Mühazirə mətnləri. Tərtib edən: b/m S. S. Haxıyev

5. Qrupların homomorfizmi və izomorfizmi 

 

 

Fərz edək ki, G = 

 və 

 kimi iki qrup verilmişdir.  

Tərif 1. G qrupunun   qrupuna homomorfizmi  elə 

 : G

 inikasına deyilir ki, 

üçün 

 bərabərliyi ödənsin.  

 : G

 homomorfizmi 

 : G

 şəklində yazılır.  

Əgər    :  G

  homomorfizmindəki 

  inikası  biyektivdirsə,  onda  bu  homomorfizm  izomorfizm 

adlanır və   : G

 işarə olunur.  

Misallar:  1) 

  həqiqi  ədədi  verildikdə  (a)  = 

  çoxluğu  vurma  əməlinə  nəzərən  qrup 

təşkil  edir, 

,    (

)

-1

  = 

;     

: 

  qaydası  ilə 

:  (a) 

  –  (a)  və 

 qruplarının izomorfizmini qurmaq olar.  

2)  İstənilən 

 üçün 

 (a) = 2a qaydası ilə 

 2

 homomorfizmini qurmaq olar.  

3)   a 

R

+

 üçün 

 (a) = 

 qaydası ilə 

 qrupunun 

 qrupuna 

izomorfizmini qurmaq olar.  

Teorem.

 qrupuna  izomorf olan ixtiyari 

  cəbri qrupdur.  

Doğrudan da,   (a)

 (b) =

 (a  b)  bərabərliyi göstərir ki, 

 (a)

 (b)   G, həm də  

 (a

-1

)

 [

]

-1

 olduğundan [

]

-1

 çıxır.  

Ədəbiyyat: [1], [2],[4], [8].  

 

 

 

 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

Mövzu 2. 

Qrupun doğuranlar sistemi. Dövrü qruplar. 

Altqrupa nəzərən ayrılış. 

1. Qrupun doğuranlar sistemi. 

Elementin tərtibi və xassələri. 

 

G qrupunun boş olmayan S çoxluğunu öz daxilinə olan bütün altqrupların kəsişməsi də S-i öz daxilində 

saxlayan altqrupdur. Onu A ilə işarə edək. A-nı təşkil edən elementlər S-in a, b, c,... elementləri və onların 

tərslərindən ibarət müxtəlif kombinasiyalarından ibarətdir. Bu halda S çoxluğuna A qrupunun doğuranı 

deyilir. 

Tərif.  Doğuranı  bir  elementdən  ibarət  olan  qrupa  dövrü  qrupu  deyilir.  G  doğuranı  A  elementindən 

ibarət dövrü qrupdursa, onu G = 

 kimi işarə edirlər. Bu qrup 

(n 

) kimi elementlərdən ibarət 

olur.  

 = 

 bərabərlikləri göstərir ki, dövrü qrup kommutativ qrupdur.  

Aşağıdakı iki haldan biri və ancaq biri mümkündür.  

a) a-nın bütün qüvvətləri öz aralarında müxtəlifdirlər.  bu halda dövrü qrup sonsuzdur – Məsələn: 

 = 

 

qrupu sonsuz dövrü qrupdur.  

b) Elə S

 tam ədədləri var ki, 

. 

Belə olduqda s – k = h ilə işarə etsək, alarıq ki, 

 = e.  

Belə h   N natural ədədlərinin ən kiçiyini n ilə işarə etsək, ona 

 dövrü qrupunun və ya a elementinin 

tərtibi deyilir. Elementin tərtibinin aşağıdakı xassələri var: 

Xassə 1. n ədədi a elementinin tərtibidirsə,  

 

e = a

0

, a = a

1

, a

2

, a

3

, ...,a

n-1

 

 

elementləri müxtəlifdir.  

Doğrudan da 

 = 

 (0 

) olsa, onda 

 olar ki, 

 olduğu üçün b yalnız 

 olduqda mümkündür.  

Xassə 2. a-nın  tərtibi n-dirsə, 

(

) şərtini ödəyən m ədədi n-in misli olur.  

Doğrudan da m = nq + r olsa 

 

e = 

a

 = 

  (1) 

 

Lakin 

 olduğundan 

 bərabərliyi ancaq r = 0 olduqda mümkündür. Deməli, m = nq. 

Teorem. G = 

n

 n tərtibli dövrü qrupdursa, 

 elementi bu qrupun onda və yalnız onda doğuranı olar 

ki, ƏBOB (k,n) =1 olsun., yəni k ilə n  qarşılığı sadə ədədlər olsun.  

---

Bu teoremdən çıxır ki, 

 vahidin 8-ci dərəcədən ibtidai köküdürsə, onda 

ədədlərinin 

hər biri 

qrupunun doğuranlarıdır

.  

İsbatı. Fərz edək ki, G = 

n

 və (k,n) = d

. Onda k = dk, n = dn. Buradan nk = NDK, kn = kdn, 

və 

n1

 = (a

n

)

k1

 = e. Deməli, 

-nın tərtibi n-dən kiçik n, ədədi olar. 

Tərsinə, (k,n) = 1 olarsa, elə u, v

 ədədləri var ki, ku + nv = 1, yəni ku = 1 – nv olar. Onda  

u

 = 

 (a

n

) 

(-V)

 = 

 1 = a. Deməli, 

 doğurandır.