения исследуемого метода не к одной конкретной модели, а к некото­рому классу мо­делей.

Эксперименталь­ные оценкиоснованы на определении показателей эф­фективности на наборе специально составляемых ММ, называемыхтестовы­ми. Тестовые ММ должны отражать характерные особенности моделей того класса объектов, которые являются типичными для рассматриваемой пред­метной области. Результаты тестирования использу­ются длясравни­тель­ной оценкиметодов и алгоритмов при их выборе для реализации в программном обеспече­нии САПР.

2. Математическая постановка типовых задач анализа

Рассмотрим математическую формулировку типовых проектных процедур анализа, см. п. 2.1.

Анализ динамических процессовфункционирования объектов выпол­ня­ет­ся путем решения си­стем ОДУ. В общем случае эта система представляется в неявном виде

(4.1)

с известными начальными условиями. Для решения системы могут приме­няться методы, выражаемые формулами типа (3.13). Решение системы ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых пере­менных V = (U, W) отtв табличной форме.

Большинство выходных параметров Yпроектируемых объектов являютсяфункционаламизависимостейV(t), например, определенными интегралами, экстремальными значениями. Решение системы (4.1) и расчет выходных пара­мет­ров-функционалов составляют содер­жание процедурыанализа переходных процессов.

Анализ статических состоянийобъек­тов может быть выполнен путем интегрирования уравнений (4.1), но, поскольку в статикеdU/ dt = 0, такой анализ может быть сведен к решению систем алгебраиче­ских уравнений

. (4.2)

Для решения (4.2) применяют различныеитераци­онныеметоды.

В ряде областей техники часть выходных параметров объектов определя­ется на основе анализа частот­ных характеристик. При таком анализе, как пра­вило, допустима линеаризация ММ, т. е. система (4.1) может быть представ­лена в виде

(4.3)

где А,В,С,D— матрицы с постоянными или зависимыми от времени коэф­фициентами;U_вх(t) — заданная вектор-функция, отражающая внешние воздей­ст­вия на анализи­руемый объект.

Задаваясь синусоидальным внешним воздействием на один из входов объек­та и используя для алгебраизации системы (4.3) преобразование Фурье, приходим к системе линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

(4.4)

где и— преобразованные по методу Фурье векторыUиW;ω— частота внешнего воздействия. Решение системы (4.3) обычно производится мето­дом Гаусса для ряда значений частотыω. Полученные зависимостипредстав­ля­ют собой частотные харак­теристики объекта, по которым определяются такие выходные параметры, как резонансные частоты, полоса пропускания и т.п.

При проектировании систем автоматического управ­ленияважное значе­ние имеет задачаанализа устойчиво­сти.Анализ устойчивостиможет быть выполнен или непосредственным интегрированием системы ОДУ, или ее иссле­­до­ванием в соответствии с известнымикри­териями устойчивости.

Анализ чувствительностизаключается в определении влияния внут­реннихq_kи внешнихx_jпараметров на выходные параметрыy_i. Количественная оценка этого влияния представляется матрицами чувствительностиАqиАxс элементами

aq_ik =дy_i /дq_k     иaq_ij = дy_i /дx_j, (4.5)

называемыми коэффициентами чувствительности.

Наиболее универсальный метод анализа чувствитель­ности — метод приращений— основан на численном дифференцировании функцийy_i (X,Q).

Статистический анализвыполняется с целью получения тех или иных сведений о распределении пара­метровy_i, при задании статистических сведений о пара­метрахx_jиq_k. Результаты статистического анализа могут быть представ­лены в видегистограмм распределенияy_iиоценок числовых характеристикраспределений (матема­тического ожидания, дисперсии).

Основной метод статистического анализа в САПР — метод статис­ти­ческих испытаний.

5.