Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar

4-§. To’liq differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi.

Agar
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)

tenglamaning chap tomonini birorta U(x,y) funksiyaning to’liq differensiali, ya’ni
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dU(x,y) (2)

bo’lsa, (1) tenglama to’liq differensialli tenglama deyiladi.

Bu holda uni dU(x,y)=0 ko’rinishda yozish mumkin va bu yerdan U(x,y)=C umumiy integralga ega bo’lamiz.
Bu yerda P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar D sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, uzluksiz xususiy hosilalarga ega bulishi talab qilinadi.
U holda ushbu P(x,y)dx+Q(x,y)dy differensial ifoda birorta U(x,y) funksiyaning to’liq differensiali bo’lishi uchun D sohaning barcha nuqtalarida
(3)
tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.

ifodani (2) bilan solishtirsak
(4)

tengliklarga ega bo’lamiz.
Endi U funksiyani topish uchun y ni fiksirlab (4) ni integrallaymiz:

С(у) ni topish uchun bu tenglikni у bo’yicha differensiallaymiz:

Bu yerdan
Demak,
va

Demak, berilgan tenglamaning umumiy integrali quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(5)
Aslini olganda konkret misollarni yechishda tayyor (5) formuladan foydalanmasdan, umumiy holdagi kabi yo’l tutish maqsadga muvofiq.
Izoh. Ayrim hollarda (1) tenglamani hadlarini guruhlash bilan dU=0 ko’rinishga keltirish mumkin. Buning uchun u
(6)
ko’rinishga keltiriladi.
Bunda shunday funksiyalar topiladiki, ular uchun

munosabatlar bajariladi.
U holda (6) ning umumiy integrali ko’rinishga ega.
Agar (3) shart bajarilmasa, u holda (1) differensial tenglama to’liq differensialli bo’lmaydi. Biroq bu tenglamani tegishli (x,y) funksiyaga ko’paytirish bilan to’liq differensialli tenglamaga keltirish mumkin. Bunday funksiya berilgan differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchi nomi bilan yuritiladi.
(x,y) uchun (3) dan
yoki (7)
shatni hosil qilamiz.
Faqat x ga bog’lik bo’lgan (x) integrallovchi ko’payruvchi uchun va (3) quyidagi ko’rinishni oladi :
yoki
Demak,
(8)
Faqat y ga bog’liq bo’lgan (y) integrallovchi ko’payruvchi uchun huddi shunday

ko’rinishni topamiz.
Misol. To’liq differensialli tenglamalarni yeching:

Yechish. tenglamaning chap qismi funksiyaning to’liq differensiali ekanligini ko’rish oson. Shuning uchun tenglamani ko’rinishda qayta yozib olamiz, bu yerdan y=Cx umumiy yechimni topamiz.
tenglamani ham hadlarini guruhlash bilan ko’rinishga keltirish mumkin. So’ngra

bo’lgani uchun ni yoki ni hosil qilamiz.
Bu yerdan umumiy integralni topamiz.
Javob: .
tenglamada
. Demak, shart bajarildi. Bundan ifodaning birorta U(x,y) funksiyaning to’liq differensiali ekanligi kelib chiqadi.
Endi shu U funksiyani, ya’ni tenglamalarni qanoatlantiruvchi funksiyani topamiz.
tenglamadan U funksiya
(9)
ko’rinishda ekanligi kelib chiqadi, bu yerda - noma‘lum funksiya.
(9) ni y bo’yicha differensiallaymiz

Ammo , shuning uchun quyidagini hosil qilamiz:

Ravshanki, ohirgi tenglikni
(10)
funksiya qanoatlantiradi.
Natijada, (10) ni (9) ga qo’yib umumiy integralni topamiz:
.
Javob:

4. 
   Berilgan tenglama uchun
   

.
Demak, shart bajarilgan.
Umumiy integralni topishda tayyor (5) formuladan foydalanamiz:



Bu yerdan

ko’rinishdagi umumiy integralni topamiz.
Javob: .