Diferensial hesabının əsas teoremləri.
1. Roll, Lagranj, və Koşi teoremləri.
2. Qeyri-müəyyənliklərin açılışı, Lopital qaydası.
3. Teylor düsturu.
1. Roll, Lagranj, və Koşi teoremləri.
►Roll teoremi. -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətləri alan funksiyası üçün həmin (a, b) intervalında yerləşən heç olmasa bir elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir. Yəni
►Laqranj teoremi. -da kəsilməyən və (a,b) intervalında diferensiallanan funksiyası üçün həmin intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə
(1)
bərabərliyi ödənilir. (1) bərabərliyinə Laqranj düsturu və ya sonlu artımlar düsturu deyilir.
Isbatı ; -da təyin olunmuş
(2)
funksiyasına baxaq. F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətlər alır.
Onda Roll teoreminə görə onun
törəməsi bir nöqtələrində sıfra bərabər olar;
Buradan (1) bərabərliyi alınır.
► Koşi teoremi. Tutaq ki, və funksiyaları -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin intervalın bütün nöqtələrində şərtini ödəyən funksiyalardır. Onda (a,b) intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə
(1)
bərabərliyi ödənilir.
İsbatı. Teoremin şərtindən aydındır ki, çünki əks halda , yəni olduqda Roll teoreminə görə bir nöqtəsindən olar ki, buda şərtə ziddir. Indi aşağıdakı kimi köməkçi funksiya düzəldək;
(2)
F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində sıfra bərabərdir;
Onda Roll teoreminə görə onun
törəməsi (a, b) intervalının bir nöqtəsində sıfra bərabər olar;
Buradan (1) bərabərliyi alınır.
Dostları ilə paylaş: |
