Mühazirələr Orta Ixtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

A B

A və B çoxluqlarının birləşməsinə daxil olan ixtiyari x elementi x A və ya x B xassəsinə malik olduğu üçün A B birləşməsini riyazi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar:

A B={x│x A x B}.

Buradan görünür ki, birləşməyə daxil olan hər bir element ya A-nın elementlərinin xarakterisik xassəsinə və ya B-nin elementlərinin xarakteristik xassəsinə malikdir. Çoxluqların birləşməsinin əsas xassələri var.

1. 
   Kommutativlik xassəsi
   

İxtiyari A və B çoxluqları üçün

A  B  B  A

bərabərliyi doğrudur.

Bu xassənin isbatı çoxluqların birləşməsinin tərifinə əsaslanır. Belə ki,

A  B

cəminin

elementləri B  A cəminin elementlərinə bərabərdir.

2. 
   Assosativlik xassəsi.
   

İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün A  B C  A  B  C

bərabərliyi doğrudur.

3. 
   B  A olduqda A  B  A doğrudur. Xüsusi halda
   

A  A  A, A   A, A  J  J A  J  bərabərlikləri də doğrudur.

2. Tərif. A və B çoxluqlarının bütün ortaq elementlərindən düzələn çoxluğa A və B

çoxluqlarının kəsişməsi deyilir və A  B kimi işarə edilir.

Məsələn A  a,b, c, d, e, B  b, c, f , d

olduqda

A  B  b, c, d

olar. Demək, b,c,d

elementləri eyni zamanda həm A çoxluğuna, həm də B çoxluğuna daxildir. Çoxluqların kəsişməsi riyazi şəkildə belə ifadə olunur:

^{{ }}

1. 
   N  1,2,3,..., n natural ədədlər çoxluğu
   

N₀  0,1,2,3,...

kəsişməsi N olar.

bütün mənfi olmayan tam ədələr çoxluğu olsun. Onda bu çoxluqların
N  N₀  N

2. 
   A-bütün dördbucaqlılar çoxluğu, B isə düzbucaqlılar çoxluğu olsun. Onda olar.
   
3. 
   A- bütün cüt ədələr çoxluğu, B isə bütün sadə ədədlər çoxluğu olsun. Onda
   

A  B  B

A  2,4,6,8,...,24, B  2,3,5,..., A  B  2

Demək, bir ortaq elementi olduqda da çoxluqlar kəsişirlər. A ilə B çoxluqlarının ortaq elementi yoxdursa, onda onların kəsişməsi boş çoxluq əmələ gətirir və belə işarə olunur: A  B  

Çoxluqların kəsişməsi Eyler- Venn diaqramı vasitəsi ilə əyaniləşdirilir.

A

B  A A  B  B 

B
C  ( A  B )  A  B  C 

A B

Çoxluqların kəsişməsinin aşağıdakı xassələri var.

1. 
   Çoxluqların kəsişməsi kommutativlik xassəsinə malikdir, yəni ixtiyari iki A və B
   

çoxluqları üçün aşağıdakı münasibət doğrudur: A  B  B  A

2. 
   Çoxluqların kəsişməsi assosiativdir, yəniixtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur: A  B C  A  (B  C)
   

Misal. A  1,2,3,4,5,6,7 ; B  2,4,6,8 ; C  4,5,6

I.

II.

B  C  4,6 A  B  C  4;6

A  B  2,4,6A  B C  4,6

3. 
   B  A olduqda A  B  B
   

doğrudur. Xüsusi halda

A  A  A, A  ,

A  J  A A  J  bərabərlikləri də doğrudur.

4. 
   Distributivlik xassələri çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi arasındakı əlaqəni əks etdirir. İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:
   

a) A  B  C  A  B A  C

b) A  B  C  A  B A  C

3. 
   Tərif.A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan bütün elementlərindən ibarət olançoxluğa A və B çoxluqlarının fərqi deyilir və A \ B kimi işarə edilir. Bu halda B-nin A çoxluğunun alt çoxluğu olması vacib deyildir.
   

İki çoxluğun fərqi simvolik olaraq aşağıdakı şəkildə yazılır:

A∖B ^{  ^} B∖A ^{  ^} Şəkil.

A∖B

Misal. A = {1,2,3,4,5,6,7} , B = {2,5,7,8} çoxluqlarının fərqi C = A \ B = {1,3,4,6}şəklində olur. Buradan görünür ki, C çoxluğunun hər bir elementi A çoxluğuna daxildir, lakin B çoxluğuna daxil deyil.

Ola bilər ki, A B = . Bu halda A \ B = A ,B \ A = B olur. Məsələn:

1. A = [3,4] , B = [7,12]. Bu halda A \ B = [3,4], B \ A = [7,12]

Çoxluqların fərqini çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi əməlləri ilə əlaqələndirən aşağıdakı bərabərliklər ixtiyari A, B, C çoxluqları üçün doğrudur:

∖ ^{( ) (} ∖ ⁾ ( ∖ )

∖ ^{( ) (} ∖ ^{) (} ∖ ⁾

Tərif. Əgər xüsusi halda B çoxluğu A çoxluğunun alt çoxluğu olarsa

(B _ A) , onda A ilə B-nin fərqinə A \ B , B çoxluğunun A çoxluğuna tamamlayıcısı deyilir və B _A ilə işarə olunur.
Şəkil.

A

Çoxluqların fərqinin tərifinə uyğun olaraq, B _ A olduqda, A çoxluğundan B-nin elementlərini kənar etdikdən sonra alınan çoxluq B-nin A-ya qədər tamamlayıcısı olur.

Misal. ^{{ } { }}

C ^/_D =^{{ }} olur.

Qeyd edək ki, “tamamlama” əməliyyatının nəticəsi verilmiş çoxluğun hansı çoxluğa “tamamlanmasından” bilavasitə asılı olur. Məsələn: tam ədədlər çoxluğunu rasional ədədlər çoxluğuna tamamlayan – bütün kəsr ədədlər çoxluğudur. Əgər tam ədədlər çoxluğunun həqiqi ədədlər çoxluğuna tamamlanmasına baxırıqsa, onda kəsr və irrasional ədədlər

çoxluqlarının birləşməsi tamamlayıcı çoxluq olacaqdır.